ck eoïï" f 2.3.5 Ac' cot^ f
+ elc. + etc. I
C'est par le facteur entre parenthèses que cette expression de y diffère de ce qui aurait lieu sans la résistance de Tair ; la première ligne de ce facteur n'est autre que la fonction que non»
avons représentée par F f \ (6o).
En conservant ce terme seul et en négligeant les autres , on aurait l'équation d'un très-petit arc de la trajectoire; celle-ci se déduirait également de Féquation que nous avons déjà obtenue (ià^}^ dans la même hypothèse sur la résistance de Tair pour
un arc d'une certaine étendue ^ en y faisant le rapport a de l'arc à sa projection égal à celui du premier élément qui est
séc(p ou . Les termes autres que le premier sont relatifs
COBi^
k la plus grande étendue de Tare.
119. Portée horizontale. Pour obtenir la portée horizontale il faut faire y = o dans Téquation précédente , et en tirer la "râleur de a?; Lambert obtient par le retour des suites et en
faisant pour simplifier — = 5 et — 5 = m ,
c coi^
+ -ïVm sin <p ?' — ^ m sin <p ?^ H- etc.
— ^m'cos^<Pf4 + etc.
+ etc.
Cette suite est peu convergente à moins que Y ne soit trèspetit comparativement à c, ou que 9 ne soit lui-même très-petit. Suivant Lambert , elle est applicable au tir sous les petits angles au-dessus de Thorizon comme celui des canons.
En remarquant que ? est facteur commun du deuxième membre
et que ce facteur multiplié par ecosqp est égal à asin^cos<P —
ou à la portée dans le vide que nons appellerons X', remarquant
alors que g = , que m = ' * on aura
ccot<f>' ^ Ç '
(2) X = r[l-.^ JL + ^(-îL) +^(^^j'-elç.
6 cco§9 90 \ccos9/
60 CCOB0 J
La première ligne de cette eipression se rapporte k un angle de projection peu élevé et tel qu'on le déduirait de Fexpression
166 ^ SBCTION V.
que nous avons obtenue (74 9 éq. 6) en y supposant la résistance de l'air proportionnelle au quarré de la vitesse et en remplaçant le rapport a de Tare k sa projection par celui du premier élément ou séc(p. Les autres termes tiennent compte de la plus grande étendue de Tare ; mais ils sont incomplets. Lambert paraît n'avoir pas remarqué que la valeur de m contenant ^ au dénominateur ^ il en résultait que dans les termes où entre cette quantité , la puissance de | se trouvait diminuée ; par suite y les termes sont incomplets à partir du second et la formule de Lambert ne peut pas servir telle qu'elle est.
120. Inclinaison. Lambert ^ par la différentiatîon de la valeur de y relativement à Xy trouve la valeur de l'inclinaison de la trajectoire en un point quelconque ; elle devient par les mêmes substitutions que précédemment^
(3) langO = tang<p —
CBin<f/ X \* cêia<p f x \' d2A Vccos^/ 8^ Vccos^/
ccot<p>
etc.
+ etc. +etc. I
Sous cette forme, on voit que le premier terme
donne l'expression de l'inclinaison qui aurait lieu sans la résis* tance de l'air; la partie entre parenthèses est donc le facteur qui tient compte de cette résistance ; dans celui-ci j la première
ligne n'est autre que ce que nous avons représenté par F' f j
et qui donne l'inclinaison lorsqu'on ne considère qu'un arc de très-peu d'étendue.
121. Durée. Lambert obtient aussi pour la durée du trajet, une formule qui, par les substitutions que nous j avons faites^ devient
BéSISTANCE PROPOBT. AU QCJARRÉ DB LA VITESSE, 167
cnn^f * \' ^ csin^ f x y^
4 /cco8<î»\*/ or \3
+13:1 (nrj lâ^^J +•"•
+ elc. -|-etc. I
Sous cette forme ^ comme dans ce qui précède ^ on voit que le premier facteur est la durée qui aurait lieu sans la résistance de Tair, et que le deuxième donne Finfluence de cette résistance. Dans celui- ci ^ la première ligne nest autre que la
fonction que nous représentons par ^"(5 ) et qui à elle
seule donne la durée t = =--- — F ( ;r-- — ) > relative à un arc Vcosi^ V2oco§9/
de très-peu d'étendue.
