Portée horizontale. Français £^ cbercbé aussi la portée

* Êqualion 63 da manuscrit.

*♦ Théorie mathématique du tir à ricochet -, 1833, traduit de Tallemand par M. Rieffel, 1845'.

RESISTAKCE PROPORT. AU QUARRÉ DE LA VITESSE. 18i

sur UD plan horizontal. En la représentant par X on obtient* (16) X=sUBin^<p

rl93^52/ c \n /2j&flîn9\^r262 94 / c \' "^1405 45I27JJV c ) 1567 iSsU/iy

4 / c \4-\fVii\n<p\^ ""ÎÔBlâAJJl c J

+ rlH^-??^fjLV---f-)1f?^^^f--etc. etc.) ^142525 472fiV2A; 475V3A/JV c / J

Dans cette expression, 2Asin:i9 n'est autre que la portée dans le vide X'* et — ^^ est égal à . Cette formule est peu

' c ° CC089

convergente a moins que ou le rapport soit luimême peu considérable.

131. F'itesse initiale. Français a aussi cherché une expression de la vitesse qui produit, sous un angle donné, une portée donnée sur un plan horizontal. Représentant par X la portée qu'il obtient**, introduisant les caractéristiques F' dans son expression

et faisant pour simpliGer ■ = X, on aura

c CO8 9

+ 4(li^)'[^^'''" +32.x.+59)(F'î.)'-2(16e2x. +97cX. — 17 + 18X,eXi)F'X. + 12(9c2X, «.i+sx^eX.)

tVk*^^' — 8<^^' — 17)(rX,)» — (c2Xi — 26eXt — 23)FX,

-.6(5eXi + l)]l

* ÉqiuUoA ^5 (la maniiscnt. ** Eqaatioa 67 du manuscrit.

483 SECTION y.

+g^ (1^)' [(43e»x. +63eîXi + I35.X| +149) (FXJ»

— 9 (46c8X« + 369e»» « + 600eX« — 475 + 36X»««Xi

+ 468X,«x , + 48X,«eX I ) (FX.)'

+ 4(100«»3^«+828eWi— 705eXi + 47+306X,«2Xi

+ 198X,«x, +48X,»«x,)FX.

— 24(64 f»Xi — 42tfïri — lOtfX» +3+48X,«»x,

— 6X,«Xi+4X.«cXi)

?- r(5e«« - 27e«i — 243ex« —275) (FX,)'

— 4(4«axi -72e«,29i^Xt — 46— 36X,eX*)(F'X,)» -(13«»x^ +765e«i+969eXi -127+288X,eXt)FX, +12(2«ax« +42««i +4eXi — 3 + 12X,eXi)]] 4- etc. etc.

Cette formule ofire la solution de cet important problème: Étant donné Tangle de projection 9, le coefficient de la résistance c et la portée horizontale X^ déterminer la vitesse initiale.

Lorsque l'angle de projection 9 est très-petit l'on peut négliger la troisième puissance et les puissances supérieures de sin(p devant la première; cos9 étant sensiblement égal à l'unité, la formule se réduit à

c 2fin9 2csin^co8<^

— on

d'ob

2nD2<)> \cJ

ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé directement pour ce cas particulier (loi).

Si la portée X est peu considérable , si eu même temps le projectile est de fort calibre, c'est-à-dire si e est très-grand, pourvu que l'angle de projection ne soit pas très-grand lui-même;

RÉSISTANCE PROPORT. AU Q^^ARRÉ DB LA TITBSSB. 185

alors ou X, est une très -petite fraction, alors aussi •*',

F'X, j FX« peuvent être regardés comme égaux à Tunité ; il en résulte que dans chacun des termes entre crochets [ ] , facteurs des diverses puissances de sin9; les termes facteurs de X, et

de -r-r-, ainsi que les autres termes* se réduisent chacun en

particulier k zéro ) de sorte que la formule se réduit à

h SS ■ ' . ■ •

SsinS^

ce qui est la vitesse qu on obtiendrait dans le vide. Cela devait être; mais il n*était pas inutile de s'en assurer ^ vu les nombreux multiplicateurs numériques qui se trouvent dans cette

formule. Appelant V cette valeur de ^ = dans le

cas particulier du mUieu non résistant ^ la formule peut prendre

une expression plus simple ; remarquant que ■ = » 9

c^cl/c\* l/c\4

"*"S76V2ÂTX.J [••••] + elc.

d'où

ATX.

(18) *+4(2V5x;) f--^+7î(2Â?5x;) f-^+STelaÂfc.) r-3+etc.

Dans cette formule on n'a pas écrit les termes renfermé entre crochets [ ] 9 ils doivent être pris dans la formule précédente.

132. LoiiQueuT de Vare dont la projection ett donnée. Français a trouvé pour la longueur d'un arc de la trajectoire compris entre l'origine et un point dont l'abscisse est œ^ la relation suivante dans laquelle <^ est une quantité arbitraire

(19) j = — L-(e«Jf— 1)