Stabilité de l'axe de rotation dans les balles

* Expëriences sur les ballet sphëriqaes, plates et longues , par M. I. Didion; el Journal de Tëcole polytechnique, 27< cahier, 1839.

oblongues de forme ogivale. La stabilité de l'axe de rotation des projectiles peut être augmentée par des résistances agissant en arriére du centre de gravité et résultant de sa forme. La balle oblongue récemment adoptée en France , jouit de cette propriété.

Si G est le centre de gravité de cette balle (Fig. 50) , GA étant la direction du mouvement de translation , Faction de Fair est moindre sur la partie antérieure de forme conique, que sur la partie postérieure sur laquelle se trouvent tracées des rayures ; il résulte de là , que le centre d'action de la résultante de ces forces est en un point R situé en arriére du point G ; cette disposition donne à la balle une stabilité qui augmente celle qui résulte du mouvement de rotation autour de GA.

Supposons que par une cause quelconque la direction de Taxe de symétrie de la balle tende à changer, et qu'elle devienne ainsi un peu oblique à la direction du mouvement (Fig. 51). La résistance de l'air agît alors suivant BR, parallèlement à GA, avec un bras de levier DR, pour rapprocher l'axe de révolution SR de la ligne GA du mouvement. La forme des rayures circulaires HK augmente beaucoup Faction de l'air à la partie postérieure du côté F qui s'est éloigné de l'axe , tandis que la résistance diminue de l'autre côté. Il arrive par là , que le centre de résistance R n^est plus sur Faxe , mais bien en quelque point , comme R', plus en dehors de l'axe GS', et que par là le moment de stabilité est encore augmenté par la grandeur de la résistance et par celle de son bras de levier. Par ces considérations on voit que si , par une cause quelconque , Faxe tendait à changer de direction , il serait bientôt ramené suivant la trajectoire et que, par suite, Taxe doit conserver beaucoup de stabilité.

259. Dérivation particulière aux balles oblongues de forme ogivale. Le centre de gravité G décrivant, par

DEVIATIONS I>ES ]PROJ£CTILES. 337

$uite de radioD de la pesanteur, une courbe qui tourne sa concavité du côté du sol ; Taxe GS ne prenant pas immédiatement la direction de la tangente à cette trajectoire , la partie inférieure SF se présente constamment à Faction de Tair sous une obliquité un peu plus grande que la partie supérieure ; il résulte de là une composante dirigée de F vers £, qui fait dériver le projectile de bas en haut , et par conséquent donne une trajectoire moins courbée que celle qui appartiendrait à un projectile sphérique ayant même vitesse et même poids, et donne ainsi des portées plus grandes.

Par suite de cette inclinaison et de la forme des rayures, la densité et la pression de l'air se trouvant plus considérables dans la partie inférieure que dans la partie supérieure, celle-là, par les aspérités naturelles de la balle et par celles qui proviennent des rayures du canon , exercent sur Pair une action plus considérable que la seconde, et éprouvent une résistance proportionnée ; il résulte de là une composante perpendiculaire au plan de projection , eC dirigée dans le sens du mouvement de la partie supérieure, ce qui fait dériver la balle dé ce côté ; ce sera à droite de l'observateur, pour le sens ordinaire des rayures.

L^existence de ces divers effets est démontrée par l'expérience , et Ton obtient du tir bien dirigé des armes destinées à les produire, qui, à cause d^une forme particulière de la chambre, ont pris le nom de carabine à tige, une justesse très -remarquable et beaucoup plus grande que d'aucune autre arme.

La cause de la dérivation latérale existe pour les balles d^une forme applatie , mais à un degré trés-faible , et qu'il est difficile de reconnaître par l'expérience.

On a appliqué en Suéde , la forme ogivale aux boulets en fonte , tirés avec des canons de ce métal , et Ton a obtenu également une régularité de tir remarquable. Des

expériences ont été entreprises pour l'appliquer en France au tir des canons en fonte.