122. Résultats de Borda. Borda *y en partant des deux valeurs de â; et de y
J Jdp\^i+P' J fdpVi+p'
a aussi cherché à exprimer y par une fonction des puissances successives de Tabscisse a;, et au moyen des coefficients indéterminés il a trouvé la valeur suivante:
"^ 24 V 4cA» coi4 9 2c»A cos^ ^)
I / 8in<^ i
co»3 9/ '
-f- ele. -|- etc.
* Sor la courbe décrite par les boulet» et les bombes, en ayaut ëgard \ la rësittance de Tair, par Borda; M^moirt de rAcadëmie det Bciencea dt Paria, pour 1769.
Cette équation peut se mettre sous la forme déjà obtenue (éq. 2y 118) d'après celle de Lambert et elle donne lieu aux mêmes observations.
123. Résultats de Tempelhof. Tempelhof * a traité la question du mouvement des projectiles dans le cas où Ton suppose la densité de Fair variable , soit suivant une fonction de Tinclinaison de la trajectoire j soit suivant la longueur de Tare parcouru j soit enfin avec Télévation du projectile au-dessus de la terre. Il traite ensuite le cas où la densité est supposée constante.
Partant de la relation finie qu on obtient entre la grandeur d'un arc et ses inclinaisons aux deux extrémités, il cherche par la méthode des coefficients indéterminés la série qui exprime x eiy en fonction de e% de Tangle de départ <p, et de la vitesse initiale Y. Les formules étant très -compliquées et Tare n étant pas la longueur qu on a à considérer dans les applications , nous ne donnerons pas ces formules. Nous aurons d'ailleurs à en rapporter d autres de ce genre, beaucoup plus simples.
Tempelhof donne encore d'autres formules relatives à la portée sur un plan horizontal et à l'angle de chute, que nous ne rap-porterons pas pour les mêmes raisons.
124. Résultats de Français. Français** dans des recherches non publiées sur le mouvement des projectiles s'est attaché de préférence aux méthodes d'analyse qui ne négligent rien, conservent dans toute leur intégrité les données et les formes , et qui ne sont approximatives que par Fimpuissance où l'on se trouve de revêtir certaines expressions de formes finies; c'est par le calcul des dérivations , à la naissance duquel il a assisté et même coopéré, et où il a trouvé, dit -il, des ressources inespérées, qu'il a traité la question balistique. Il ajoute que cette méthode lui a permis d'arriver à des formules qui non-seulement n'auraient
* Mémoire s«r le problème balistique oa sur le mouvement d*nn corps dans un milieu re'sMtant en raison du quarrë de la vitesse.
** Recherches sur le mouvement des projectiles dans les milieux résistants, par F. Français, an XIII. Manuscrit appartenant à la bibliothèque de rjËcuIe d'Application de rartillcrie et du génie à 'Metz, et dont copie a été adressée à rinslilut de France.
pu être trouvées par Tanalyse ordinaire ; mais qui ne pourraient pas même être figurées.
Au calcul des dérivations , Français a associé une espèce particulière de dilTérentiation qui lui a permis de tirer, presque sans peine , des formules remarquables qu'aucune autre méthode ne saurait donner aussi immédiatement et d'une manière aussi facile.
Des deux équations du mouvement y Français déduit les deux équations connues
(a) àpdjc + gdl^ = 0 et dpds^ctPp = 0. (6)
L'équation [h) mis« sous la forme dlog^ = — , donne en
dx c
intégrant
B étant une constante dont on trouve la valeur B = — ■ ,
2>ico8'<|>'
par la condition de satisfaire aux données relatives au point de départ; ce qui donne, en faisant pour simplifier les expressions
dx ^hcoh*<^^
puisque p = langO, et -- = (coso) dx
dp i dB
dx cos'O * ds '
valeur qui substituée dans l'équation {c) donne
rfO e^'ds 1
cos'ô 2Acos^9 2?Aco8^9
et faisant r^ï — - = m on anra 2tA cos'^
dfi
^t, en intégrant
Si la première intégrale est prise de manière à disparaître lorsque s = o ^ ou lorsque 0 = <P ^ il faudra que C = m d'où
/' dQ :^» = '"(*-''^'
dont il faut tirer une valeur de 5 en fonction de a et ensuite les valeurs de œ et de y. Mais avant d*aller plus loin^ nous devons expliquer la valeur des notations qu'emploie Français.
