Exposé des expériences concernant la résistance

des fluides, dans le mouvement de rotation. Après les

considérations dans lesquelles nous venons dVntrer sur

la résistance que les fluides opposent au mouvement des

corps 9 nous allons parler du résultat des expériences faites

pour déterminer la valeur absolue de cette résistance,

qui est indiquée par celle de k dans la formule p = ^/S^

et qui variera comme on l'a dit suivant la forme du corps. Si par une expérience faite avec un corps de forme déterminée , animé d'une certaine vitesse , dans un certain fluide , c'est-à-dire pour lequel S , V et / soient connus , on parvient à connaître la résistance p qu'il éprouve \ on aura évidemment la valeur de h par la relation

■"asv»'

Les expériences devront en outre indiquer dans quelle étendue les valeurs de S et de Y pourront varier sans faire changer celle de A , ou de combien devra varier k avec les diverses valeurs de ces quantités.

Nous distinguerons les expériences faites sous de petites vitesses 9 sur des corps de diverses formes au moyen de

certains appareils, des expériences aux très -grandes rifesses j qui n'ont pu être faites qu'au moyen des projectiles lancés par les bouches à feu de Tartillene.

Nous commencerons par les expériences relatives au mouvement circulaire, parce qu^il a été plus facilement et plus complètement étudié.

Borda a employé pour ses expériences* une espèce de volant (Fig. 8) dont Taxe horizontal AB porte un petit cylindre C sur lequel s^enroule un cordon à Fextrémité duquel est suspendu un poids E qui fait tourner le volant. Une verge mince FGR , taillée en couteau , forme les deux bras du volant, aux extrémités desquels étaient adaptées deux surfaces égales F et K; leur centre se trouvait à 1",20 environ de Taxe de rotation. Le cordon portait deux marques bien visibles ; à Taide d^un pendule à demi - seconde , on mesurait à un quart de seconde près l'intervalle de temps entre le passage des deux marques , et comme on connaissait le nombre de tours auquel correspondait la longueur du cordon comprise entre elles, on en déduisait la vitesse de rotation , et par conséquent la vitesse absolue du centre des surfaces mises en expérience ; on s'était assuré qu'à partir du passage de la première marque au cinquième tour , la vitesse était devenue et demeurait uniforme. Durant les vingt-deux tours qui correspondaient à rintervalle des deux marques, le poids moteur faisait par conséquent équilibre à la résistance de Pair et diaprés le rapport des rayons du volant et du cylindre , on concluait la résistance qu'éprouvait chacune des surfaces mises en expérience. En employant des poids différents , on obtenait les résistances pour des vitesses différentes.

Pour estimer les résistances inhérentes à Tappareil , on le chargeait de poids faibles , en observant la vitesse que

* Mémoire de TAcadëmie de» sciences, 1763.

fiéSISTANCB DB L'aIII. 29

chacun lui imprimait et Ton retranchait du poids moteur celui qui imprimait la même vitesse à l'appareil seul.

3&. D^autres expériences avaient été faites antérieurement à celles-ci par Robins , avec un appareil de rotation , que Hutton employa postérieurement, de i786 à 1788.

Cet appareil * est composé d^un cylindre en cuivre BCDE (Fig. 9) qui tourne autour d^un axe maintenu vertical â Taide d^un châssis solidement fixé et presque sans frottement. A la partie supérieure est fixé un cône creux AG; une longue pièce de bois GH trés-mince taillée en lame d''aviron , part de la base du cône et porte à son extrémité le corps léger P destiné à recevoir le mouvement circulaire dans l'air. Un fil de métal AH fixé d'un côté au sommet A du cône 9 de Tautre à Textrémité H du bras empêche ce bras de fléchir sous le poids du corps. Le cylindre est enveloppé d^un fil de soie trés-mince, qui, après avoir fait plusieurs tours passe sur une poulie L , et tient suspendu le poids moteur M. Celui-ci descendant en vertu de la pesanteur, fait tourner le cylindre , le bras et le corps mis en expérience. Le mouvement du corps s'accélère et la résistance qtfil éprouve de la part de l'air augmente jusqu'à ce qu'elle fasse équilibre au poids moteur , alors le mouvement devient uniforme.

Pour opérer, on attendait le moment où la machine parvenait au mouvement uniforme , ordinairement après cinq ou six révolutions, on prenait le temps moyen de plusieurs révolutions ; ensuite on détachait le corps P et on le remplaçait par un morceau de plomb aplati, de même poids et placé horizontalement; on substituait au poids M un poids m suffisamment réduit et déterminé par quelques tâtonnements pour quMl imprimât au bras la même vitesse que lorsque celui-ci portait le corps. L'excès

* Voir pour plus de dëUils , Nouvelles expériences d'artillerie de Hutton, deuxième partie, traduction de 0. Terquein , page 84.

30 SBCTIOlf II.

du poids M sur le dernier mesurait la résistance qu'éprouvait le corps de la part de l'air. Cet es ces multiplié par le rapport du bras GH au rayon du cylindre, donnait la mesure absolue de la résistance. La vitesse du corps était déterminée par le rapport entre la circonférence décrite par le centre du corps et la durée d'une révolution. £n faisant varier le poids moteur, le corps restant le même, on faisait varier la vitesse et Ton obtenait ainsi une relation entre la résistance et la vitesse. La distance du centre du corps à l'axe de rotation était d'environ 1"*,36; les vitesses ont varié depuis 1" jusqu'à 8™ par seconde.

Des expériences ont été exécutées plus récemment à Brest , par M. Thibault , officier de marine *, avec un appareil semblable à celui de Borda. La distance du corps â Taxe de rotation était de l^jS?, les vitesses ont varié entre 0™,S et il" par seconde. La manière dont on mesurait les résistances de l'appareil était analogue à celle de Hutton.