240. Régutarité du tir résultant d'une position déterminée du centre de gravité , relativement au centre de figure, dans les obus excentriques. La position du centre de gravité d^un obus excentrique dans un sens déterminé par rapport au centre de figure dans les bouches à feu , est une cause de dérivation dans ce sens ; il s'ensuit qu'on diminuera les déviations variables d'un coup à l'autre , en plaçant ce centre de gravité constamment dans la même position.

Parmi celles qu'on peut choisir, les positions latérales ne sauraient être adoptées , parce qu^il en résulterait des difficultés pour le pointage. Les positions perpendiculaires à Taxe et dans le plan vertical de projection, ne présentent pas cet inconvénient.

Lorsque le centre de gravité est en-dessous, Texcentricité concourt avec le frottement sur la paroi inférieure pour augmenter la vitesse de rotation , les déviations latérales sont moins grandes , et les portées plus régulières. Ces avantages ont fait donner la préférence à cette position , chez les nations qui ont adopté les projectiles excentriques.

Cependant , quand on remarque que dans ce cas, sous des angles de projection égaux , les portées sont beaucoup plus petites, et quand on compare les déviations pour la position inverse avec celle qu'on obtiendrait si Tangle de projection était augmenté de manière à donner des portées égales aux premières , on trouve , dans bien des cas , que c'est la position du centre de gravité en dessus qui donne la plus grande régularité.

On obtient Texcentricité de ces projectiles , en déplaçant le centre de la sphère intérieure, dans une direction perpendiculaire à Taxe de la lumière , d^une quantité ordinairement égale au tiers de l'épaisseur moyenne des parois;

DEVIATIONS DES PROJECTILES. 539

de celle maDiére Fépaisseur maximum devient le double de l'épaisseur minimum.

Cette disposition ne peut présenter d*avantages, qu^autant que la ligne des centres est exactement verticale ; toute autre position serait la cause de variations dans les portées , et d'augmentation dans les déviations latérales qui deviendraient alors plus grandes que pour les projectiles ordinaires. On doit croire que dans le tir sur le champ de bataille , par suite de la précipitation qu^on y apporte et de rémotion du combat, ce système perdrait beaucoup des avantages qu^il parait présenter dans les expériences et qu'il pourrait devenir moins avantageux que celui des obus or^ dinaires; aussi, certaines puissances (les Russes) qui les avaient adoptés à Texemple d'autres (les Prussiens), les ont-ils abandonnés.

Les avantages ne sont plus aussi sensibles pour les obus tirés avec de grandes vitesses , ils ne sont pas bien sen« sibles pour le jet des bombes tirées habituellement sous de grands angles de projection.

241. Placement du centre de gravité des projectiles ordinaires. Avec les projectiles ordinaires , il ne peut y avoir que des avantages à disposer de leur excentricité naturelle pour que le mouvement de rotation ait toujours lieu dans le même sens , en plaçant à cet effet le centre de gravité dans la partie inférieure.

Dans les boulets , l'excentricité naturelle est trés-faible , et une position déterminée du centre de gravité n'a qu^une influence difficilement appréciable sur les portées ; à plus forte raison n'a-t-elle pas d'influence sensible sur leur régularité ou sur l'étendue des déviations.

Dans les obus , Favantage qu'on peut retirer d'une position déterminée du centre de gravité est (rés-limité par l'obligation où Ton est de placer la fusée et la lumière de l'obus du côté de la bouche de l'obusier, ce qui ne laisse plus

340 S£CTIOH IX.

disposer que de la position da plan méridien qui le contient* Dans ce cas , la position inférieure , qui produit un mouvement de rotation direct dans le même sens que celui qui provient de la pression sur la paroi inférieure de Fâma, donne la plus grande vitesse de rotation et la plus grande régularité dans les portées. Avec cette précaution ^ dans le tir avec des vitesses faibles ou avec des vitesses moyennes , on obtient une régularité notablement plus grande. Ge résultai serait avantageux dans remploi des obusiers à tir plongeant; ces avantages compenseraient sans doute les inconvénients de la complication que cette disposition introduirait dans le service»

