SV
RESISTANCE DE L AIR. ùù
)nrs poor calculer la résistance lorsque le coefficient k
p s: kSS^ ou p =3 kiSh.
Oq Toil par là que la résistance qu'éprouve un corps en r:'U^emenl dans un fluide, est proportionnelle à la denii'*: de ce fluide, au carré de la vitesse du corps et à la ;r jvctioo de celui-ci sur un plan perpendiculaire à la i.r;ciion du mouvement, ou autrement proportionnelle ao poids d*un prisme de fluide qui aurait pour base la f-r / ciioo de ce corps et pour hauteur la hauteur due à il Mte5>e du corps.
«il. Cas du mouvement varié. Si la vitesse du corps 3 '311 pas unifonne, et c'est ce qui a lieu dans le mouve-^ r^ v.\ des projectiles, on devrait avoir égard à la masse ■'j Ouide qui accompagne le corps et qui en augmente i ironie de manière à accroître la résistance quand le T uvemenl s^accélére et à la diminuer quand il vient au ' ' mire à se ralentir. Si on représente par m' cette masse, '^i por dV la variation de la vitesse V dans le temps in* :.: Mi^'^ot petit diy la résistance sera diminuée ou augmentée
' Bi' — , suivant que le mouvement sera accéléré ou
^^ire cette résistance due à la force vive imprimée
.1 muiécules fluides déplacées , il existe des résistances
t que la cohésion et les frottements des molécules
-■ ies entre elles, et que l'on a représentées par un
'•' .^e constant ou simplement proportionnel à la vitesse;
'unie cette rés^istance n'aurait pas d'importance relati- • "lit au mouvement des projectiles de l'artillerie, nous > tous en occuperons pas ici.
'i. Infiumre de la compressibiliU du milieu et 'le la
variation de la densité. Pour des nriliem gazeux, comme l'air atmosphérique^ qui sont réductibles de volume sous l'influence de la pression , la densité est plus forte en avant et plus faible en arriére que celle qui correspond à l'état d'équilibre du fluide. Ce fait peut expliquer comment, pour de très -grandes vitesses, comme celle des projectiles * de l'artillerie, la résistance croit d'une manière plus rapide que le carré de la vitesse ; de sorte
que dans l'expression kJS--àe la résistance, le coeili-
cient k ou la densité / du fluide devrait être augmenté d'une fraction proportionnelle elle-même, soit à la vitesse,
ce qui revient à ajouter à l'expression A</S--un terme
proportionnel au cube de cette même vitesse, soit à une puissance de la vitesse supérieure à la première.
Nous devons mentionner un phénomène* < qui, dans » l'opinion de beaucoup d'auteurs, peut se présenter lors ^ de ces mouvements très-rapides ; la production d'un j» vide plus ou moins parfait, en arrière du corps, vide i> qui se trouverait complètement formé dès l'instant où » la vitesse du projectile atteindrait ou dépasserait celle » avec laquelle le fluide ambiant tendrait à s'y précipiter )) et s'y précipiterait en eflet sous la seule influence de » la pression statique, si les filets déviés en avant du » corps et qui ont acquis une vitesse comparable et )> contraire à la sienne propre , ne venaient combler en 9 partie ce vide, au fur et à mesure de sa formation. >
Il existe d'ailleurs une grande incertitude sur la vitesse de la rentrée de l'air dans le vide, de sorte que la considération de cet élément dans les lois de la résistance de
» J. V. Poncelet, ouvrage cité, page 535 et note.
RÉâlSTAXCE OB L'AIR. 35
i air perd de son importance ici , el qu'il n'y a pas lieu de s f n occuper davanlage.
oi. Influetice de la forme des corps sur VùUensité a^kdue de la résistance de l'air. La formule p = kJ'Sh ce ^'applique qu*à la résistance exercée par le fluide contre ua même corps ou contre des corps de formes semblables, (jjb quand les corps différent soit par ces formes , soit (or la manière dont ils reçoivent l'action de ces fluides, !*-« rc^i^tances ne sont plus comparables et jusqu'à présent i ^i(>érience seule peut faire connaître avec une exactitude 5u2i^nte les valeurs relatives à chaque forme particulière •iu corps.