35. Résultats des expériences. Examinons les résultats de ces diverses expériences.

Diaprés les expériences de Borda faites sur des plans animés d'une vitesse uniforme, variant de l*" à k°^ par seconde , le coefficient de k aurait varié ** avec l'étendue de la sur&ce dirigée dans le plan de l'axe de rotation et du rayon du volant, et, en exprimant la superficie en métrés carrés

pour s = O'n^OSl , s = 0«»%026 , S = O^'jOSS ,

Von aurait A =: i ,39 , A = i ,49 , k = ifià.

Ces résultats présentent quelquMncertitude , parce qu^on n'a pas tenu compte d'une manière suffisamment exacte,

* Recherches cxpéri mentales sur la résistance de Tair, par L. A. Thihault, liealenant de vaisseau; Brest, 1826, pages 11 , 62, 128, etc.

** Introduction h la Me'caniqne industrielle, par J. Y. Poncelet , page 574.

RÉSiSTANCfl DE l'aIR. 31

ni des changements de la densité de l'air à chaque expérience, ni des résistances inhérentes à la nature de l'appareil qui croissaient nécessairement avec Tintensîté des efforts et des vitesses sous lesquelles on opérait. D'après les expériences de Hutton,

pour. ... S = 0™',011 , s = 0«',021 , on aurait /: = 1,24, kz:^ 1,45.

Ces nombres sont un peu plus faibles que leurs correspondants ci -dessus, parce que dans cette méthode, on défalque , en l'exagérant un peu , l'influence des résistances étrangères.

Ces résultats particuliers concernant le mouvement circulaire et quelques autres, avaient fait croire que la résistance des surfaces planes croissait en général , dans un plus grand rapport que leur étendue , mais les expériences de M. Thibault ne permettent plus d'admettre ce principe dans sa généralité.

Diaprés les expériences faites par cet officier sur des carrés en carton mince

ponr. ... S = 0«n',026 , S = O^^IOJ , on aurait A = 1,525, ^ = 1,784.

La résistance pour une même surface croissait un peu plus rapidement que le quarré de la vitesse , comme Hutton Pavait remarqué ; cependant cet accroissement était toutà-fait négligeable pour des vitesses au-dessous de 8™ par seconde , mais il est hors de doute que dans le mouvement circulaire la résistance croit dans un plus grand rapport que rétendue des surfaces.

Pour mettre cette influence hors de doute, M. Thibault a fait mouvoir dans des circonstances identiques et sous Faction d'un même contre -poids , trois plans minces de 0*", 1050^1 de surface chacun : le premier était un carré et les deux autres des rectangles égaux dont le long côté

double de l'autre fut alternativement dirigée dans le sens du rayon du volant et dans le sens perpendiculaire, de manière que les centres se trouvassent pour les trois cas situés à la même distance i^^Zl de l'axe de rotation. Il a ainsi obtenu

poar le rectangle, le côte 0°>,454 danf le sens du rayon, k = i,900,

poar le carré de 0«>,521 de cdte' A = i,784,

pour le rectangle, le côlé 0*^,227 dans le sens da rayon, k = i,677.

Enfin M. Thibault ayant fait mouvoir sous un même contre - poids , trois carrés minces de O^jSSS, 0",227, O^jlGl de côté, aux distances respectives dé 1"5370, O'^^QGG et O'^jGSS proportionnelles à leurs côtés , les résistances sous une même vitesse ont été trouvées sensiblement égales entre elles.

3G. De ces expériences , on est en droit de conclure que dans le mouvement circulaire les résistances qu'éprouve un corps sont d'autant plus petites qu'il est placé à une plus grande distance de Taxe de rotation , mais que si ce mouvement ne peut pas donner la résistance absolue, il peut du moins servir à en donner les valeurs comparatives quand, étant semblables, les surfaces sont en outre placées à des distances de l'axe de rotation proportionnelles à leurs côtés homologues.

En remarquant qu'à mesure que les dimensions de la surface dirigée dans le sens du rayon diminuent , l'influence du mouvement circulaire devient moindre pour un même rayon, comme si la surface de mêmes dimensions était placée à une distance de plus en plus grande de l'axe de rotation , et que ce mouvement se rapproche ainsi du mouvement rectiligne , on voit que Ton peut se servir des expériences de M. Thibault pour déterminer la résistance de l'air dans ce dernier cas. Pour cela , on a pris pour abscisses les dimensions O^'jlKi, 0™,321, 0'",227 placées dans le sens du rayon et pour ordonnées les trois valeurs de

KÉSISTA>CE DE L'HAÏR. 33

le correspondantes 1,900, d,784, 1,679; par ces trois points on a fait passer une courbe (Fig. 10) qu'on a prolongée par analogie du côté de Torigine , par cette seule considération que pour des diminutions égales des dimensions suivant le rayon, les diminutions des différences des ordonnées k étaient égales entre elles; on a trouvé que pour une dimension extrêmement petite ou à la limite, la valeur de k serait égale à 1,28, valeur qui devrait se rapporter à celle du mouvement circulaire d'un très-grand rayon et se confondre ainsi avec le mouvement rectiligne.

D'après une formule de M. le général Duchemin^, relative à la résistance au mouvement circulaire suivant la distance du corps â Taxe de rotation; on aurait A: = 1,25^.

37. Expériences sur le mouvement rectiligne. Il a été fait à Metz en 1835 et en 1836 des expériences sur le mouvement rectiligne des corps mus dans Pair ou dans Teau**. Dans les premières, le plateau AB (Fig. 11) avec lequel on opérait était horizontal et fixé à lextrémitè d^un cordon de soie de petit diamètre ; ce cordon s*enroulait sur une poulie CD à axe horizontal et assez élevé pour donner une chute suffisamment grande ; le corps descendait par Teffet de la pesanteur et Ton accélérait ou Ton diminuait sa vitesse de chute par des poids additionnels ou par des contre -poids. Un pinceau chargé d'encre de Chine était fixé à la poulie parallèlement à Taxe ; à rôté de la poulie était un plateau circulaire FG vertical recouvert d'une

^ Recherches expëri mentales sar les lois de la résistance des flaides , , insérëes au Mémorial d^Arlillerie, M<> 5, p. 206, et Introduction à It Mécanique j par J. V. Poncelcl, p. 577.

