SV

Au moyen de ces valeurs y les termes des séries qui se rapportent aux angles de 3o°j ^5^ et 60®, les plus en usage dans le tir des bombes^ pourront être exprimés très-simplement.

126. Faleurs des ahseisset et des ordonnées en fonction de la longueur des arcs. Au moyen de la différentiation particulière exprimée par la caractéristique 0^ Français est arrivé aux résultats suivants:

i74 SECTION V.

(8) y = sin <!>.« — m j:)8m<?/(c**'— i)dg + m'ÎJ*sin<ï>/(c"~ i^ds

—w? 5' sio ^f(&' — 1 )'rf« H- etc.

X = cos<p.s — m^cos<p/{e^— i)(fo + m'y cos<ï/(c^— i)'rf«

— m^ 5' cos <?/'(<?" — i)3(fo + etc.

Dans ces expressions les intégrales doivent être prises de manière à s'évanouir avec s. Or, il est facile de faire voir que si A est la caractéristique des différences finies se rapportant Il la seule variabilité de i dont la différence Ai = t, on a

etc. etc.

Les équations (8) deviennent donc en y introduisant la caractéristique F et en rappelant que m == -

(9) y = « [sin<ï^— ^M[mOsin<ï^F(«) — 3m':j)'sin<i> A F(m)

+ 3wi^:î>^sin 4> A »F (m) — etc.] ] x = s[cos^ — |m [m^ cos<^F (m) — 2m'ÎJ'cos<î> A F [is)

+ 3m^ ÎJ' cos <»► A »F (is) — etc.] }

Les équations (8), (g) sont des équations à la trajectoire exprimées en y et s ou en a; et s.

Il est très-remarquable que par l'emploi de la caractéristique Zy l'ordonnée y soit exprimée en sin^», comme x l'est en cos 9 ; c'est une symétrie qu'on aura lien de remarquer encore plusieurs fois et que les méthodes employées jusque là n'avaient pas permis de reconnaître.

Quoique Français ait énoncé que ses formules étaient trop

compliquées pour les applications y on peut voir cependant qu'avec la simplification qu'a introduite la fonction représentée par la caractéristique F que nous avons rencontrée dans la plupart des formules de balistique^ et au moyen des tables que nous donnons (tab. IX} , les opérations sont bien simplifiées. En effet, pour calculer les divers degrés de A¥(is)j il suffira de calculer

le rapport - ou is^ de le multiplier successivement par 2,3,

4; 5..., de cbercher dans les tables les valeurs F(w), F(2m), F (3m) , F(4is) 5 d'en prendre les différences qui seront AF (w) , AF(2m), AF(3m)....j les différences de ces quantités donneront A^F(m), A'F(2is).... ; les différences entre celles-ci donneront A^F(t5).... et ainsi de suite.

On opérerait de même pour une seconde valeur de is, et en choisissant les valeurs de s de façon que is soit contenu dans les tables ; et que par suite les multiples de cette quantité y soient aussi, le calcul de F(îs), AF(w).... F(2w), AF(2w).... se réduira à des opérations extrêmement simples.

Quant aux fonctions exprimées par la caractéristique 0, en en formant une table pour des angles suffisamment rapprochés, comme nous l'avons fait pour les angles le plus en usage dans le tir des bombes et pour les cinq premiers degrés, les calculs cesseraient d'être compliqués. Pour les angles de 3o®, 45® et 6o® l'expression est beaucoup plus simple que pour les autres.

On arrive encore à une expression très-simple des coordonnées des divers points de la trajectoire au moyen de l'angle asymptotique , c'est-à-dire de l'angle que fait avec l'horizon l'asymptote à la branche ascendante de la trajectoire } cet angle étant désigné par >, qui se calcule d'ailleurs facilement comme on l'a vu (io8) au moyen des tables de fonctions S (<P) , on aura

(lo) sin> = sin<?+mC)sin<P+m*0'sin<? + m^^^sin«f>+etc.

(il) y = 8in>.«-;:)sinX^(«^— i)+^ÎJ'sin>!^(«-~i)

i:$3jji„x!?!(e3''.— i) + etc.

x=z cosx.s — ;:>cos>^(e" — i) + i5*cosX^(c»"— i)

Nous pouvons donner à ces formules une expression plus simple par l'emploi de la caractéristique F' (60) et écrire

(12) y = s [sin > — ;:> sin > wF' (is) + y sin^m'F' (2w)

— §'sîn>wi'F'{3M) + etc.]

œ = «[cos> — ::)cosXt»F'(i8)+5'cos;wi'F'(2is)

— ^j)^ cosX w^F (3w) + etc.]

127. Valeurs des ordonnées et des abscisses en frnction de Vinclinaison. Français est arrivé aussi à des expressions des coordonnées de la trajectoire en fonction de l'inclinaison de la courbe en chaque point.

On a vu qu'on avait / — =- = m {é* — 1) (124, éq. d). En

— 5- prise de manière qu'elle s'évanouisse avec 0 = 0, c'est-à-dire en faisant (66) g (e) = i ^^ + ^log lang (45^ -h 7 e) , l'arc s étant compris

entre le point de départ où l'inclinaison est 9 et celui où l'inclinaison est 6, on aura

on en tire

e*' = — ! et 5 = c log —

et d'après les équations (ii) on aura

(1 3) y = c( sin> [log («1-^9— fO) — log w] — j:>sinX (?<?— ?6)

-|-.i:^'sin>[(m-M<^-eo)'-w»']-T?'5inH(wi+f<P-^®)^-»^']

-h etc.}

RÉSISTANCE PROPORT. AU QtJARRÉ DE LA VITESSE. 17?

^ = c {cos x[iog (w+?<f— fe) —logw] — ;:)cos> (f<i>— ^e)

+ etc.}

Ces formules fournissent des expressions assez simples de la iiauleur du jet Y et de l'amplitude de la branche ascendante X j en y faisant e = p et parlant |(0) = o , on aura

(i4) Y = c{sin>[log(w + |<î>) — logm] — OsinXf^

+i9'smX[(m+S^)'-m']-iysin>[(in+f^)^-iii3j

+ etc.} X = c (cos> [log (m+ J<?) — logw] — ;)sin>f<i>

+ etc.}

128. Équation de la trajectoire. Après avoir établi différentes formules pour calculer les coordonnées et les abscisses de la trajectoire au moyen de Tare s ou de Fangle tangentiel 0 ^ Français arrive à la partie la plus épineuse du problème , rétablissement de l'équation de la trajectoire en œ et en y. S'il est au-dessus des forces de l'analyse, telle qu'on la possède, d'arriver à une équation finie de cette courbe , on peut cependant en avoir l'expression en séries , sous plusieurs formes très-<lifférentes, dont nous ne donnerons ici que les plus remarquables et celles qui peuvent présenter le plus d'utilité.

Pour y arriver, il faut éliminer « ou qp, entre les valeurs de y et de X qui les contiennent. En employant, à cet effet, les formules du calcul des dérivations, Français est arrivé à l'expression suivante

(14) y = laDg<>.«