La forme antérieure du corps plus ou moins aiguë, ; is ou moins bien raccordée avec les faces latérales, f I iiiiant réeoulemenl du fluide, diminue les effets d'une i'vuitjon trop brusque et permet au fluide de reprendre |. »;rres5i\ement une direction parallèle; cela ten(^ à <'m(iècher les tourbillons et à diminuer les pertes de '.rre me* Cependant un allongement trop considérable *-: U partie antérieure , en augmentant les frottements • joienteniil la rt*sistance plus que Tacuité de cette proue 0*- b diminuerait.
b longueur du corps diminue aussi jusqu'à un certain ; int la résistance du fluide. La forme de la partie :* Mineure da corps ou de la proue, favorisant aussi le ^ «.-sfr^aienl du Quide à l'instant où il quitte le corps et ^"[•^chaot la formation des tourbillons, elle diminue la :'M«tance, mais elle a moins d'influence que la forme *•- "rieure.
a. ErpoMé des expérieixces concernant la résistance
' > fluides, dans le mouvement de rotation. Après les
li^rationa dans lesquelles nous venons d'entrer sur
.i F'^i-iance que les fluides opposent au mouvement des
'■]-. nous allons parler du résultat des expériences faites
pour déterminer la valeur absolue de cette résistance, la-
quelle est indiquée par celle de ^ dans la formule p=A;/S—
et variera, comme on Ta dit, suivant la forme du corps.
Si par une expérience faite avec un corps de forme déterminée, animé d'une certaine vitesse, dans un certain fluide, c'est-à-dire pour lequel S, V et / sont connus, on parvient à connaître la résistance p qu'il éprouve ; on aura évidemment la valeur de k par la relation
Les expériences devront en outre indiquer dans quelle étendue les valeurs de S et de V pourront varier sans faire changer celle de A, ou de combien devra varier k avec les diverses valeurs de ces quantités.
Nous établirons une distinction entre les expériences faites sous de petites vitesses, sur des corps de diverses formes au moyen de certains appareils, et les expériences aux trèsgrandes vitesses, qui n'ont pu être faites qu'au moyen des projectiles lancés par les bouches à feu de l'artillerie.
Nous commencerons par les expériences relatives au mouvement circulaire , parce qu'il a été plus facilement et plus complètement étudié.
35. Appareils etnployés. Borda a employé pour ses expériences* une espèce de volant (Fig. 9) dont l'axe horizontal AB porte un petit cylindre C sur lequel s'enroule un cordon à l'extrémité duquel est suspendu un poids E qui fait tourner le volant. Une verge mince FGK, taillée en couteau , forme les deux bras du volant, aux extrémités desquels étaient adaptées deux surfaces égales F et K ; leur centre se trouvait à l^SO environ de l'axe de rotation. Le
» Mémoire de T Académie des sciences , 1763.
cordon portail peadoie idem coude prés Fio isarques, et, auquel corres| eoire ell<*$, on coibé«|uenl la i eQei|*t'*rience; h première tm deieouc et de toure qui corrr le p*»i<l< roolei reM>Unco de 1 % bnl et du c [•r u%ait cliacui rn.;>!.'\ant des | Jv jr df* vil«»^s*
Piiur l'^limor <io le ciianT^'ail qtK rharon lui Hi'J-ur celui qi Hul.
:>■». D'3utre.< tt^ol â (t-IU*s-ci qoe Hottr»n emf
Ot apfiareil* i «FifT. lOi qui toi s r^ide d*un cl fr>4i^nieol. A I <r«ui Aie ; une U es bm^ d'avinm
extrémité le corps léger P destiné à recevoir le mouvement circulaire dans Tair. Un Ql de métal AH fixé d'un côté au sommet A du cône, de l'autre à l'extrémité H du bras empêche ce bras de flécbir sous le poids du corps. Le cylindre est enveloppé d'un fil de soie très-mince , qui, après avoir fait plusieurs tours passe sur une poulie L, et tient suspendu le poids moteur M. Celui-ci descendant en vertu de la pesanteur fait tourner le cylindre, le bras et le corps mis en expérience. Le mouvement du corps s'accélère et la résistance qu'il éprouve de la part de l'air augmente jusqu'à ce qu'elle fasse équilibre au poids moteur, alors le mouvement devient uniforme.
Pour opérer , on attendait le moment où la machine parvenait au mouvement uniforme, ordinairement après cinq ou six révolutions, on prenait le temps moyen de plusieurs révolutions; ensuite on détachait le corps P et on le remplaçait par un morceau de plomb aplati, de même poids et placé horizontalement; on substituait au poids M un poids m suffisamment réduit et déterminé par quelques tâtonnements pour qu'il imprimât au bras la même vitesse que lorsque celui-ci portail le corps. L'excès du poids M sur le dernier mesurait la résistance qu'é* prouvait le corps de la part de l'air. Cet excès multiplié par le rapport du bras GH au rayon du cylindre, donnait la mesure absolue de la résistance. La vitesse du corps était détermjnée par le rapport entre la circonférence décrite par le centre du corps et la durée d'une révolution. En faisant varier le poids moteur, le corps restant le même, on faisait varier la vitesse et l'on obtenait ainsi une relation entre la résistance et la vitesse. La distance du centre du corps à l'axe de rotation était d'environ 1^36; les vitesses ont varié depuis 1'™ jusqu'à 8" par seconde.