** Mémoire présente 2i M. le Ministre de la guerre et au concours pour le grand prix de Mathématiques de rinslitut, sur la Résistance des fluides, par MM. Piobcrt, Morin et Didion , 1857, et Mémorial d'Artillerie, N° 5, p. 553.

feuille de papier blanc auquel on commuDiquait un mouvement uniforme ; on en observait la vitesse avec une grande précision , au moyen d^un chronomètre à pointage de Breguet , donnant les dixièmes de seconde. Le pinceau de la poulie décrivait sur ce plateau une courbe dont la forme dépendait de la vitesse relative de la poulie et du plateau. Cette trace du mouvement permettait , après que Texpérience était terminée, de connaître la vitesse de la poulie et par conséquent celle du corps à chaque instant de sa chute, et, comme on connaissait le poids moteur, on déterminait la résistance que le plateau avait éprouvée à chaque instant dans sa chute , et plus particulièrement lorsque le mouvement était devenu uniforme. On tenait compte d'ailleurs avec un très- grand soin des résistances passives de Fappareil, calculées directement et vérifiées par des expériences spéciales. Les expériences dans Pair ont été faîtes sur des plateaux carrés de 0'",500 et de. i°*,000 de côté, mus verticalement dans une étendue de 42" environ, et avec des vitesses qui ont varié entre 0"* et 9"* par seconde. L^ensemble des résultats nous a conduit à la formule

En remarquant que <f' représente le poids 1^,214 d'un mètre cube d*air à la température et à la pression ordinaire , cette formule devient

Ici, comme on le voit, pour les très -grandes surfaces sur lesquelles on a opéré, se présente un terme indépendant de la vitesse ; mais pour les vitesses de 4"^ à 9*°, limites de celles qui ont été observées , on pourra prendre sans erreur sensible

8 = 4,35748SH ou k = 1,3574.

RÉSIdtANCE DE l\iR. 38

Cette valeur de k pour le mouvement rectiligne est plus grande que celles qui sont déduites des expériences sur le mouvement de rotation, corrigées d'après le résultat des expériences de M. Thibault , mais elle n^offre pourtant rien de contradictoire, parce qu^elle est relative à des surfaces de très -grande étendue.

38. D'après les résultais de toutes ces expériences et ceux d'autres expériences faites sur la résistance de l'eau , M. Poncelet * propose en attendant des expériences déci*sives, la valeur moyenne A = 1,30 pour le cas des plans minces en mouvement dans un fluide en repos et sauf à décider ultérieurement si l'étendue effective des surfaces offre ou non une influence dont il soit nécessaire de tenir compte dans les calculs, du moins pour les très -petites surfaces.

39. Résistance dans le cas où le fluide est en mouventent et le corps en repos. Le cas que nous avons considéré jusqu^ici est celui d'un corps en mouvement dans un fluide en repos ; mais lorsqu^au contraire le corps est en repos et le fluide en mouvement , la résistance parait notablement plus considérable; sans nous occuper de la cause de cette différence ni des expériences faites à cet égard, nous admettrons diaprés M. Poncelet ^^ pour le coefficient de cette résistance /r=l,85.

40. Résistances des corps de diverses formes en mouvement dans un fluide. Il nous reste à examiner la résistance que les corps de diverses formes éprouvent lorsqu'ils se meuvent dans Pair. Quoique la forme de la sphère soit celle des mobiles les plus généralement en usage , il ne sera pas inutile de s^occuper en passant des autres formes , parce qu'elles sont parfois employées pour certains mobiles , avec les fusées de guerre par exemple.

* Introduction ii la Mécanique , page 5'87. *♦ Idem.

« Des expériences ont été faites pour détermiaer Tiiiflùence de la forme de différents corps pleins, tels que prismes ou coins triangulaires à face plane ou courbe , cônes , demi - cylindres , sphères et hémisphères , mus circulairement dans l'eau et dans Tair sous des vitesses médiocres et de manière à leur faire présenter alternativement la saillie ou convexité et la base , à l'action directe du milieu. Les résultats auxquels on est parvenu , en comparant pour chaque cas spécial la résistance sur la convexité à celle sur la base , sont consignés dans le tableau suivant *.

Rapport de la résistance des différents corps.

Du coin triangulaire à face» planes , à celle /qqo (Borda) 0 728

de sa base rectangulaire , Tan^le au som- < ^^ * * ^\^^ ™el ëunl de ^ ' " (600 (Hatlon) O.SSO

Bu coin triangulaire k faces courbes for—

mces de deux arcs de 60°, décrits du

sommet oppose comme centre^ à celle

de sa base rectangulaire. (Borda). 0,390

Bu demi -cylindre elliptique (ellipse cir~

consente au triangle ëquilaléral) , à celle

de sa base rectangulaire (Borda) 0,430

Bu demi'Cylindrc circulaire , b celle de sa

base rectangulaire (Borda) 0,570

„ , , f 90" (Borda) 0,691

Be la conTcxîte du cône, à celle de sa base ^- . . ^ „.

circulaire , Tangle au sommet e'iant de "" (*«•) "i^*^

f51«24'(Hutton)... 0,433 Be la demi-spLèrei k celle de la sphère entière (Borda et Hntton) . • 0,990

/Afoy»") d'après Borda 0,405

Be la demi-spbère, à celle de son plan diamétral (moyenne 0,407)

Hution 0,413

Vince 0,403

« On doit regretter que les résistances de chaque espèce y> niaient point été comparées directement à celle des i> plans minces , de même forme et surface que les bases

* lulroduclioi à la Mécanique do J. Y. Poncelet , page 612.