125. Notations employées par Français. Si /*(<p) est une fonction de 9 ^ la difiereniiatîon de cette fonction , dans laquelle , après l'opération , la différentielle d <p serait remplacée par une certaine fonction qui sera ici cos^<P sera représentée par ^f(<f!)y d'après
cela, ^f(<p)=ijMcai\.
En différenciant de la même manière cette première dérivée et en remplaçant de nouveau d^ par cos'<p, on aura ^*/*(<P) ; répétant la même opération sur ^YW ^^ ^^^^ "^^fW ®ï ^î^^si de suite. De plus , introduisant la cédille sous la caractéristique 0 pour exprimer 1.2, i.a.3; 1.2.3.4; ^^ écrira
ÎJYW pour ^ym î îjyW poar ^;:)3/'(<^)...
En opérant de cette manière pour f (9) = sinip et pour f (<P) = cos 9 ; on trouvera les résultats ci-après qui serviront dans tout ce qui sera dit dans cette partie des recherches de Français.
(6) 0 sin9 = cos^<?
^'sin^ = — 4^^^^^^^^^
^^sm^z=z — 4 cos*<ï^ ( i — 7 5in'<ï»)
;:)4sin<l> = 8cos'°<i>8in<i> (1 1 — 35sin*<l>)
;:)^sin<ï> = 8 cos*'<?{i i — 226sin"<i> + 455 sin^<P)
:::>^sin<p = — 64cos*^<l>sin<l> (73 — 623sin'<? + giosin^*»»)
^7 5in<i> = 64cos*^<^ (73 —'2964 sin'<ï>+ i5 i4i sin^<ï>
— i729osin*'^) etc. etc.
HÉSISTANCE PROPORT. AtJ QtJARRÉ DE LA VITESSE. 171
On obtiendra de même
{7) ^ cos<?> = — cos^<i>sin9
0'cos«f> = — cos*<i»(i — 4sin'^)
0^ cos 9 = cos7 <!► sin<i> ( 1 3 — 28 sîn* <^)
;:)4 cos <?> = cos^ <!► ( 1 3 — 1 88 sin' <î> + 280 sin^ (^)
;:)^cos<? = — cos"sin<i>(493— 3i88sm'<?+364o8in^q>)
0^ cos «f> = — cos*^ ^ (493 — 1 5 480 sin* 1> + 62 832 sin^ <»►
— 5824o8m^^> y cos 9 = cos'^ 9 sin <|» (37 369 — 483 628 sin' <?
+ i4i7 584sin^<|) — 1 io656osin^9) etc. etc.
On pourrait calculer les fonctions représentées par les caractéristiques O9 ^^«x des cinq ou six premiers ordres pour un certain nombre d'angles suffisamment rapprochés et en former des tables.
Voici les valeurs des cinq premiers ordres que nous avonscalculées pour les angles de o**, 5**, 10% i5% 3o% 4^^ ®^ 60^.
Table des valeurs des fondions Osin(p, 0'sin(p- ^cos9, ;^'cos<P.... pour diverses valeurs de V.
;^siii<i>
;;)'9in<|>
;:)3Bîn<i>
;;)4BiD<?
;:)^»in<?>
- 4,oooooa
IS
::>^coê<p
;:)^co8<,>
iO
iS
a,ooooooo
Les sinus des angles de 3o^, 4^^ ^^ ^^^ pouvant être exprimés d une manière simple , les dérivées des différents ordres ^ ; 0% ^^,,,, le sont également. Nous en donnons les expressions dan» le tableau ci -après.
Taéleav des valeurs des fonctions ^, ^',... pour les angles de 30% 45« et 60^
Osin^
;:)'Bin<i^
0^iîn<|^
04Bm<?
;;:)5Bin<i^
;:)'coi<i^
;:)5cos9
O^COKI^
;:)^co8<i»