Des expériences ont été exécutées postérieurement, à
Brest, pa api«reil s i i aift de entre 0"2 mesurait 1 celle «le II
ol. itfS
de ces di\e biprés iaîiii4*$ d*a i^<oode, U df là surCi da ra%(in c
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L A TUiUult
40 'sEcnoN II.
défalque, en l'exagéraiil un peu, l'inflaence des résistances étrangères.
Ces résultats particuliers concernant le mouvement circulaire et quelques autres , avaient fait croire que la résistance des surfaces planes croissait en général , dans un plus grand rapport que leur étendue, mais les expériences de M. Thibault ne permettent plus d'admettre ce principe dans sa généralité.
D'après les expériences faites par cet officier sur des carrés en carton mince
pour S = 0«'026, S = 0«M03,
on aurait kszi ,525, k=:i ,784.
La résistance pour une même surface croissait un peu pins rapidement que le carré de la vitesse, comme Hutton 1 avait remarqué ; cependant cet accroissement était tout & fait négligeable pour des vitesses au-dessous de S'^ par seconde, mais il est certain que dans le mouvement circulaire la résistance croit dans un plus grand rapport que l'étendue des surfaces.
Pour mettre cette influence hors de doute, M. Thibault a fait mouvoir dans des circonstances identiques et sous l'action d'un même contre-poids, trois plans minces de 0">,10304 de surface chacun : le premier était un carré et les deux antres des rectangles égaux dont le long côté double de l'antre fut alternativement dirigé dans le sens du rayon du volant et dans le sens perpendiculaire , de manière que les centres se trouvassent pour les trois cas situés à la même distance l^nS? de l'axe de rotation.
Il a ainsi obtenu
pour le rectangle, le cdté 0a>454 dans le sens du rayon, fc = 1 ,900,
pour le carré de 0m32i de côté fc = 4,784.
pour le rectangle, le côté 0i°227 dans le sens du rayon, fc = 1 ,677.
Enfin M. Thibault ayant fait mouvoir sous un même
HÉSISTANCE DE L AIR. 41
(••Dire -poids 9 Irois can*és minces de 0™â23, O^^T^ <»M6I de côlé, aux distances re^^pectives de l^^STO, (» 1166 ei 0°>685 proportionnelles é leurs côtés, les rcsis- Lnces sous une même vitesse ont é(é trouvées sensiblement è^^ales entre elles.
C(^. De ces expériences on est en droit de conclure •{ je dans le mouvement circulaire les résistances qu'é- I ri'uve un corps sont d'autant plus petites qu'il est placé a une plus grande distance de Taxe de rotation, mais que M ce mouvement ne peut pas donner la résistance absolue, i: peut du moins servir à en donner les valeurs compar.-tive^ quand, étant semblables, les surfaces sont en outre ; . H »V5 à des distances de Taxe de rotation proporlionr - .U*s à leurs côtés homologues.
Remarquons qu'à mesure que les dimensions de In surff *' dirig»«e dans le sens du rayon diminuent, l'influence •.0 mouvement circulaire devient moindre pour un même r.<jfO, et qu*il en est alors comme si la surface de mêmes ..'ii« osions était placée à une dislance de plus en plus ;- nde de Taxe de rotation; ce mouvement se rapproche «..^i du mouvement rectiligne; l'on voit ainsi que l'on \ -A i^ H.'nir des expériences de M. Thibault pour déter^ ' :.«r la ré>i>lancc de l'air dans ce dernier cas. Pour • ^, 00 a pris pour abscisses les dimensions 0"^^54, '- J.t, U»ii7 placées dans le sens du rayon et pour r !• nuées les trois valeurs de k correspondantes 1 ,900, I.T^i, 1,079; par les trois points ainsi déterminés, on a <.t passer une courbe (Fig. 11); on l'a prolongée par ^ie du côté de l'origine, par cette seule considéra- ' n que pour des diminutions égales dos dimensions suivit 1^ ra>oo, les diminutions des diiïérences des ordon* ' « k étaient égales entre elles; on a trouvé que pour • dimen>ion exirémement petite ou à la limite, la valeur c serait ég^ile à 1 ,28; cette valeur doit se rapporter à
celle du mouvement circulaire d'un Irès-grand rayon et se confondre ainsi avec le mouvement reclilî^ne.