L'application au tir des bombes présenterait aussi un avantage appréciable, et diminuerait les déviations latérales. 242. Moyens d'obtenir la stabilité de ïaxe de rotation. La ibrme sphérique du vide des projectiles creux et le déplacement qu^on lui fait subir pour obtenir Texcentricité et le mouvement de rotation autour d'un axe constamment horizontal , n^assurent pas la stabilité de cet axe. En effets cette disposition ne fait pas concorder Taxe de rotation avec l'axe principal du moment d'inertie , majeur ou mineur ; il y a donc instabilité. On le reconnaît quand on tire plusieurs fois de suite un projectile rendu excentrique et mis à chaque coup dans la même position ; la permanence des déviations latérales dans le même sens prouve que Taxe de rotation, d'abord horizontal, s^incline constamment dans un sens déterminé.

On obtiendrait donc beaucoup plus de régularité , si Ton donnait au vide intérieur des obus la forme d'un ellipsoïde , dont le grand axe serait assez différent du diamètre du cercle perpendiculaire, et tel que le moment d'inertie autour de cet axe surpassât les moments autour des autres axes d'une quantité assez jgrande pour assurer la stabilité malgré les inégalités qu^on ne saurait éviter dans une fabrication

DÉVUTIONâ DES PROJECTILES. 5kl

courante. Le grand axe devrait éiire placé perpendiculairement au plan de projection. L^excentricité pourrait être trés-faible , et , pour certains cas , on pourrait même n'en pas donner ; le mouvement de rotation dû à la pression sur la paroi inférieure suffirait.

Une disposition de ce genre permettrait aussi d'obtenir des boulets plus de régularité dans le tir ; on devrait pour cela réserver un vide elliptique intérieur et excentrique , ou un vide cylindrique , dont Taxe serait sur une corde trés-peu distante du centre.

243. Variations dans les portées dues à la variation de la densité de l'air. La résistance que les projectiles éprouvent dans leur trajet étant proportionnelle à la dénoté de Tair, les variations de cette densité ou les changemenlg de la température , de la pression barométrique et de l'état hygrométrique , ont sur la trajectoire et sur les portées, une certaine influence. Quoiqu'elle soit petite en général , il est néanmoins utile de la connaitre. Les tables XI et Xni rendent cette détermination faeile.

Dans l'équation de la trajectoire (81), y := a: tang^

~AAca»>9'^^^^ V.), la fonction A-Çx^Y,) varie avecqui a pour valeur x — ^ — - , où la quantité A est proportionnelle à la densité J" de Tair, au moment du tir. Il suit de là^ qu^une augmentation dans la densité , produira 1106 augmentation proportionAelle dans- et une

certaine augmentation dans la valeur de 4 (^ > V,) , et par conséquent , une augmentation dans rabaissement du projectile qui , exprimée au moyen de la caractéristique A , sera

um colonoe des tables de la fonction 4(^9 ^O) donne

342 SECTVOIV 11^.

les différences A 4 (^. 9 V,), pour une variation de 0,01

de la valeur de -; par une simple proportion, on aura

donc la variation de la fonction , pour un accroissement quelconque de la densité.

Si 9 est l'inclinaison au-dessus du plan horizontal de la tangente à la trajectoire, on aura la variation des portées en divisant par tang 6 la quantité ci-dessus ; et comme on a tang 0

= tang^ — — — r-'i'f^ï V.'), Taccroissement dans les

portées sera, réduction faite:

une augmentation dans la densité , produira comme on le voit , un abaissement dans la hauteur de la trajectoire , et une diminution dans les portées.

