Dans le cas où la portée sera peu considérable, la

quantité ^ sera assez faible pour qu^on puisse remplacer

4 («> V,) par [x(«> V,)]' (61). L'équation qui doit donner y ne contiendra cette quantité qu'à la première puissance ,

et en représentant par V la vitesse 1/ - — , ^ "^

^ 2co8'^(lang9 — langé)

qu'on obtiendrait dans le vide^ on aura simplement

, „, ^ , ,aV'cos4>

En remarquant que

xC0«9 , .C0S9 coB^^(tang9- lange) = (8in<pcoie-Bineco8 9) = sin(<1>-e) ,

la valeur de V sera plus simplement

*^ 2Bin(9 — s) cof9

et si l'on suppose 0 = 0, alors « = 0 et

^ -y sin2<^'

on a alors V et par conséquent V comme lorsqu'on considère la portée sur un plan horizontal (76).

d06 SECTION in.

79. Angle de projection. Si la vitesse est donnée, etqu^on ait à chercher au contraire l'angle de projection, la solutioû offrira plus de difficultés ; la valeur de a est une fonction de Tangle do projection trop compliquée pour qu'on puisse obtenir des formules directes d'une utilité réelle, et d'ailleurs on n'a pas à résoudre ce problème dans le tir des bombes ; h\ ce cas se présentait, il faudrait déterminer approximativement Tangle de projection 9, déterminer de même ec et V, qui entrent dans la fonction 4; ^^^^^ fonction étant ainsi déterminée d^une manière approchée , l'on aurait pour le cas où le but est élevé au-dessus du point de départ, en remplaçant — ;- par (1 4- tang'9), à résoudre l'équation

d*oû Ton tirerait pour la valeur de tangç,

Celte formule ne diffère de celle qui aurait lieu dans le vide

qu'en ce que h est remplacé par -r — ^ (17). Les Taleors

de A et celle de cos 9 qui entrent dans la fonction 4 sont différentes , suivant qu^on prend le signe plus ou le signe moins, et elles ne doivent pas être confondues; Tune appartient à un angle plus petit que celui qui donnerait le maximum de portée, l'autre à un angle plus graud. La recherche de ces deux angles doit être faite séparément.

Si le point à battre est à la même hauteur que le point de projection , on fera 7=0 dans Téquation de la trajectoire, et en observant que ïtangçcos'ç = SsinSç, on aura simplement

MOtVEMENT DANS L^AIR. i07

Cette équation donne deux valeurs qui doivent être calculées séparément , et comme dans le cas précédent.

Deux autres problèmes peuvent être proposés, savoir: déterminer Tangle de projection et la vitesse initiale d^un projectile qui doit passer soit par un point donné , la tangente à la trajectoire ayant en ce point une inclinaison déterminée , soit par deux points donnés. Cette application n*a pas d'utilité dans le cas du tir des bombes ; mais elle en a beaucoup dans le tir à ricochet, nous en parlerons plus loin (section IV).

80. De V angle de plus grande portée. On sait que dans le vide l'angle de projection de 45® est celui sous lequel des projectiles animés de la même vitesse initiale donnent les plus grandes portées (10). Il n'en est plus ainsi lorsque le projectile se meut dans un milieu résistant comme l'air, et il est facile de voir que dans ce cas Tangle de portée maximum doit être plus petit que 45®.

En effet , la propriété essentielle du maximum d'une fonction quelconque , c^est que pour des différences trèspetites , soit en plus soit en moins dans la variable , la fonction n'éprouve que des variations extrêmement petites et toutes dans le même sens , et il en est ainsi pour Péquation des portées sur un plan horizontal dans le vide. Mais dans le cas où le milieu oppose une certaine résistance au mouvement du projectile , on voit par l'équation X4(X, V,) = 2/esin29, que pour un angle un peu plus grand que 45®, deux causes contribuent à la diminution de la portée, d^abord la diminution de sin 2^ , la même qui diminue la portée^ dans le vide , et ensuite Taccroissement de A dans 4(^9 V,), ou de l'effet de la résistance sur un arc de plus grande étendue ; au contraire , pour un angle au-dessous de 45®, la valeur de sin2:p va effectivement en diminuant, mais la diminution de retendue de Parc ou de œ produit une diminution dans 4(^ 9 ^1) ^^1

108 SECTION m.

dans Teffet dû au milieu résistant : cette cause ag^issant dans un sens contraire à la première , Ton voit qull y aura un certain angle qui sera plus petit que 45^, pour lequel les deux effets contraires se contrebalanceront ; cet angle sera celui qui donnera la portée maximum. On voit aussi que cet angle devra être d'autant plus petit que la résistance du milieu se fera plus fortement sentir. Ainsi , dans un milieu résistant l'angle de portée maximum est au-dessous de k^^j et il s''en écarte d'autant plus que la résistance du milieu est plus considérable ou que la vitesse initiale est plus grande, ou enfin que le diamètre et la densité du projectile sont plus petits.

Pour obtenir une relation qui donnerait la portée maximum, il faudrait prendre la différentielle de la portée relativement à l'angle de projection et l'égaler à zéro ; mais l'équation X4(X, V,) = 2/isin2^ qui donnerait la portée , contient l'angle 9 d'une manière très-compliquée ; et il serait difficile de l'employer à calculer la valeur de ç. Le moyen le plus facile est encore de calculer pour un projectile donné et pour une vitesse initiale aussi donnée, quatre ou cinq valeurs de X, correspondantes à autant de valeurs de ^, en choisissant celles-ci, les unes audessus , les autres au-dessous de celles qui doivent donner la portée maximum : la comparaison de ces portées indiquera Tangle cherché avec toute l'approximation dont on aura besoin dans les applications. On devrait faire un semblable calcul pour une série de vitesses différentes et pour chaque espèce de projectile.