D'après une formule de M. le général Duchemin', relative à la résistance au mouvement circulaire suivant la distance du corps à Taxe de rotation, on aurait k=i,i5i,
39. Expériences sur le mouvement reciiligne. II a été fait à Metz en 1835 et en 1836 des expériences sur le mouvement rectiligne des corps mus dans Tair ou dans l'eau*. -Dans les premières, le plateau AB (Fig. 1S) avec lequel on opérait était horizontal et fixé à l'extrémité d'un cordon de çoie de petit diamètre; ce cordon s'enroulait sur une poulie CD à axe horizontal et assez élevé pour donner une chute suffisamment grande; le corps descendait par l'effet de la pesanteur seule; l'on accélérait ou l'on diminuait sa vitesse de chute par des poids addition* nels ou par des contre-poids. Un pinceau chargé d'encre de Chine était fixé à la poulie parallèlement à l'axe; à côté de la poulie était un plateau circulaire FG vertical recouvert d'une feuille de papier blanc auquel on communiquait un mouvement uniforme de rotation; on en observait la vitesse avec une grande précision, au moyen d'un chronomètre à pointage de Breguet, donnant les dixièmes de seconde. Le pinceau de la poulie décrivait sur ce plateau une courbe dont la forme dépendait des vitesses relatives de la poulie et du plateau. Cette trace du mouvement permettait, après que l'expérience était terminée, de connaître la vitesse de la poulie et par conséquent celle
* Recherches expérimentales sur les lois de la résistance des fluide, insérées au Mémorial d'Artillerie , No 5, page 206, et Jntrodtiction à la Mécanique, pai^ J. V. Poncelet, page 577.
* Mémoire présenté à M. le Ministre de la guerre et au concours pour le grand prix de Mathématiques de Tlnstitut, sur la Bésistance des fluides, par MM. Piobert, Morin et Didion, 1837, et Mémorial d'Artillerie , N<> 5, page 553.
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tianl de b ii bauU« i!« n II •JB* MTfur n
44 SECTiON H.
TuDité: cela, néanmoins, ne présente rien de contradictoire. Ce terme constant sert d'ailleurs à représenter les frottements de toute espèce que l'air exerce sur te corps, obligé qu'est le ilaîde de circuler tout autour du corps, pour lui faire place, en passant de l'avant à l'arrière. Le frottement existe ainsi quelque lent que soit le mouvement ; mais, sans trop s'arrêter sur ce sujet, on peut remarquer que le mouvement des plateaux ayant eu lieu de haut en bas et à travers une ouverture du plancher d'un grand bâtiments il a pu exister un léger courant ascendant à travers cette ouverture, quelque soin qu'on ait pris de fermer les portes et les fenêtres. Ce courant, peu appréciable aux moyens ordinaires d'observation, a dû avoir le même résultat qu'une augmentation constante de vitesse dont on n'aurait pas tenu compte. Cette erreur dans l'estimation de la vitesse relative du plateau et de l'air, a dû en causer une autre dans le calcul des résistances et les augmenter. Cette erreur augmentant d'une manière plus sensible les résultats relatifs aux petites vitesses, elle a dû produire une exa* gération dans le terme constant, et peut-être lui donner naissance : elle a dû augmenter également l'autre terme. Cela expli* querait aussi l'excès de la valeur de k sur celle qui est déduite des expériences sur le mouvement de rotation, corrigées d'après le résultat des expériences de M. Thibault.
40. D'après les résultats de toutes ces expériences et ceux d'autres expériences faites sur la résistance de Teau, M. PoDcelel' propose en attendant des expériences décisives, la valeur moyenne k == 1,30 pour le cas des plans minces en mouvement dans un fluide en repos et sauf à décider ultérieurement si l'étendue efieclive des surfaces offre ou non une influence dont il soit nécessaire de tenir compte dans les calculs, du moins pour les très-petites surfaces. Nous verrons plus loin qu'il n'en est rien en ce qui concerne le mouvement des projectiles.
A\ . Itésislanœ dans le cas où le fluide est en mouve-
1 Introduction à la Mécanique, page 587.
n"Ti/ H le corps en repos. Le cas que nous avons consi- •'•I*' ju5qu*ici est celui d*un corps en mouvement dans un fluide eu repos; mais lorsqu'au contraire le corps •M en repos el le fluide en mouvement, la résistance : ir.til notablement plus considérable; sans nous occuper «.-' b cause de cette différence ni des expériences faites j rei r^rd, nous nous contenterons de rappeler que M. Poncelet ' admet pour le coeflicient de celte résisi..u( e K ^^ jyoo.
