MI

Méthode des séries.

118. Méthode des séries, La seconde méthode qu'on a appliquée à la solution du problème balistique donne les quantités cherchées en séries procédant suivant les puissances successives des quantités données par la question, de façon que Texcellence

ftâsiSTANCB PBOPORT. AU OUABRÉ DB LA TlTBSSE. 163

de k méthode et le degré d'approximation qa'on peut obtenir dépendent du degré de convergence des séries et du nombrer de termes qu'on calcule.

Résultats de Lambert. Lambert* est entré le premier dans cette voie; après être arrivé par des moyens analogues a ceux d'Euler à l'expression de dx en fonction de p, déjà obtenue

dx =

c—fdpVi^P^'

il fait voir qge cette fraction étant résolue en une série procédant

suivant les puissances de Jdp V i +p' on arrive ** à la valeur de X en fonction de Tinclinaison et des puissances paires de la vitesse ) il obtient une série semblable pour l'expression de la durée du trajet , et montre que la valeur de y = pdx n'offrirait pas de termes moins compliqués.

Pour arriver à une relation directe entre y et ^r^ regardant dx conmie constant et remarquant que dx^ = p^cos'Ocft* et que dy décroîtra de la quantité due à l'action de la gravité ^ on aura

dx^ p*co§'ô

on obtient aussi la relation que nous avons déjà obtenue ds d^p d^y . ^ ,

En exprimant la valeur de y par un développement procédant suivant les puissances de x

y = /3x — y*' — Sjt^ — cjc4 — ;«:* — etc.

On trouve 9 en considérant une abscisse infiniment petite ^ que ^ doit être la tangente de l'angle de projection^ y se dé-

* Histoire de racadémie royale de Berlin, pour 176S; me'moire «nr la rësistance dot fluides avec la solution du problème balistique f pages 102 à i88.

** Idem , page 167.

iÇ4 sECTioif r.

fermine par Féquation — = — et par celle tirée de fa

série ci -dessus

lesquelfes , puisqu'on a à la fois a? = o , p = V et 0 = 9 , donnent

2V"coi»<|>'

/ï^t/ At Tac vaÎAivrc r^A

En prenant les difierentielles dy. d'y. dV« et les valeurs de r-.

• dx

de — î = * + J^ î P^^* faisant le produit de (Ty et de (^ ,

régalant terme k terme à celui de c^y^ Lambert obtient une relation qui représente la trajectoire. En y remplaçant Y* pdr

2ah. mettant r-; — ::- en facteur commun, nous obtenons

[4j? l/jcx' l/jf\^

8in0 x^ tin^ x^

— elc.