RÉSISTANCB DE l'aII^. 37

» indiquées au tableau, car elles eussent mis à même :» d^apprécier Tinfluence comparative des poupes isolées. , » Tout ce qu'il est permis de conclure de l'ensemble dos » résultats obtenus par Hutton , dans des circonstances qui , p malheureusement, ne peuvent être considérées comme » absolument identiques , c'est que la première de ces » résistances, celle des plans minces, eût été généra- » lement trouvée un peu moindre que la seconde, celle :» des mêmes plans accompagnés de leurs poupes. Pour » les bases de Thémisphére et du cône soumis à Pexpés> rience par Ilutton, la résistance, dans Tair, et' sous » des vitesses de 3 à 4 mètres, a surpassé de 0,01 et ^ 0,02 environ de sa valeur, celle du plan mince cor- » respondant. Ce résultat joint à ce que le rapport des » résistances doit , d'après les observations déjà faites (35, » 36), rester à peu près le même dans le mouvement » rectiligne et le mouvement circulaire , permettra de » déterminer par le calcul , la résistance absolue des corps » indiqués au tableau ci-dessus , si celle des plans minces s> était exactement connue. s>

41 . D'après le résultat des expériences de Hutton * le rapport de la résistance de Pair sur la sphère entière et sur le plan dans le mouvement circulaire diminuerait un peu avec les vitesses ; pour celle de 6 à 7 mètres , il serait de 0,42, et en adoptant l'un des nombres 1,254, 1,28 ou 1 ,50 (35 , 38) pour la valeur de ^ relative au plan dans le mouvement rectiligne, on aurait pour la valeur de le relative à la sphère 0,53, 0,538 ou 0,546.

Hutton ne tenant pas compte de l'influence du mouvement de rotation trouvait k = 0,594 et avait adopté 0,60 pour des vitesses de 2"* par seconde dans Tair.

* NouveUcs eipériencos d'artillerie , deuxième partie , traduites par M. 0. Terqoem, page 110 , tableau.

D^autres expériences entreprises par Newton sur la chuto verticale dans l'air , de globes en verre de même diamètre , ont donné d'après les calculs de Dubuat k = 0,537 sous des vitesses de 0"* à 9™ par seconde*. On voit d'après ces divers résultats que la valeur du coefficient k de la résistance dans Tair , pour des vitesses qui ne dépassent pas 8 à 9" par- seconde 5 doit être d'environ 0,54.

42. Les expériences sur les plans minces ont fait voir que dans le mouvement rectiligne, la résistance pouvait être regardée comme proportionnelle à Tétendue des surfaces, du moins dans de certaines limites. Cependant Hutton avait trouvé que dans le mouvement circulaire, en passant d'une sphère de O^'ylSl de diamètre , à une autre de 0°*,162, il fallait augmenter de | le coefficient de la résistance. Mais, d'après ce qu'on a vu (35), cet accroissement doit être attribué à la nature parliculière du mouvement et ne se présenterait pas dans le mouvement rectiligne.

Dans des expériences sur le mouvement rectiligne vertical de sphères dans l'eau, exécutées à Metz en 1836 ** pour des sphères de 0",118, 0",129, 0'»,148, 0",162, 0'«,330 le coefficient de la résistance proportionnelle au quarré de la vitesse et rapportée \ une section de 1*" carré a été respectivement 21,2, 21,2, 22,4, 22^9, 24,5. Il est probable que les plus gros projectiles ont éprouvé d'uue manière sensible l'influence du fond du bassin dans lequel ou faisait les expériences , et que par suite les derniers nombres sont trop fort. De sorte que pour des sphères dont les diamètres ont varié dans un grand rapport l'accroissement serait très-£aiible.

* Inlroduclion à la Mécaniqae, par J. V. Poncelet, page 6db'.

** Mémoire pre'scntë k M. le Ministre de la guerre et au concours pour le grand prix de mathématiques de Tlnstitut, par MM. Piobcrt, Morin et Didion.

RÉSISTANCE DE l'aIR. 39

Trois cylindres équîlaléres de 0",1 , de 0'",2, 0",3 de diamètre et dont les deux superficies variaient ainsi dans le rapport de 1 à 9 , ont présenté des résistances qui ne croissaient pas plus rapidement que ces superficies.

D'après cela , on pourra regarder, dans les limites ordinaires des calibres des boulets et des obus et aux faibles vitesses , la résistance comme sensiblement proportionnelle à la superficie, jusqu*à ce que de nouvelles expériences aient mis cette question hors de doute.

43. Les expériences dont on vient de parler permettent de déterminer la résistance comparative de cylindres terminés par un hémisphère et par des cônes plus ou moins aigus, comme ceux qu'on emploie pour les fusées. Elles ont été faites sur deâ cylindres équilatéres de 0'",10 de hauteur et de diamètre , surmontés d'un cône dont la hauteur a été respectivement 1,12,2,3,4 fois le rayon de la base; on a trouvé que la portion de la résistance proportionnelle au quarré de la vitesse rapportée à une section d'un mètre carré a été respectivement 73^,26 , 53'^,99 , 47^,74, 44^,29, 40^69, elle a ainsi diminué avec Pacuité du cône dans les limites de l'expérience. Le même cylindre surmonté d'un hémisphère, a donné 43*^,03 pour coefficient de résistance ; de façon que le cylindre terminé par un hémisphère, présente la même résistance que s^il était terminé par un cône dont la hauteur serait égale à 3 -j fois le rayon.

44. Lois de la résistance de l'air à de grandes vitesses; moyen de la déterminer. Dans ce qui précède, nous n*avons considéré la résistance de Fair que dans le cas de vitesses faibles en comparaison de celles dont les projectiles de Fartiilerie sont animés et nous avons trouvé que pour des vitesses de l*" à 8*" la résistance était sensiblement proportionnelle au quarré des vitesses ; cependant , nous avons été amenés à pressentir que pour des

vitesses beaucoup plus grandes , la résistance devait croître plus rapidement.