M. Résisiafice des corps de diverses formes eti mauve" ^nd dans un fluide. Il nous reste à examiner la résistance que les corps de diverses formes éprouvent lors- (\ni$ se meuvent dans l'air.
tjuoique la forme de la sphère soit celle des mobiles les '^'is |r«'*n4^ralement en usage, il sera nécessaire de s'occui^-r au5M des autres formes, parce qu'elles sont mainte- • Li appliquées aux boulets oblongs, récemment adoptés ' ur k^ bouches à feu, aux balles oblongues des armes - f «j nouvelles et qu'elles sont nécessaires pour les fusées '• juerre.
I^*$ otpériences ont été faites pour déterminer Tini* H' e de la forme de différents corps pleins, tels que : -mefi ou coins triangulaires à face plane ou courbe,
'-*•*, demi-cylindres, sphères et hémisphères, mus cir-
. iirenti^nt dans l'eau et dans l'air sous des vitesses mé- '. ^r*^ el de manière à leur faire présenter allernalive- "nt b faillie ou convexité el la base, a l'action directe ' : niiieu. L^s ^é^ultats auxquels on est parvenu, en com- '.noi p<>ur chaque cas spécial la résistance sur la con- «'.:!•; à celle sur la base, sont consignés dons le tableau
' /Vfi. pai;« 612.
46 SECTION lï.
Rapport de la résistance des différents corps.
Du coin triangulaire à faces planes, à /^^ /'b rd ^ 0 728
celle de sa base rectangulaire, l'angle ^ J^ ' ; ; ; ; ;
au sommet étant de l
Du coin triangulaire à faces courbes formées de deux arcs de 60>, décrits du sommet opposé comme centre, à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,990
Du demi-cylindre elliptique (ellipse circonscrite au triangle équilatéral) , à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,430
Du demi-cylindre circulaire , à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,570
De la convexité du cône , à celle de sa /QQo Borda 0,601
base circulaire, l'angle au sommet lOQo (Id.) 0,543
étant de (sio 24' (Hutton). . . 0,433
De la demi-sphère , à celle de la sphère
entière (Borda et Hutton). 0,990
^ , j . , , ji „ j , Aroyn® d'apr. Borda 0,405
De la demi-sphère, a celle de son plan \,r L rC ,Ar%
,. iz 1 / n ,r\n\ {Hutton 0,413
diamétral (moyenne 0,407) |^.^^^ ^^^
« On doit regretter que les résistances de chaque espèce
» n'aient point été comparées directement à celle des
» plans minces, de même forme et surface que les bases
» indiquées au tableau, car elles eussent mis à même
» d'apprécier Tiniluence comparative des poupes isolées.
^ Tout ce qu'il est permis de conclure de l'ensemble des
» résultais obtenus par -Hutton, dans des circonstances
» qui, malheureusement, ne peuvent être considérées
I» comme absolument identiques, c'est que la première
)» de ces résistances, celle des plans minces, eût été géné-
» ralement trouvée un peu moindre que la seconde, celle
9 des mêmes plans accompagnés de (eurs poupes. Pour
) les bases de l'hémisphère et du cône soumis à l'expé-
n rience par Hutton, la résistance, dans l'air, et sous des
» vitesses de 3 à 4 mètres, a surpassé de 0,01 et 0,02
: environ de sa valeur, celle du plan mince correspon- I danl. Ce ré5:uUal joint à ce que le rapport des résis- » tances doit, d*après les observations déjà faites (37, » ^"^i, rester à peu près le même dans le mouvement « rectili^ne et le mouvement circulaire, permettra de dé* > terminer par le calcul, la résistance absolue des corps - in<!iqués au tableau ci-dessus, si celles des plans minces ' Wait exactement connue. »
io. D'après le résultai des expériences de Hutton*, le r.;^'Tt de la résistance de Tair sur la sphère entière et <i !e plan dans le mouvement circulaire diminuerait un ru avec les vitesses; pour celle de 6 à 7 mètres, il serait 1- 0,43, et en adoptant Tun des nombres 1,254, 1,28 'u 1,.iO (;)7, 40) pour la valeur de k relative au plan •i n> le mouvement rccliligne, on aurait pour (a valeur -i*- k relative à la sphère U,5;3, 0,538 ou 0,546.
Huttoo ne tenant pas compte de l'influence du mouvet II! de rotation trouvait k =l 0,594 et avait adopté 0,60 : jr A*^s vite>seâ de 2<° par seconde dans Tair.
