QUARRÉ DE LA VITESSE. ISS

im-m

infini.

Au-delà du point où la vitesse est un minimum cette vitesse augmente, mais pas indéfiniment, et elle se rapproche continuellement de celle pour laquelle la résistance de l'air serait égale au poids du mobile , en même temps que la direction du mouvement se rapproche de la verticale ; cette limite de la vitesse est donnée par la relation

= a ou

Tc^^

Méthode des quadratures et méthode d'Eulef .

111. Equations fondamentales. Des deux équations du mou-^ vement (35 , a et () Ëuler * déduit la relation que nous avons donnée (55, éq. i).

et ensuite par diverses transformations il obtient

* Recherckc sar la Téntable courbe que dccrivenl les corps jet^s dans Tair, par Buler. ^— Iliftoire de TAcadëmie de Berlin, année 1753.

d'où Ton tire

K^\fdpVi+P

L'expression y^SpV'i+l)» est celle de la longueur d'un arc de parabole; cdle-ci a pour valeur, comme on Ta fait voir (66), ipv I ^-p'-|« ^iog(p + \/ 1 +pv représentée par la fonction ?(6) dans laquelle tangO = p et qui s'évanouit pour 0=o. Au point de départ où 0 = <P , elle devient ë (<P) , et , en remplaçant

K par - on aura plus simplement

Ces intégrales sont prises de manière à s'évanouir pour 6 = o. La

vitesse au sommet sera v"^ = -r* Dans la branche descendante 0

et p changent de sigi^e et la fonction g (9) conserve la même valeur en changeant seulement de signe. Au point de départ où 6 = ^ et p = V, on a comme précédemment (107)

112. Méthode des quadratures • On peut déterminer par les quadratures tout ce quil est nécessaire de connaître dans la trajectoire et la tracer par points *.

* Traite de mécaoiqne de Poisson.

L'abscisse d'un point quelconque de la trajectoire est égale à

la somme des valeurs infiniment petites de (fo= - — ^ comprises

depuis 6 = ^ jusqu'à la valeur de e qui répond au point que Ton considère. On aura la valeur de œ par approximation ^ en partageant rintervalle des valeurs extrêmes de 0 en un très-grand nombre de parties que Ton fera égales pour plus de simplicité ; en calculant

ensuite les produits des valeurs de -; — — par la différence trèspetite Ap entre les valeurs consécutives de e , que Ton substituera à la différence infiniment petite dp. La somme des valeurs de A a; ainsi obtenues approchera d'autant plus d'être exacte que Ap sera plus petit. En continuant le calcul jusqu'à ce qu'on soit parvenu à 6 = o ^ on aura y aussi exactement qu'on se le propose ^ les abscisses de tous les points de la branche ascendante de la trajectoire ; la dernière abscisse sera celle du sommet. Au-delà de ce point, dans la branche descendante , les valeurs de 0 et celles de p deviendront négatives y en continuant le même calcul on aura les abscisses des points de cette branche. Par un procédé semblable appliqué à la valeur de dy y on aura les ordonnées correspondantes aux valeurs successives de p et on pourra construire la courbe par points; on obtiendra de même la valeur du temps t. La vitesse en chaque point sera donnée directement

par la valeur de p' = ; il en sera de même de celle

de s comme on va le voir.

113. Méthode d^Euler. Remarquant avec Euler que (2|) >/ 1 -(-|)' = dî (ô) , on aura

ds=:C' —-, dou 5 = clos ~-\

sans constante , expression fort commode pour décrire la courbe y car 9 dit Ëuler, « Calculant pour un grand nombre de valeurs :» de p ou de 0, celle de s, on trouve autant de portions de » courbe; et sachant de chacune l'inclinaison à l'horizon, on en ^ tirera aisément les parties de l'abscisse et de l'ordonnée qui :» leur conviennent ; lesquelles étant ajoutées ensemble, donneront

» tant Tabcisse que Fordonnée entière, qui répondent à chaque » point de la courbe. Ensuite, ayant la vitesse à chaque point

» de la courbe par la formule p' = ^t[^f^ ' > chaque particule

» de la courbe divisée par p donnera le temps que le corps met à » la parcourir; pourvu qu'on prenne les particules de la courbe » assez petites y on obtiendra assez exactement , tant la figure y> de la courbe que le mouvement du corps. > Cest là ce qui constitue essentiellement la méthode d*Ëuler.

Pour cette méthode une table des valeurs de la fonction f (6) étant très -utile, Eule» en a calculé une de degré en degré (tab. V, i'« partie).

Il distingue les courbes en espèces déterminées par les valeurs de C 'y les autres ne dépendant de c que pour les dimensions , elles seront semblables.

114. Construction par points. Pour construire d'après la méthode d'Euler , un arc aux extrémités duquel les inclinaisons sont respectivement d et 0' et les tangentes p et p'y on aura

AN (Fig. 47) = clog £Z^) et AM' = c log ^nMl , donc

flfltt' = clog

loyenn l'abscisse sera

C-ç(0)' l'inclinaison moyenne de l'arc étant J (e + e') la portion qq' de

c lofif ZlJ C09 ,

et la portion de l'ordonnée correspondante sera^

pourvu que les différences de 0 et 0' soient assez petites. On calculera de même les vitesses en M et M' qui sont

y » c-.?(e) y '' c— KO»)'

nÉSISTANCE PROPORT. AU QUARRÉ DE LA VITESSE. 159

la vitesse moyenne entre les deux y étant ^ (^ + p') y le temps employé à parcourir Tare sera

c log ^-^' .

Euler fait ensuite l'application de ces formules à une espèce de trajectoire en calculant numériquement les arcs de cinq degrés en cinq degrés^.

115. Correction de Legendre. L'erreur que l'on commet par la méthode d'Ëuler tient k ce que la projection des arcs partiels est déterminée comme si ces arcs étaient des portions de ligne droite ; en opérant ainsi y on prend ces projections trop grandes et on obtient des portées et des élévations trop considérables.

Legendre a corrigé cette méthode en déterminant la projection des arcs de trajectoire comme si c'étaient des ares de cercle. Il trouve ** alors que les projections doivent être multipliées par le rapport du sinus du demi-angle que Ton considère à ce demiangle lui-même, de sorte que les portions d'abscisses et d'ordonnées seront données respectivement par ces formules

clos COS. • —