Pour mesurer la résistance de Tair au mouvement des projectiles de Tartillerie, on a recours à des procédés particuliers. Pour cela, on mesure au moyen d'un appareil , le pendule balistique, la vitesse d*un projectile, à deux distances difrérentes de la bouche à feu qui l'a lancé et on compare la perte de vitesse dans le trajet à la longueur du chemin parcouru.

Soit P le poids d''un projectile , V sa vitesse à la distance

a de la bouche à feu , Y' sa vitesse à la distance af^

g étant la pesanteur, la force vive du projectile sera

-V à la première distance, et -V à la seconde. La

P force vive perdue sera donc -(V — V'). Mais si l'intervalle a^ — a entre les deux points est assez peu considérable pour que V et V différent peu, la résistance à chaque instant variera peu elle-même, et en appelant p la résistance moyenne , le projectile , pour la surmonter , aura consommé une quantité de travail représentée par p(«' — «); par conséquent, en vertu du principe connu des forces vives, on aura Téquation

-* 9 d'où Ton tire

Cette résistance moyenne est relative à la vitesse moyenne v = — — . En la divisant par la section du grand cercle de la sphér^ et le quarré de la vitesse

RESISTANCE DE L*AIR. kl

moyenne , on aura pour le coefficient p' de la résistance

Si Ton opère de la même manière pour d^autres vitesses, on aura autant de valeurs particulières de la résistance ; on pourra donc déterminer la relation entre les vitesses et les résistances. "

Connaissant la valeur de p pour la vitesse moyenne, le diamètre du projectile , ou la section d^un grand cercle de la sphère et la densité de l'air , on déterminera la valeur de k correspondante qui sera

Comme on ne peut avec le pendule balistique mesurer la vitesse d^un projectile qu^en un seul point de son trajet, on tire sur cet appareil de deux distances diflerentes a et ûj', mais avec la même charge de poudre, avec des projectiles égaux et dans des circonstances aussi égales qu^il est possible, afin d^obtenir à chaque coup des vitesses initiales égales ou trés-peu différentes entre elles , et par conséquent la vitesse qu^aurait eue le même projectile à chacune des deux distances a et a''^ pour avoir plus d'exactitude , on répète Texpérience un certain nombre de fois à chaque distance^ et on prend la moyenne des résultats obtenus.

4S, Résultats des expériences de Hutton, Hutton, dans les années de 1785 à 1790, a fait, avec le pendule balistique de Robins perfectionné, de nombreuses expériences pour déterminer la résistance qu'éprouvent les projectiles animés de grandes vitesses ; elles ont été étendues pour le boulet de 1 livre depuis lOO"" jusqu'au-delà de 600*" par seconde; avec le boulet de 3 livres, depuis la vitesse de 275" jusqu'à celle de 520™, et pour le

boulet de -6 livres depuis 365"" jusqu'à 550*". HuUon en a déduit les résistances correspondanlcs aux vitesses des projectiles, d'après lesquelles la résistance croîtrait plus rapidement que le carré des vitesses , jusqu'à un certain point, passé lequel la résistance croîtrait moins rapidement. Cette résistance exprimée par le coefficient k

de la formule k=^J^ est approximativement*:

Viteuet (met: •rc.).. 1. ^i S, 10, ?5, 50, 100, 200, SOO, 400, 500, 600.

Valeur» de i 0,59, 0,61, 0,65, 0,66, 0,67, 0,69, 0,71, 0,77, 0,88, 0,99, 1,04, 1,01.

Les nombres qui représentent les résistances ont été obtenus par des méthodes d'interpolation imparfaites, et ces résultats ne s'accordent pas avec les effets naturels, surtout pour les faibles et pour les grandes vitesses. M. Piobert a remarqué que pour les grandes vitesses le coefficient de la résistance avait été déterminé par les plus faibles résultats de l'expérience et non par leur moyenne 5 de sorte que Texistence de ce maximum n'est pas démontrée. Quant aux faibles vitesses, le coefficient ayant été déterminé d'après les résultats obtenus dans le mouvement circulaire , est par cela même trop grand quand il s'agit du mouvement rectiligne. Hutton ne tenait pas compte de l'influence qui pouvait être due à la grandeur du diamètre des projectiles.

46. Formule de M» le colonel Pioôert, M. le colonel Piobert reprenant les résultats immédiats des expériences de Hutton sur les boulets et non les résultats portés dans les tableaux des vitesses dites régulières , en a construit une courbe dont les ordonnées représentaient les vitesses successives que possédait le boulet en traversant des couches d'air proportionnelles aux abscisses, et a obtenu des résistances régulières. Les résultats relatife au boulet de fonte

** Introduclion k la Mécanique , page 618.

RÉSISTANCE DE L\iR. 43

de une livre ou de 0^,04996 de diamètre et exprimés en mesures métriques , sont indiqués ci-aprés * :

Viletseï en mètrei.. 100. 150, 200, 250, 500, 350, 400, 450, 500, 550, 600, néaistancei *-n kilog. 0,81, 1,95, 3,68, 6,10, 9,35, 13,50, 18,50, 24,60, 31,80, 40,30, 50,00.

Ces nombres font voir que les résistances croissent plus rapidement que les quarrés des vitesses et M. Piobert a reconnu que par l'addition d'un terme proportionnel au cube des vitesses on représentait assez bien ces résultats ; de façon que le quarré de la vitesse devait être remplacé par V + BV' et que la valeur de B = 0,0017 satisfaisait assez bien pour toutes les vitesses.

La formule de M. le colonel Piobert , basée en partie sur le résultat des expériences de Hutton aux petites vitesses , avant qu'on eût reconnu l'influence du mouvement circulaire sur la valeur de la résistance, devait par cela même donner des résultats un peu forts pour les gros projectiles et pour les faibles vitesses , ainsi que cet officier l'a reconnu lui-même**. On aurait, pour un boulet de

24 par exemple , 5- = 0,035 , ce qui , pour la densité

de Tair 4,176 à laquelle se rapporte la formule , donnerait k = 0,585.