Kjatie^ expériences entreprises par Newton sur la chute
'•'.ti^le dans Tair, de globes en verre de même diamètre,
n: (ioooé d'après les calculs de Dubuat k ^0,537 sous
* utesse» de 0" à 9" par seconde*. On voit d'après ces
• -rs résultats que la valeur du coeflicient k de la résis- '• K dans Tair, pour des vitesses qui ne dépassent pas ' ) 9^ [lar seconde, doit être d'environ 0,54.
ii. Les expériences sur les plans minces ont fait voir
.- dans le mouvement rectiligne, la résistance pouvait
' n-v'ardée comme proportionnelle à retendue des
':>^s do moins dans de certaines limites. Cependant
> wHUm ejyêritnceê d'artiilerù, deuxième partie, traduites ' V 0. Tenfoeni, page IK), tableau.
i-.'ru^urtian à la Mécanique ^ par J. V. Poncelct, page 015.
IIutlOQ avait Irouvé que dans le mouvement circulaire, en passant d'une sphère de 0^121 de diamètre, à une autre de 0"^162, il fallait augmenter de j le coefficient de la résistance. Mais» d'après ce qu'on a vu (87), cet accroissement doit être attribué à la nature particulière da mouvement et ne se présenterait pas dans le mouvement rectiligne.
Dans des expériences sur le mouvement rectiligne vertical/de sphères dans l'eau, exécutées à Metz en 1836' pour des diamètres de 0^118, O'nlSO, 0^148, OmtôS, 1)^330» le coefficient de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et rapportée à une section de 1™ carré a été respectivement 21,2, 21,2, 22,4, 22,9, 24.,5. Il est probable que les plus gros projectiles ont éprouvé d'une manière sensible l'influence du fond du bassin dans lequel on faisait les expériences, et que par suite les derniers nombres sont trop forts. De sorte que pour des sphères . dont les diamètres ont varié dans un grand rapport l'accroissement, s'il est réel, serait très-faible.
Trois cylindres équilatères de O*"!, de 0™2, de 0"3 de diamètre et dont les superficies variaient ainsi dans le rapport de 1 à 9, ont présenté des résistances qui ne croissaient pas plus rapidement que ces superficies.
D'après cela, on pourra regarder, au moins dans les limites ordinaires des calibres des boulets et des obus et aux faibles vitesses, là résistance comme sensiblement proportionnel!^ à la superficie; des expériences qui seront rapportées plus loin ont rois cette question hors de doute pour les projectiles.
' Mémoire présenté à M. le Ministre de la guerre et au concours pour le grand prix de mathématiques de l'Institut, par MM. Piobert , Morin et Didion ; Mémorial d'ArtUlerie , N® VII ,
•*.*' <î»'t#*mnnrr 1 n .'.«^ |»ar un I
« r.l iw fjili'S î h iti!rtir H fie (1 |. iir 2 êiiî ro>p b Ui^o ; on a II fw rti'>nm*lle an •rtin niclrp ca iT^Tl. il^iî^ 1 ■ ri»- «lan^ l»s li --.fî . 'nt/'d'un I
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50 8ECTI0!! n.
do chemin parcouru les vitesses au commeocement el à la fin du trajet ; on peut le faire de plusieurs manières :
1^ Soit P le poids d'un projectile, V sa vitesse à la distance a de la bouche à feu, V sa vitesse à la dislance d^
p , g étant la pesanteur, la force vive du projectile sera -\*
p au premier point considéré, et -\^ à la fin du trajet. La
force vive perdue sera donc - (V* — V'*). Mais si Tinler-
valle d — a entre les deux points est assez peu considérable pour que Y et V différent peu entre eux, la résistance à chaque instant variera peu elle-même, et en appelant p la résistance moyenne, le projectile, pour la surmonter, aura consommé une quantité de travail représentée par p(a' — a); par conséquent, en supposant que la direction du mouvement soit horizontale et en vertu du principe connu des forces vives, on aura l'équation
d'où Ton lire
Cette résistance moyenne est relative à la vitesse
v+V moyenne v = — ^— . En la divisant par la section du
grand cercle de la sphère, et le carré de la vitesse moyenne, on aura pour le coefficient p' de la résistance
Si l'on opère de la même manière pour d'autres vitesses.
RESLSTANCE DE L AIR. 5t
• h aura aalanl de valeurs particulières de la résistance ; h |»ourra donc déterminer la relation entre les vitesses
'1 les résistances. La quantité —^ est, dans chaque
» tp*'^rience, la vitesse perdue durant un trajet égal à l'unité % ie longueur.
