DES
£n donnant ici un résumé des formules de balistique j on a en vue de permettre d'en saisir l'ensemble et d'en rendre les applications^plus faciles ; joint aux tables numériques qui le suivent , il facilitera la solution des principales questions qu'on peut avoir à résoudre et fera Toffice d^un aide-mémoire. Les numéros qui y sont insérés, sont ceux des articles du traité ou des tables.
Dans tout ce qui suivra , on suppose que le métré est pris pour unité de mesures linéaires , le kilogramme pour unité de poids; par conséquent, la densité sera représentée par le poids du métré cube de la matière dont il s'agit. La seconde sexagésimale est prise pour unité de temps , et les vitesses sont exprimées en métrés parcourus dans une seconde. Les angles sont exprimés en degrés nonagésimaux. La table I donne les sinus , cosinus , tangentes naturels des angles, avec le degré d'approximation dont on peut avoir besoin dans les applications. La table II permet de passer facilement du sinus du double d'un angle au double de la tangente de cet angle , ce qui s,ert pour le
SO
Z9k RÉSUMÉ DES FORMUIES DE BALISTIQUE.
calcul des hausses. La table TII donnera les logarithmcfli hyperboliques , dont on a besoin dans plusieurs cas.
KouTement des projeotflei dam le vide«
(1,2, 3). Les formules du mouvement dans le vide s'éloignent d'autant moins de la vérité, que la vitesse du projectile est moins considérable, que son calibre et sa densité sont plus grands. Appliquées au tir des bombes, aux distances ordinaires , elles donnent très-simplement la solution de tous les problèmes , avec une approximation qui peut souvent suffire. Elle est plus particulièrement approchée dans le cas du tir du globe du mortier éprouvette.
(4) Définitions. Y est la vitesse initiale du projectile , h la hauteur due à cette vitesse, ^ la pesanteur ou la vitesse acquise après une seconde par un corps tombant dans le vide. On a Y* r= 2^A (voyez table III , la relation de A à Y). En France, la valeur moyenne de ç est g = 9'",809 (192). Soit encore ç l'angle de projection au-dessus du plan horizontal , or et / les coordonnées horizontales et verticales d'un point quelconque m de la trajectoire, v la vitesse du projectile en ce point, 8 l'inclinaison de la tangente , t le temps écoulé depuis l'origine du mouvement; on a les relations suivantes:
(5) Equation de la trajectoire.
(7, 8). Amplitude du jet X et hauteur Y.
X = 2Aiin2(p; T t=: h%\n'^.
(10). Angle de la plus grande portée. 0 a lieu sous 45% alors X = ÎA; Y = |A, Y = VgS.. Sous les
angles de.projection également éloignés de k^^'y les portées sont égales (9).
(45). yitesse du projectile en un point çuelconçue.
V = V2^(A — x)] le minimum est au sommet et à Vcos^.
(44). Inclinaison de la trajectoire.
taogO = tang9-
SAcos'^
(45). Durée du mouvement, t z= ^ — -.
Durée totale. T = -; — : sous 45% 1 = 1/7-.
(46). La position du but étant donnée, trouver, soit ia vitesse initiale, soit l'angle de projection. Nommons a et 6 les coordonnées horizontales et verticales du point ,
b et f Tangle d'élévation du but, faisons tange = - ; on aura :
a cos 6 t / ag cose
Béfiitanoe de l'air.
(28). Lorsque la vitesse d'un corps dans l'air est faible, qu'elle ne dépasse pas 8 à 40°" par seconde, la résistance de l'air est sensiblement proportionnelle à la densité du fluide, à la superficie S de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mou* vement, et au quarré de la vitesse Y du mobile; de sorte que / étant le poids du métré cube du fluide , g la pesanteur (192), et k un coefficient constant poiv un
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même solide ou pour des solides semblables, la résistance p^ en kilogrammes, a pour expression dans le mouvemeat uniforme et rectiligne ,
p = -- — = ASSA.
(29). Dans le mouvement varié , la masse de la poupefluide qui accompagne le corps , agit comme si elle était ajoutée à celle de ce corps ; elle est négligeable relativement à celle des projectiles en fonte de fer.
(32). Dans le mouvement de rotation autour d'un axe^ situé en dehors du corps , la résistance est plus grande que dans le cas du mouvement rectiligne.
L^excés est d'autant plus petit , que le rapport de la dimension du corps, dans le sens du rayon de rotation, à la longueur de ce rayon, compté jusqu^au milieu du corps , est lui-même plus petit (36).
(38). Pour un plan mince des dimensions des projectiles et dans le mouvement rectiligne, on aurait, diaprés M. Poncelet, ^ = 1,30 lorsque le corps est en mouvement et le fluide en repos, et ^ = 1,8S, lorsque le corps est en repos et le fluide en mouvement.
(40). La valeur de k varie avec la forme antérieure du corps , avec sa forme postérieure et avec sa longueur.