47. Jiutre formule. Diaprés l'examen des résultats des expériences faites à Metz en 1840, par la commission des principes du tir , avec des projectiles de forts calibres de 8, de 12, de 24 et de 22 centimètres, nous avions reconnu qu'effectivement la formule de M. Piobert donnait des résistances trop grandes ; et que le coefficient du quarré de la vitesse devait être diminué, tandis que le rapport des deux coefficients devait être augmenté et qu'enfin , le résultat pour les gros projectiles et pour l'état atmosphérique

* Mémoire présenlc au concours pour le grand prix de Malliëmatiques de Tlnstilul, par MM. Piobert, Muriti et Didiuo , en 1837. ** Inlroduclion à la Mécanique, par J. V. Poncclel, pngc 620.

44 SECTION lî.

moyen durant Tété, pour lequel la densité de Tair avait été Iji^i ^ était assez bien représenté par la formule*

p = ^R^ 0,024(1 + 0,0023 yJV^

Cette formule appliquée au tir des obus de 16^ et de 22^, sous des vitesses et sous des angles de projection très* variés , dans des circonstances atmosphériques semblables , avait présenté un accord très-remarquable avec les résultats de l'expérience**.

M. le colonel Piobert, en reprenant la discussion des résultats des expériences de Hutton , a trouvé qu'ils étaient mieux représentés par la formule

«rR'V^ 0,030 586 (1 + 0,002 3 V) ,

trouvant ainsi pour le rapport des coefficients du quarré et du cube de la vitesse, le même nombre 0,0023 que dans la formule précédente.

48. Résultat des expériences de Metz en 1839 et 1840. Les expériences faites à Metz en 1839 et 1840, par la commission pour l'établissement des principes du tir, sur des projectiles de fort calibre et sous les vitesses habituelles des boulets et des obus , sont les plus propres à faire connaître la loi de la résistance de l'air au mouvement des projectiles.

Ces expériences ont été faites avec des boulets de 24, de 12, de 8 et des obus de 22^, surtout des deux premiers calibres , au moyen d'un pendule balistique , sur lequel on tirait à la distance de 15°*, et à des distances augmentées de 25", 50'", 75" et 100". On a déterminé, par la différence des vitesses , les pertes de vitesses sur des trajets de cette longueur. Les projectiles de 12 et de 24

* Mémoire sar la Balistique , présente' aa Comité d^Arlillcric , en iUi.

** Disièmo rapport de la Commission des principes du tir, en 1845.

RÉSISTAKCB DE l'aIR. 4S

ont été tirés à des charges variées depuis — du poids du boulet jusqu'au ^ de ce poids , avec des canons de côte en fonte, ce qui donnait des vitesses de 200" à 460". On a dépassé ces vitesses en tirant à moitié du poids du boulet 9 dans le canon de 12 de place en bronze, et en tirant à grandes charges des obus dans les canons. On a été ainsi jusqu^à 560" et on a dépassé les plus grandes vitesses qu'on obtient dans le service.

On a déterminé pour chacune des vitesses moyennes la valeur du coefficient p' (44) , qui doit multiplier le produit du quarré de la vitesse, par la section du grand cercle, pour donner la résistance éprouvée par le projectile sous cette

vitesse, d^où Ton déduit k par la relation ^ = p'-j^. Toutes

ces valeurs ont été ramenées à ce qu'elles eussent été si la densité de l'air eût été constante et égale à 1 ,2083 qui est celle de l'air à la température de 15°, à la pression barométrique de 0'",750 de mercure et à moitié saturé de vapeur d'eau.

Pour déterminer la relation de ce coefficient p' ou de h suivant les vitesses et reconnaître particulièrement s^il était constant ou sHl croissait proportionnellement à la vitesse, on a formé trois groupes composés chacun d'un égal nombre d'expériences, on a pris pour chacun la moyenne des vitesses et la moyenne des valeurs de p' ; on a eu ainsi un résultat moyen fourni par l'observation de la perte de vitesse , sur des trajets dont la somme est pour chaque groupe de 2400" environ , et qui par conséquent doit être regardé comme très-précis. Ces résultats se résument ainsi qu'il suit:

VitesseB 337»,25, 428™,8!, 535",1S;,

Coefficient p^ . . 0,04790, 0,05354, 0,06159.

Si les valeurs de p' étaient égales entre elles et ainsi

îndépeDdantes de la vitesse, la résistance de Tair serait proportionnelle au quarré de cette vitesse ; mais il est évident qu'elle augmente avec cette quantité.

Si les accroissements de p' étaient proportionnels aux accroissements des vitesses , ces résultats seraient représentés par une expression de la forme p' = at + |2<>. On peut reconnaître que la valeur de ^ croit plus rapidement 9 et que si on détermine a et jS de manière à satisfaire aux deux premiers résultats, on aurait

La valeur de p' serait de 0,06009 pour la vitesse de 535°", 15 et ainsi inférieure de 0,0150 au troisième résultat d'expérience. L'expression de p' doit donc comprendre un autre terme que la première puissance de v.

Cette expression ne donne pas non plus la valeur de p' aux très -petites vitesses; car en y négligeant 0,0023 v "devant Tunité , on aurait p'=: 0,02714. Or, d'après le résultat des expériences avec les appareils de rotation corrigé de l'influence due au mouvement giratoire {k\ ) , on trouve pour des boulets de fort calibre ^ = 0,538 et d'après les expériences de Newton sur la chute des globes de 0'",13 environ de diamètre, sous des vitesses qui allaient jusqu^à 9" par seconde (elles étaient moyennement 6") h =i 0,537. Diaprés ces deux valeurs qui ne diffèrent pas sensiblement Tune de l'autre et pour la valeur de cT = 1,2083, on a p' = 0,03311, valeur qui excède la première de -^ environ ; cette différence ne peut être négligée. On voit ainsi de nouveau par là que l'expression de p' doit contenir un terme autre que la première puissance de (> ; en adoptant la deuxième puissance, on arrive à l'expression de la forme p' = et -f. /3(; -i- y{>\

49. Formule proposée. Si on détermine les coefficients etj fi^ y par la condition de représenter les résultats aux

RÉSISTANCE DB L AIR. U^7

trés-faibles vitesses et aux vitesses ordinaires des boulets , on aura à satisfaire aux trois conditions suivantes :

Vitesses (met: sec). 6,00, 337,25, 428,81,

Valeurs de p' 0,0331 i , 0,04790 , 0,05354.

ce qui donne

Cette expression ^ pour p = 535,15 donne p'=: 0,06094 qui ne diffère du résultat d'expérience que de 0,00065 ou 7^ environ de sa valeur.