Gmoaissant la valeur de p pour la vitesse moyenne, le •'.iiu^tre du projectile, ou la section d'un grand cercle de •j ^pbére ei la densité de Tair, on déterminera la valeur •!'* k correspondante (art. 34) qui sera
Comme on ne peut avec le pendule balistique mesurer U vitesse d'an projectile qu'en un seul point de son trajet, '.Q tire sur cet appareil de deux distances diiïérentes a '! d', mais avec la même charge de poudre, avec des proj liles égaux el dans des circonstances aussi égales qu'il »A p<i<sible, afin d'obtenir à chaque coup des vitesses iniiJ'$ égales on très-peu diflerentes entre elles, et par ' ::^'iiuent la vitesse qu'aurait eue le même projectile à
^j'.uoe des deux distances a et a'; pour avoir plus d'exac- *-.l*>, on ré|)ète l'expérience un certain nombre de fois
• naque distance, et on prend la moyenne des vitesses
• ^ >oue$.
^ Au lieu de supposer la résistance de l'air constante
« ai rétendue du trajet observé , on peut la regarder
"i-me proportionnelle au carré de la vitesse du projec-
'..• . ce qui s'approche davantage de la vérité et donne un
:- j plus d'exactitude.
p f' cUot le poids du projectile, - sa masse, la résistance
•'.uUe p dans le trajet « dépendra de la vitesse variable v
• hjqae instant, et aura pour expression p = pVR'v*,
p' étant la constante à déterminer; la force retardatrice sera p . - ou pVR'v' . -. On fera — -— = r- ou , ^^ = 2c;
la force retardatrice sera --.
En considérant le mouvement comme horizontal, représentant à chaque instant le trajet parcouru par x^ le temps
dx
écoulé par L la vitesse sera — , l'accroissement de vitesse
dv dv V* dx
— , et Ton devra avoir — =—; et, comme on a v = — , en
dC dt 2c ' dt'
dv dx
éliminant d/, on aura — = — : d'où, en intécrrant depuis
V 2c or
x = a jusqu'à x = a', ou depuis v = V jusqu'à v = V, on aura
logV — logV =
En faisant a' — a = «t, on aura, en représentant par c la base des logarithmes népériens,
Pour chaque expérience on connaît V, V' et a; on pourra donc déterminer ^c^ qui, d'après les relations cidessus» sera, en désignant par Log les logarithmes tabu* laires,
i 1 LogV — LogV . i P
et de là p' = rr
2c a Loge 2c «tR'^*
S^ Lorsqu'on adopte, pour exprimer la résistance de l'air, deux termes, l'un proportionnel au carré de la vitesse du projectile et l'autre au cube de celle vitesse, on
a une expression de la forme /= A Tl -i- -] ; et, lorsqu'on
R£S1STANCC DE LAIR. 53
'•nnjil déjà, au moins approximativement, ou qu'on se
* nne, le rapport - des deux termes, on obtient dans la
■i ' niiinjiiun du premier terme A une exactitude qui ne ..'-c- rien à désirer.
luus riiypothèse en question, la résistance de Tair
-i j=r AM -4--jrVR» et la force retardatrice est
\ i + -)r tR'-; en faisant — - — =— , dou A = .— ,
.1 f rcc retardatrice sera (i + A — . (5)
F;i supposant le mouvement horizontal, le trajet étant / i I»* temps /, on aura
ât 2?\ ^rr
' \\i que r = — , on aura -:- = — rrli -♦--); d'où
dz" = — 2c
I.'^-^ç'raol par les moyens connus, en mettant cette ••iiD 50US la forme t/x = — 2c/— —
2c/= iï: \,
' »ura
const.
•'.t cette intégrale entre les limites a et a\ aux-
54 SECTI<»I u.
quelles correspoodeat les vitesses V el V, et remarquant que d — a =1 tf , on aura
d'où l'on tire, en représentant par Log les logarithmes des tables,
el,
et comme (éq. 5) A = , on aura
Cette valeur est tout à fait exacte si celle de r est bien choisie. Il suffit que cette dernière soit approchée pour que la formule présente toute l'exactitude désirable.
47. En comparant entre elIesMes ti^ois méthodes, on voit que les résultats différent par les trois termes suivants qui se remplacent mutuellement , les logarithmes étant népériens,
40 J""^' ; 20 log-; 30 fi + 2iI±XL>) log XL.
Une comparaison des résultats numériques f^a mieux ressortir les degrés respectifs d'exactitude des trois méthodes.
Dans une expérience de tir d'un boulet de 24 dans un canon de siège à la charge de l'^SO de poudre, les vi-
( •^S'^s des boulets (moyennes sur plusieurs coups) aux lii^uoces de 15™ el 90^ du pendule balistique, ont été r'-ptYlivement 365^72 et 346»n03; le diamètre du boulet 'MU 2R:=0n>l4804, son poids ? = 12^010, la densité rrn^ane de Tair étant 1,2031 (poids d'un mètre cube en Il ^Tammes), la pesanteur O^^SOO; prenant pour r la \jt ur de 435"'*, les trois expressions ci-dessus donne* rviit respectivement :
La première donne un résultat trop faible de 77^ relali- \' r;)»'nl an véritable ; la diiïérencc relative à la seconde est r^ ijtte aux trois quarts de cette fraction.