(41). Pour des sphères ^ animées de vitesses qui ne dépassent pas 8 à 9°^ dans Fair, à la densité ordinaire , on a ^ = 0,54.
(44). Lois de la résistance de fair sur des projectiles animés de grandes vitesses, La résistance de l'air croit plus rapidement que le qudrré des vitesses ; on en représente assez exactement la loi, en ajoutant un terme proportionnel au cube de la vitesse.
D'après les expériences de Metz, sur des boulets de 0"",12 à0'°,15 de diamètre, la densité moyenne de l'air
RiSDMÉ D£S FORMULES DE BALISTIQUE. 397
étant i,2083, en nommant R le rayon du projectile , on aurait (50) p = 0,02707rRVXi + 0,0023o).
(51). Pour représenter lés résultats des expériences de Hutton, sur des boulets de petit calibre^ de 0'",06 de diamètre environ, à la densité 1,176, M. le colonel Piobert a donné la formule
P = 0,03058&tirRV(l + 0,0023f^).
En admettant que la différence entre les coefficients tient particulièrement à la différence des diamètres , nous ayons trouTé que la résistance, pour un boulet d'un diamètre quelconque 2R , la densité de l'air étant <^, serait exprimée par la formule
Dans les formules, 0,0023 sera remplacé par -j ce
qui donne r = 434",77.
Pour les bombes dont les vitesses ne sont pas en général bien grandes, on aura plus d'exactitude en remplaçant le premier coefficient 0,027 par 0,03227, et le dernier 0,0023 par 0,0012, d^où r = 833",33.
^ Dans le coars de Timpression de ce traité , la discasiion à laquelle a été soamif le rëinltat des espëriences sur lesquelles est fondée cette formate, a fait penser que rincertitnde qui pouvait encore régner sur la yaleur du premier coefficient, ne permettait pas de conclure d'une manière absolue , sur la yarialion de cette résistance en fonction des diamètres , et qu'on pouvait adopter avec une exactitude suffisante , une valeur moyenne 0,0^8 à 0,029 , pour tous les calibres et pour toutes les vitesses, alors, on aurait simplement, pour les projectiles de Tarlillerie,
A = 0,028-4-. et n = AarR'. ' 1,208
On s'occupe actuellement de nouvelles expériences plus précises encore que les précédentes y pour reconnaître s'il y a effectivement lieu de faire varier le ooefficient avec les calibres.
(51^. On aura en général
p = A-arRvfl+n ou p = iif»*(l + ^V
en faisant
(S2). Densité de l'air. La hauteur de la colonne de mercure qui fait équilibre à la pression de ratmosphôre , étant H, la température en degrés centigrades r, le degré de saturation, par rapport à Tétat de saturation complète s^ on aura
Mc^n. H 1 — 0,00252955 ,„ ^, ^,
2 = i,299i • . (Vovea uWe IV).
La valeur de s peut être obtenue par divers procédés ;
elle peut être donnée par l'observation de l'hygromètre
à cheveux de Saussure. SI Ton suppose s = {^ on a la
formule donnée par Laplace:
Mouvement des projeoUlet dan» l'aîr tous des anglet de projection qveloonquesi
(55). Soit, comme pour la section I , V et 9 la vitesse initiale et Tangle de projection, V, = Vcosç la composante horizontale de cette vitesse , et A la hauteur due à la vitesse V, ^ étant la pesanteur, V* = 2^A , P le poids du projectile supposé sphérique , D sa densité , x et / l'abscisse et l'ordonnée d^un point quelconque de la trajectoire , 6 Tinclinaison de la trajectoire en ce point , i le temps écoulé.
BÉSUUÉ DBS FORHULBS DB BALISTIQUE. 399
(56)^ La résistance de Pair étant p = nv^(i+Ay on
fait 2c = ~ , ou - = -5- (Voir table VI , les valeurs
de c et de -, pour les projectiles en usage).
(57, 58, 59). Soit en général un arc quelconque de la trajectoire , commençant sous un angle 9 et se terminant sous un angle S , le rapport de l'arc à sa projection étant A. (Voyez table V,. les rapports pour des arcs de parabole osculatrice).
Prenez la valeur de - (Voyez table VI) , calculez —
= ;2r, OU 5^ = ;2r pour les fonctions ^ et ;^ , — = Vo,
avec quatre décimales pour les calculs très-exacts , et avec trois décimales dans d^autres cas ; la base des logarithmes hyperboliques est <? = 2,718281828.
Représentons en général — ^ — par F'(;2'), et 2 ; —
par V{z) (Tables VII, VIII, IX); faisant
(Tables XI et Xni)-,
et
(4 + îli]«^-2j^ = x"(«, VJ (Tables Xnel XI?),
L'équation d'un arc de la trajectoire compris entre les
&00 ftéSUHÉ DES FOBUULES DE BAUSTIQUE.
deux limites qui déterminent et (Table Y), sera