Cette différence est très -faible, et comme elle ne se rapporte qu'à des vitesses qui dépassent celles dont on fait habituellement usage , la formule représente assez exactement les résultats d'expérience. Ces coefficients se rapportent à des diamètres de 0°,12 à 0",15 et à la densité de Fair égale à 1,2085, et comme la résistance de Pair est proportionnelle à sa densité , on aura Texpression de cette résistance sous la forme suivante et exprimée en kilogrammes

p = «rR»-^p'0,03295[l+0,00093272p(l+0,001341(^)], l}2Uo3

ou plus simplement, en prenant^les nombres ronds trèspeu différents et de manière à établir une compensation presque exacte

Les résistances déterminées d'après ces formules , pour les différents degrés de vitesses , sont renfermées dans le tableau suivant.

Tableau des valeurs du coefficient p' de la résistance suivant les vitesses.

Valeurs

VALEUES

VALEDBS

Vîtewe»

tr. faibl

dep^

DilTér.

Viteaseï m: s

^dep'.

DiiKr.

ViteuM in:s

dep'.

DilTér.

50, Simplification dans l* application au tir des projectiles. Dans rexpression de la résistance , on remarque que le coefficient du troisième terme est très-faible relativement au terme précédent et comme en même temps , dans le service de l'Ai^illerie) la variation des vitesses est toujours maintenue dans de certaines limites ^ on peut voir qu^il sera possible d^exprimer la résistance dans ces limites au moyen de deux termes, Fun proportionnel au quarré Tautre proportionnel au cube de la vitesse , si les coefficients sont convenablement déterminés. Ainsi , dans les limites de vitesses des expériences de Metz, en 1840, résultant des charges de -pj à | du poids des projectiles et qui correspondent aux vitesses initiales et aux vitesses finales des projectiles pour de très -grandes portées, les vitesses sont entre les limites de 285*" à 48S°* par seconde.

Si on détermine au moyen de la formule, pour des

RÉSISTANCE DE L^AIR

vitesses croissant régulièrement, ou si on prend dans le tableau qui précède, les vitesses et les coefficients p' qui 7 correspondent , qu^on prenne ensuite la moyenne de la première moitié des résultats, puis celle de la seconde moitié et qu^on se servo de ces moyennes pour déterminer

les coefficients de l'expression et (1 -I- - <*) on aura la

formule approximative

Les valeurs de p' approchées comparées aux valeurs exactes donnent des différences indiquées dans le tableau suivant.

Tableau comparatif des valeurs de p' calculées par la formule exacte et par la formule simplifiée.

VilMê'

TALE1IB8 DE f/ calculées par k formule

aimplifiée.

OiOTérencet.

Vilfw*

VALEDIiS DB p' calculéea par la formule

■inipiifiée.

DifKreDcef.

Diaprés les résultats indiqués dans le tableau précédent , on voit que les différences entre les valeurs de p' calculées par la formule exacte et par la formule simplifiée ou à deux termes , sont au ma^iimum de -^ des valeurs exactes et moyennement -^^ seulement en plus ou en moins. Ces quantités très -petites se compensant sur Tensemble, ne peuvent produire sur les parties de la trajectoire que des erreurs négligeables , et la formule simplifiée peut être

appliquée sans crainte d'erreur au tir des boulets , aux charges ordinaires de guerre.

Si Ton voulait faire représenter par la formule simplifiée les valeurs de p' dans des limites plus étendues , en partant de la même limite supérieure , on aurait pour et une valeur

plus grande , et pour « une valeur plus petite , et Ton verrait

que jusqu'à des vitesses de 200'"''®°, les différences moyennes ne sont encore que de ^ en plus ou en moins.

Quand la formule devra être appliquée au tir de projectiles animés de moindres vitesses et dans des limites moins étendues, la valeur de a. sera encore plus grande,

celle de - plus petite , et les différences entre les valeurs

oc

données par les deux formules seront bien moindres encore que dans le premier cas.

Ainsi pour le tir des bombes dont les vitesses varient, pour les grandes et les petites portées, entre 50™ et 150* par seconde , on représentera la résistance de Tair par la formule à deux termes

les différences en plus et en moins ne sont moyennement que de —^ et s'élèvent au plus à ~ des valeurs exactes.

Au lieu de calculer ou de prendre au moyen du tableau la moyenne entre un certain nombre de valeurs exactes, il est plus facile de déterminer la valeur de p' correspondant aux vitesses qui sont au quart et aux trois quarts de l'étendue des limites que Ton veut considérer , et de s'en servir

pour déterminer a et -. Si ces limites sont (>o et i^ny les

deux vitesses (>, et vj choisies sont i', = (^^ -4- j (ç>„ — ()^) et Cj = 0^ 4- !(('„— <^o); si P, et pj sont les valeurs de

RÉSISTANCE DE L AIB. bi

ff qui y correspondent, on aura

On se rendra facilement compte de Teffet de la simplification dont on vient de parler, eu remarquant que Texpression p' au moyen de trois termes, peut être représentée par un arc de parabole dont les vitesses seraient les abscisses et les valeurs de p' les ordonnées , et que l'expression à deux termes qui doit la remplacer, sera représentée par une ligne droite ; celle-ci devra être tracée de façon que dans la limite de vitesses proposées. Taire du trapèze limité par les ordonnées extrêmes soit égale à Taire limitée par la courbe , ou , ce qui en diffère peu , tracée de manière à passer par les deux points de Tare dont les abscisses sont respectivement au quart et aux trois quarts de la longueur totale.

