C-f(e') B^& BinX(e

clog 8in ■ « — -^ .

Ici 0 — 0' représente Tare dont le rayon est égal à lunité^ le rapport I . diffère de l'unité, lorsque lare est petit,

*' Les aDtres espècei de trajectoires ont clé calcolécs par arcs de moindre étendue par le comte de Grœwenilz et par M. OUo (Mémoire sur la trajectoire des projectiles et Théorie mathématique du tir k ricochet, ou Journal des armes spéciales, années 1844 et 1845.)

** Dissertation balistique par Legcndiej page 14, ou Journal de l'école Polytechnique, onzième cahier, mémoire de Moreau , p. 222; réimprimée en 1846 (Journal des armes spéciales).

de ~j(fl — e')*; celte valeur est de jtVô* lorsque e — ô' est de cinq degrés.

116. Correction proposée. La correciion introduite par Legendre donne plus d'exactitude à la méthode d*Euler ^ parce que, quand on considère les projections horizontales ou les portées , au rapport d*un arc de trajectoire à sa projection il est plus facile de substituer le rapport analogue dans un arc de cercle , dont les inclinaisons aux extrémités sont les mêmes, que dans une ligne droite qui aurait une inclinaison moyenne entre celles des extrémités des arcs. Mais il est facile de voir que si, au lieu d'un arc de cercle ou d*une ligne droite , on prenait un arc de parabole osculatrice à Tune des extrémités et se terminant à l'autre sous la même inclinaison, on obtiendrait dans tous les cas un rapport beaucoup plus approché. Nous avons donné ce

rapport (66 et table V) représenté par a = j^ nf * ^^^

la valeur la plus approchée de la projection horizontale d'un arc de trajectoire serait

C — f(0')« langO — tangO'

clog

c-fW. IW-?(o')

Quant aux ordonnées , nous avons trouvé pour - le rapport

y ^( tangue — langue») a:|(lange+lang6')*

117. Degré d^exactitude des diverses méthodes. Pour juger de leur exactitude, comparons les trois méthodes entre elles au moyen des rapports qu'elles donnent: i** celle d'Euler, a® celle de Legendre , 3° la méthode proposée. Nous choisirons les arcs de 6o® à 55^, de 45" à 4o«, de 25<> à ao** et de 5^ à o", et nous aurons respectivement pour ces quatre arcs et pour leurs différences avec la correction proposée regardée comme la plus exacte :

* Plus exaclemenl itTs*

BÈSIâTANCE PROPOllT. AU QUARRfi DE LA VltESSE. lél

OéSIGMATION DES ARCS.

<P+<p'&li^^)

60kS5»

Dif.

Dif.

un^

Dif.

SQk 0,998731

Dif.

£n comparant entre elles les corrections qui résultent des méthodes d*Ëuler et de Legendre et de la méthode proposée , on voit que la correction de Legendre ne diffère pas sensiblement de cette dernière pour les petites inclinaisons ^ mais que Tap-» proximation diminue à mesure qu'on s'éloigne du sommet de la trajectoire. La différence est beaucoup plus grande dans la méthode d'Ëuler pour Tare de o® à 5^; elle est double pour lare de 20® à 25*5 elle en est les f pour l'arc de 4o* k 45** et les If pour celui de 55® à 60**. Comparée à la quantité cherchée, la méthode d'Ëuler diffère de la méthode proposée respectivement de ^^ , rhi ? m » Tb P^nr les arcs de o*> à 5% de 20* à 25*>, de 4o« à 45®, de 55® k 60®. Les différences sous les grands angles ne sauraient être négligées.

Cette observation fait voir aussi que pour appliquer conrc'» nablement la méthode d'EuIer , même arec la correction de Legendre , il ne faudrait pas prendre les arcs d'un pareil nombre de degrés quelle que soit leur inclinaison, mais qu'il faut plus resserrer les divisions sous les angles élevés que sous les petits angles, comme nous l'avons fait dans l'application au tir sous les grands angles, lorsque la résistance de l'air était exprimée par deux termes (67).

En opérant pour les ordonnées comme pour les projections horizontales, on aura pour les valeurs des corrections dans les trois méthodes les quantités contenues dans le tableau suivant :

SECTIOTC T.

Dît

Dif,

Dif.

SàO«

Dif.

En regardant y d'après ce qu*on a déjà dit^ la méthode proposée comme celle des trois qui donne la plus grande exactitude et en y rapportant en conséquence les autres , on verra que la correction de Legendre est moins exacte que celle d*Ëuler; les différences avec la projection parabolique sont dans le rapport de 6 à 5 et d'environ 577 à ^fj des parties d'ordonnées.

Pour mettre hors de doute la plus grande exactitude de la méthode proposée, sur celles d'Ëuler et de Legendre, il suffira de considérer le cas où la vitesse serait très-faible, le projectile très-lourd, et où la trajectoire ne différerait pas sensiblement d'une parabole. Dans ce cas, la méthode proposée donnerait exactement les abscisses et les portées , la méthode d'Euler et <;elle de Legendre, donneraient des abscisses ainsi que des portées trop grandes et des ordonnées trop petites , dans les rapports qu'on vient d'indiquer.