En faisant l'application de cette formule , on trouve que les abaissements causés par des augmentations dans la densité de Tair, sont en général peu considérables , mais qu^ils ne sont pas toujours négligeables ; ainsi , avec un boulet de 46 , tiré à la charge du j du poids du boulet, une augmentation de ^ de la densité à partir de la densité moyenne, qui correspond à un changement de O'^jOlS dans la hauteur du baromètre, ou de 5^ j dans la température , produirait un abaissement de 0",08 à 600" ; à la charge de | du poids du boulet , il ne serait encore que de O",!! ; mais à la charge de j^, ou avec une vitesse initiale de 158", il serait de 0'",56. A égalité de vitesse et de distance , et avec des projectiles différents , on obtiendrait les mêmes abaissements, pour des variations de densité en raison inverse des calibres ou des densités des projectiles.

Une variation de 45° dans la température, et de 0",030 dans la hauteur du baromètre qui peut se rencontrer d'un jour à Fautre, produirait sur un boulet de 4 6 lancé à 600"",

OrÉVIATIONS DES PROJECTILES. 343

à la charge de j du poids du boulet, un abaissement de 0'",517 ; cette quantité , qui correspond à une différence de prés de 0^ 3' ou à une hausse de 3 millimétrés , n^est pas négligeable dans le service.

Ces formules auront surtout une application utile pour rapporter à une densité uniforme de Tair, les résultats d^expériences faites en des jours différents.

8 ni.

Trajectoires réelles des projectiles.

244. Données nécessaires pour déterminer la tra*^ jectoire réelle d'un projectile. On a donné (sections III , ly, y) les lois du mouvement d^un projectile soumis à Faction de la pesanteur et à celle de la résistance de rair, dans la direction du mouvement. Elles appartiennent au mouvement dans un air calme , d'un point matériel pesant et s'appliquent à celui d'un projectile sphérique homogène et sans mouvement de rotation. Nous avons donné la solution des divers problèmes qu^on peut se proposer de résoudre dans ces circonstances.

On a vu (205) qu'il y avait entre les formules elles ordonnées réelles observées de la trajectoire d'un projectile des différences notables , et l'on a reconnu qu'elles tenaient à des causes autres que les deux dont on a tenu compte. On a reconnu également que les causes déviatrices qui agissaient sur le projectile variaient en grandeur et en direction d^un projectile à un autre , lors même qu^on cherchait à rendre les circonstances du tir aussi égales qu'il est possible ; on a reconnu enfin qu^elles variaient pour le même projectile , dans l'étendue du trajet de la bouche à feu au but. On a fait voir que ces causes déviatrices étaient dues

an mouvetùeûi de rotation dont leû projectiles ordinaires sont gfénéralement àdifiiés.

Pour déterminer le mouvement réel du projectile , on devra connaître , dans tous les cas : 1^ La direction du projectile au départ, direction qui, à chaque coup, s'écarte plus ou moins de Vatxe de la bouche à feu , un peu plas généralement au-dessus (212 et 213) ; 2<' La vitesse initiale qui , pour une charge donnée de poudre , varie aussi à chaque coup dans certaines limites (217). Ces données suffisent pour déterminer la trajectoire lorsque l'on considère le projectile comme un point matériel , ou un projectile sphérique homogène et sans mouvement de rotation (sect. III, IV, V).

Si le projectile a un mouvement de rotation , on devra connaître en outre la direction de ce mouvement et la vitesse. On ignore encore pour la plupart des cas la grandeur de la force déviatrice qui résulte d*une vitesse de rotation déterminée. On sait seulement qu^elle agit généralement dans la direction et dans le sens du mouvement de rhémisphére antérieur (252). Nous avons déterminé »a grandeur, pour quelques cas des projectiles excentriques , lorsque Taxe de rotation était perpendiculaire à la direction du mouvement.

