asymptotes. Si Ton veut savoir ce que devient la courbe

1S2 SECTION y.

da coté de la branche ascendante ^ il faudra faire s et s' négatifs ce qui donnera

or^ si on prend sur la parabole le point m! (Fig. 16) pour lequel s*z=zcy on aura «= — clogo^ c'est-à-dire s infini; donc, ce n'est qu'à l'infini que l'inclinaison de la trajectoire devient égale à l'inclinaison au point m\ donc il y a une asymptote dont l'inclinaison est égale à celle de la tangente en m' ; l'inclinaison de cette asymptote sera donnée par la relation

-c = 2Àco»'<?[?(ç)-f(0)] ou e(e) = g^^-h?(^).

Cette valeur se calcule très-facilement au moyen de la table Y.

Si on ^rend du côté de la branche descendante un arc parabolique On' de plus en plus grand,, l'arc correspondant On de la trajectoire augmentera aussi , mais beaucoup moins rapidement. Donc On étant infini On' le sera aussi. Mais rinfini logarithmique étant du dernier ordre , on voit que la courbe Bn ne tardera pas à se confondre arec une verticale et qu'elle doit avoir par conséquent une asymptote verticale.

Pour le prouver, éliminons s entre les équations (1) et (2) , on aura

g = i[|pV/ÎHPp + ilog(p-hV^Î+?) + const].

Or, quand on intégrera entre deux valeurs très -grandes de p,

on pourra négliger l'unité et log (p + V^i+|)') devant p. Alors on aura simplement

j- = S" d ou ion lire x = consl— — , dx 2c jj '

donc à partir d'un point pour lequel p est déjà très-grand , lorsqu'on fait p infini la valeur de x est finie. Donc la branche descendante jouit d'une asymptote verticale.

109. Rayon de courbure. L'expression du rayon de courbure est, dans Thypothèse de dx constant , en le représentant par y y

^ dp »

En substituant la valeur de ^ dans celle de -^ . on trouve celle

dx

de dxj

dx=:' ^*-

de là

Dans la branche descendante , la valeur de £(e) sera négative et par conséquent la valeur de y sera plus grande pour les mêmes valeurs absolues de p. De plus , la valeur de y ne sera infinie que pour p égal Tinfini y ce qu'on sait déjà } et y dans la branche ascendante où 1^(6) est positif, 7 sera infini pour C = f (e) , ce qu'on a fait voir aussi (io8).

Le point de plus grande courbure se détermine en égalant à zéro la différentielle de y, ce qui donne, en se rappelant que

tange =2) et I (6) =/>/7+p dp ,

. i(i±£!)!+ç(e)oa--i i + ?(e) = c.

3 —p ^^^^ 3co8'6.8inO^^^^

Cette équation, qui ne sera satisfaite que quand 6 sera négatif, ce qui rend aussi f (o) négatif, donnera la valeur de 0 à laquelle correspond le minimum du rayon de courbure.

110. yiiesse. La vitesse du mobile en un point quelconque a été donuée en fonction de i (107); en substituant dans cette' expression la valeur de s tirée de l'équation (2) on aura

iS4 SECTION V.

Au sommet de la trajectoire , où Ton a j? = o ; et par suite f (0) = 0 ; on aura simplement

gc

+ew

A partir do sommet, la vitesse va en décroissant par Feffet de la résistance de l'air; mais, à une certaine distance du sommet, la pesanteur commence à augmenter cette vitesse, de sorte que son effet compense celui de cette résistance. La vitesse en ce point est alors un minimum.

On détermine ce point en différenciant la valeur de la vitesse

eM + D')

prise sous la forme % = --— — --— et en posant dz = o ; de Ik

résulte , à cause de d? (e) = V i +|)'(i|) , la valeur de p donnée par la relation

ili±£lVg(e) ou -i * +1(0) = c.

laquelle n*est satisfaite que pour une valeur négative de e , c'està-dire que le point où la vitesse est un minimum est dans la branche descendante.

En comparant entre elles les équations qui donnent respectivement le point du minimum de rayon de courbure et celui du minimum de vitesse, on voit que le premier membre est infini pour 6 = 0 et qu'il décroît quand G augmente ; il en résulte que la fonction de 0 relative au rayon de courbure qui contient le coefficient ^ atteindra la valeur de C plus rapidement et par conséquent pour une moindre valeur de 6 , que celle qui se rapporte au minimum de vitesse et qui contient le cofficient ^ ; par conséquent, le point de la trajectoire où le rayon de courbure est un minimum est plus près du sommet que celui où la vitesse est un minimum. Cette propriété est rendue encore plus é\îdente par le tableau suivant qui pourra servir à calculer facilement dans chaque cas la position de ces points et dans lequel on a repré-

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