51. Relation entre la résistance et le diamètre des projectiles, déduite de la comparaison avec les expé^ riences sur des calibres différents. La comparaison des résultats des expériences de Metz en 1840 faites sur des boulets de gros calibres et ceux des expériences de Hutton sur des boulets de très-petits calibres , peut servir à repré* senter la loi de la variation de la résistance suivant le calibre. Les expériences de Metz faites avec des boulets de 0'",42 et de 0'",i5 et sous des vitesses respectivement égales entre elles ou très-peu différentes , les premiers en nombre double des seconds , peuvent être regardées comme se rapportant moyennement à des projectiles de 0'*,13, la densité de Tair étant égale à 1,2083. Celles de Hutton faites avec des boulets de 1 livre ou de 0'",05 de diamètre, de 3 livres ou 0*",07, mais principalement avec le premier caKbre, et quelques-unes avec des boulets do 6 livres ou de 0",09 de diamètre , peuvent élre regardées comme

se rapportant moyennement à des projectiles de O'^OG ; la densité de Taii* étant —^ ^^ ^^'^ ^® Teau, on a / =: 1,176. Or , les premiers se trouvent représentés dans les limites des expériences par la formule à deux termes p' = 0,02706 (1 +0,0022 92 ^) ,

ou , en restreignant à quatre le nombre des décimales et en établissant une compensation de manière à ne pas modifier sensiblement le résultat, par

Les résultats des expériences de Hutton sont représentés par la formule de M. Piobert,

mais pour qu'elle représente la résistance à la même densité que la première , il faut multiplier le premier facteur par le rapport 1,2083 à 1,176 des densités et elle devient p' = 0,031 43(1+ 0,0023 1»).

On voit que la valeur de p', et par conséquent celle de k augmentent quand le diamètre diminue , ce qui ne paraissait pas avoir lieu aux petites vitesses ; mais en considérant que ces coefficients résultent d*un grand nombre d'expériences discutées avec soin, nous admettrons que la différence de 0,027^ à 0,03143 ne provient que de la différence des diamètres 0"',13 à 0°',06 et nous nous servirons de ces résultats pour déterminer l'influence des dimensions du projectile. La manière la plus simple d^exprimer cette variation est , en représentant le diamètre par 2R ,

de multiplier l'expression de p' par le facteur a h — - ;

les coefficients a^ ^ eiy seront déterminés par la condition que pour 2R = 0",13, et 2R = 0",06, le facteur de 1 + 0,023 devienne respectivement 0,027 et 0,03143 et que pour les projectiles de O^jlô et 0'",22 l'expression s ac-

RÉSISTANCE DB L'aiR. 53

corde avec le résultat moyen des expériences du tir sur des obus de ces calibres pour lesquels s^est trouvé vérifié le coe£Gcient de la résistance égal à 0,024, quand la densité de Tair était 1,160, ce qui correspond à 0,0250 pour la densité 1,208. On a alors * = 0,74, 13 z= 0,047 et > = 0",0S , et par conséquent le facteur au moyen duquel on tiendra compte de Tinfluence de la variation du

diamètre sera 0,74 -i-g^^^.

L^expression de la résistance de l'air sur les boulets et les obus , depuis les plus gros calibres en usage jusqu^aux plus petits sera donc

P = ^RV'0,0270 (0,74 + -^?lLg) (1 +0,0025p).

La relation ci -dessus déterminée d'après le résultat d'expériences avec des boulets de O^jOS , 0'",07 et 0",09 d'une part, comparée à celui d'expériences avec des boulets de 0",i2 et 0'",15 de l'autre et avec le résultat d'expériences faites avec des projectiles de 0'',16 et de 0'°,22, peut s'étendre aux bombes de 0'",27 et de 0'",52, avec d'autant plus de raison que sous les vitesses de ces projectiles très -lourds, l'influence de la résistance de l'air est moins considérable que dans le tir des boulets. Dans le cas particulier de très - petits projectiles , comme les balles de fusil , elle s'accorde sensiblement avec la formule qu'avait proposée M. le colonel Piobert"*". Cependant il serait à désirer que des expériences directes permissent de la vérifier pour ces projectiles.

Elle n'a d'ailleui*s rien que de très -rationnel dans les limites mêmes indéfinies, car si on suppose le diamètre extrêmement grand , le terme divisé par 0",0S -*- 2R

* Mémoire cite , prësenlë au concouri pour le grand prix de M athëmatiquei do rinitilal, eo 4837.

disparaît devant le premier ; la résistance devient proportionnelle à la section du grand cercle de la sphère , et le coefficient est O^Tk de celui qui correspond à une sphère de 0"*,13. Si on suppose le diamètre extrêmement petit le coefficient est 1,S8 de cette même quantité.

D'après ces considérations , on pourra appliquer le facteur qui tient compte du diamètre du projectile , à l'expression générale de la résistance, qui sera ainsi, en prenant le mètre, la seconde et le kilogramme pour unités

ce qui donne

Quant à Fexpression simplifiée, lorsqu'il s^agira d'un projectile déterminé et projeté dans l'air, dont on connaîtra la densité cT, en faisant pour les boulets et les obus

^ = 0>027jj5-3(0,74 + ^-^) et en représentant le coefficient 0,0023 par -, ce qui donne

r = 534y7 ci A = 0,439(o,74+g3^)(l+0,00230, et pour les bombes en remplaçant dans la valeur de A 0,027 par 0,03227 et en faisant 0,0012 = J, ce qui donne

r = 833»,33 et A: = 0,525 fo,74.+ -^^^Vl + 0,0012».),

on aura une expression de la forme p = A^RV^i+iJ).