Si Taxe de rotation et le plan du mouvement restent parallèles à eux-mêmes durant tout le trajet , la déviation continuera à se £aiire dans le même sens et avec une intensité qui peut varier avec la vitesse et dont on ne connaît pas encore la relation.

Si Taxe de rotation du projectile se trouve être un des axes principaux d^nertie du projectile , et que sa surface , sans irrégularité notable, soit une surface de révolution autonr de cet axe , celui-ci restera parallèle à lui-même , et la déviation continuera dans le même sens. L^axe de rotation conservera une direction d'autant plus stable, que

DÉVIATIONB DES PROJECTILES. 345

le moment d'inertie majeur ou mineur, sera plus différent du moment dMnertie moyen.

Lorsque l'axe de rotation ne sera pas un des axes principaux , majeur ou mineur , et que sa position sera déterminée par rapport à ceux-ci , on pourra , par les lois àe la mécanique 9 déterminer à chaque instant du trajet la position de cet axe ei cette vitesse ; par leur moyen , on déterminera quelle est 9 à cet instant, la direction et la grandeur de la force déyiatrice. On pourra négliger, sans erreur appréciable , l'influence de la résistance de Pair sur la vitesse du mouvement de rotation.

24S . On tient compte séparément de chacune des forces déviatrices. Les forces déviatrices qui naissent du mouvement de rotation étant en général peu considérables , les vitesses qu^elles produisent et les chemins qu^elles font parcourir sont trés-faibles relativement à la vitesse du projectile et à l'étendue du trajet ; de sorte que leurs composantes dans le *plan perpendiculaire à la trajectoire pourront être regardées comme sans influence sur le mouvement de translation , et que leur mouvement pourra être considéré d^une manière indépendante. Ces considérations sont particulièrement applicables au tir ordinaire des armes à feu et des bouches à feu sous de petits angles au-dessus .de Phorizon.

Il en serait de même pour des arcs d'une certaine étendue , dans le tir des bombes sous de grands angles de projection.

2&6. application au tir peu élevé au-dessus de Vho* rizon. Prenons pour exemple le cas d^un projectile tiré sous un trés>petit anglç au-dessus de l'horizon, et dont l'axe de rotation serait perpendiculaire au plan vertical de projection , et le mouvement direct , c^cst-à-dire que son hémisphère antérieur tournerait de haut en bas ; nous supposerons de plus que l'axe de rotation étant un axe prin-

Zk6 SECTIOU IX.

eîpal da corps , il restera parallèle â lui-même durant le trajet , et que , par suite , la déviation aura lieu constamment dans le même sens que celui de la pesanteur.

Conservons les notations admises , et nommons de plus y la force déviatrice exprimée comme la pesanteur ^ , et qui dépend de la vitesse de rotation ; nous la regarderons comme constante dans retendue du trajet. Nommons ;? la déviation qu^elle produit par rapport à la trajectoire normale que décrirait le projectile sans la force ^ ; la déviati<Mi produite par celle-ci et rabaissement dû â la pesanteur^, seront dans le rapport des deux quantités ^ et ^r; de cette sorte (S7), en se rappelant que V,' = 2^/*c08*<p ,

rabaissement dû à la pesanteur étant j^-^4(^; V,),

la déviation sera

Dans le cas que nous considérons, la courbe restera plane ; elle sera seulement plus abaissée que la trajectoire normale.

Si le plan de rotation passant par la trajectoire au départ n*est pas vertical 9 et que, par exemple, la partie inférieure soit à gauche , la déviation se fera dans le plan du mouvement et dans le sens inférieur à gauche.

Si Taxe de rotation n^est pas perpendiculaire â la tan-, gente à la trajectoire , la force déviatrice sera diminuée ; sHI est dans le plan vertical, par exemple, la cause déviatrice latérale sera d^autant moins grande que Taxe sera plus rapproché de la direction du mouvement , et s'il se confondait avec lui la déviation serait nulle. Dans tous les autres cas , la force déviatrice agira dans une direction perpendiculaire au plan qui passe par Taxe et par la tangente à la trajectoire.

La valeur de ^ dépendra donc de Tinclinaison ; la loi suivant laquelle elle agit nous est inconnue; mais on

DEVIATIONS DES PROJECTILES. 54?

pourrait supposer, comme on Ta admis pour rincUnaison des surfaces planes , et cela jusqu'à ce que des recherches expérimentales nouvelles aient permis de l'apprécier plus exactement , qu^elle est proportionnelle au quarré du sinus de l'inclinaison.

Si l'axe de rotation n*est pas on des axes principaux du mobile , il changera de direction durant le trajet et variera suivant des lois connues; diaprés cela, on connaîtra à chaque instant la grandeur de la force déviatrice et sa direction et l'on pourra encore déterminer à chaque instant la position du mobile relativement à la trajectoire normale.

247 . Représentation du mou^ment réeî des projectiles. Pour re{Mrésenter le mouvement réel d^un projectile tiré sous un petit angle au-dessus de Thorizon,. Imaginons un plan qui soit toujours perpendiculaire à la trajectoire normale , qoi^ reste par conséquent sensiblement vertical , et dont un des points suive exactement la trajectoire et se meuve avec la même vitesse que le projectUe.

En traçant par ce point et dans le plan mobile une horizontale et une perpendiculaire à cette ligne, cette perpendiculaire restera dans le plan vertical de projection et le projectile, dans ses déviations, restera dans ce plan; sa position , relativement aux deux droites prises comme axes des coordonnées , indiquera donc les déviations verticales ou latérales et les déviations absolues. Le lieu des positions sur ce plan , sera la courbe des déviations. En marquant par des points , sur cette courbe , les positions du projectile à des intervalles égaux et assez rapprochés, on aura la représentation complète du mouvement.

Diaprés ce que nous avons dit, on voit que si Taxe de rotation du mobile est un des axes principaux d^inertie, la déviation se faisant constamment dans le même sens , la courbe des déviations sur le plan des coordonnées mo-

3&8 sfiorioif II.

biles , sera une ligne droite, et celle-ci ne sera autre que la trace du plan méridien perpendiculaire à Taxe de rotation.

En supposant que la trajectoire normale soit rectifiée et réduite à sa projection horizontale /les déviations rapportées à cette ligne seront avec les abaissements dus à la pesanteur dans le même rapport que la force déviatrice ^ i la pesanteur g. D'après cela , il deviendra très-facile de les déterminer.

Pour rendre les effets de ces déviations plus apparents et plus faciles à saisir, on peut les projeter sur le plan Lorizontal et sur le plan vertical passant Tun et l'autre par la trajectoire normale rectifiée. On choisira les longueurs du trajet pour abscisses et les projections pour ordonnées ; cellesci seront prises à une échelle plus grande que les abscisses , et la même que pour les coordonnées du plan mobile.

Pour compléter la représentation du mouvement d'un projectile , on devra tracer la trajectoire normale répondant aux mêmes abscisses et avec des ordonnées prises à une échelle plus grande ; celle-ci sera constante pour tous les projectiles tirés dans les circonstances qu'on regarde comme égales ; chacun d'eux ayant une trajectoire réelle partîculi^e et différente , sera représentée par une courbe particulière*

2(»8. Ca9 où la direction de taxe de rotation est variable» Si l'axe de rotation du mobile ne se confond pas avec Tun de ses axes principaux d'inertie , majeur ou mineur, et qu^on connaisse sa position par rapport à ceuxci et la grandeur respective des moments d^inertie, on pourra encore déterminer la loi des déviations. Ce problème, très-compliqué, a été traité analytiquement par Poisson^ dans certaines hypothèses et pour des cas parti-

^ Recberches sur le mouvement des projectiles dans Tair, en ayant égard à leur mouvement de rotation, par S. P. Poisson. —Journal dt Véçole polytechnique , 1839.

DiVIATIOKS DES MOIECTILES. 349

culiers. Nous allons indiquer le moyen de le résoudre complètement par points, dans le cas général.

On divisera la trajectoire en intervalles déterminés ^^f..,^ égaux entre eux ou inégaux et en assez grand nombre , quatre ou cinq au moins. Pour chacun de ces intervalles on calculera les longueurs du trajet.

Ea partant de., la position de Taxe de rotation et delà vitesse de ce mouvement au sortir de la bouche â feu , on déterminera après chacun de ces instants la position de cet axe et cette vitesse. Les principes de la mécanique et les formules du mouvement de rotation des corps *y ou les considérations géométriques sur le mouvement de rotation^*, en donnent le moyen.

Cela fait, on tracera sur le plan des coordonnées mobiles ou plan des déviations, la trace du plan qui passe par la tangente à la trajectoire et par Taxe de rotation ; la perpendiculaire à cette droite sera la direction de la déviation initiale du mouvement de rotation ; si ff est la force déviatrice qui correspond â la vitesse de rotation dans le premier intervalle , •- gfl!* sera le chemin latéral parcouru ou la déviation après ce premier instant ; on portera cette quantité sur la droite ; la vitesse acquise dans cette direction sera ^^.

Sans h second intervalle /", et sans la force déviatrice, la déviation produite eût été ^^f '^ mais la force déviatrice agissant suivant une direction un peudiffêrente, que l'on connaît , et étant représentée par y, elle ferait , si elle était seule , parcourir au mobile un espace | y ^' ; le chemin réellement parcouru sera donné en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme consfroit sur ces deux lignes , ou , plus exactement , rextrémilé de

* Mëcaniqae de Poisson.

** TMori« An mouvement de rotation des corps , par M. Foinsot , ht à raeadémie des scieoces, en 1S34« •

350 SECTIOTT IX.

celte diagonale sera la position da mobile à la fin du deuxième intervalle.

La vitesse , à la fin de cet intervalle , sera donnée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit , en prenant pour côtés et sur les mêmes directions la vitesse ^i^ au commencement de cet instant, et la vitesse ^f qui serait acquise pendant cet intervalle par la force déviatrice seule. On continuera ainsi pour tous les autres intervalles.

On obtiendra un peu plus d^exactitude dans les résultats , en apportant à cette méthode les modifications déjà indiquées (146 9 147) , pour le tracé des trajectoires.

En projetant les points obtenus de cette manière , sur les axes des coordonnées verticales ou horizontales, on aura les déviations dans Tune et dans Tautre de ces directions.

249. Trajectoire dans le cas de plusieurs causes déçiatrices coexistantes. Si le projectile n'est pas projeté suivant Taxe de la bouche à feu, les écarts dus à cette circonstance seule auraient lieu suivant la ligne d'intersection du plan mobile des coordonnées avec le pian qui passe par l'axe de la bouche à feu et par la direction de la ligne de projection effective. Ces écarts seront proportionnels à la tangente de l'inclinaison et aux. distances de la bouche à feu. Les déviations qui résultent de cette cause, devront être ajoutées à celles des causes précédentes, si elles existent en même temps.

Si l'air n^est pas calme, le projectile sera soumis à Teffet du vent ; on déterminera les déviations qui en résultent, comme on Fa déjà indiqué (219 à 222) , et on les ajoutera à la composante horizontale des autres déviations.

En calculant de cette manière des trajectoires dans diverses hypothèses de vitesse et de direction du mouvement de rotation et en les comparant à celles qu^on

observe effectivement , on verra que ces déviations , dont quelques-unes sont trés-singaliéres, s'expliquent facilement par Texistence de ces diverses causes. Réciproquement, d'après les déviations observées on pourra déterminer les causes qui ont dû y donner naissance.