0?s quantités sont réellement négligeables dans la re- 'i.<^rtbe de la résistance de Tair, elles ne correspondent ri j trois dixièmes de millimètre sur la hauteur du baro-
r^'-ire à mercure dans l'estimation de la densité de l'air.
I^ns le cas le plus défavorable qu'on aura à considérer, i ' rrear relative ne sera que de 0,001 , quantité qui corr-^P^od â trois quarts de millimètre de mercure sur l'es- '. tii'iD de la hauteur du baromètre dans la détermination :. b densité de l'air.
La dernière méthode, outre sa plus grande exactitude,
i /avantage de se prêter beaucoup mieux à la détermina-
' .1 du coefficient que l'on cherche, lorsque les vitesses
' ^rvées ne résultent pas de l'observation du mouvement : .a même projectile, parce que, quand r est connu
: ruximativement, la valeur de A peut se déterminer - ' b moyenne sur des observations à diverses vitesses. ! " se prête particulièrement à l'emploi des procédés .''i!ii<|oes '.
£/'!• iU ta rrtutancede Vair$urles projectiles, paris. Didion;
/*8. Expériences de Roblns. Les premières expérienct? enlreprises pour apprécier direclcmcnl cl d'une maniôrr assez exacte, la vitesse d*un projectile, l'ont éi^. par Robins, en Angleterre, antérieurement à 1742, sur dos balles de plomb, et à l'aide du pendule balistique qu*il avait imaginé*.
Les expériences peu étendues ont été faites sur d<^ balles de fusil de O^^OIO de diamètre. Il en a conclu qu'aux petites vitesses des balles, la résistance était phi.^ grande que ne l'indiquait la théorie de Newton, et que 1*' rapport croissait avec les vitesses.
49. Réstdials des expériences de Hution. Les ex[»*'*rienccs de Ilutton ont été exécutées à WoKvich, de 17î<7 à 1791, Ilutton a opéré sur les calibres de 1"', 3**' et C*' (avoir du poids), avec le pendule balistique de Roliiii< perfectionné; il tirait à des distances qui ont varié de It)'" à 130™. Avec le boulet de 1"', il a obsené des vites>«»5 qui ont varié depuis 100"-« jusqu'au delà de 6011***; avec le boulet de 3"', depuis la vitesse de 275* • jusqu'à celle de 520* =»; et avec le boulet de 6**^, depuis 3(m™ * jusqu'à 550" ••. Ilutton en a déduit les résistances corrr<pondantes aux vitesses des projectiles; d'après ces quantités, la résistance croîtrait plus rapidement que le can»*» des vitesses, jusqu'à un certain point, passé lequel la n'^^ilance croîtrait moins rapidement. Cette rési>tancc expiimée par le coeflicient k de la formule (art. 46, éci. :»i
fc = rr rr, est approximativement • :
VltC^^C f mèl- S*c,) 1, 3, 5, 10, a"), 60, 100, 900, 300, 400, 500. f-i Vilein de k 0,5», 0,61, 0,C3, 0,65, 0,67, 0,69, 0,71, 0,T7. 0,8H, 0,99. I.Ol, l •"
' SoHvraux prificipes t/Vii7i7/rri>, par Robins, clirtp. II, |" ^ position II.
' Ifitroduction à la MéiUtnique, pa^efilS.
RKSISTANXE DE L'aIR. 57
Les nombres qui représentenl les rcsislances onl été cM'Uus par des méthodes d'interpolation imparfaites^ et <•< rt*>ultats ne s'accordent pas avec les eiïels naturels, ^'iriuui pour les faibles et pour les grandes vitesses. M. I*i(>iiert a remarqué que pour les grandes vitesses le ' « llii itrnt de la résistance avait été déterminé par les plus :-.:!'*5 ré,^uUals de rexpérience et non parleur moyenne; -•- ^*»^te que Texislence de ce maximum n'est pas démon- !r e. (>uanl aux faibles vitesses, le coeilicient ayant été viî'-rminé d*aprés les résultats obtenus dans le mouveru'-ut circulaire, e^t par cela même trop grand quand il > vit du mouvement rectiligne. Ilutton ne tenait pas ' .-u.[»te de riniluence qui pouvait être due à la grandeur J- liiamt'tre des proj«»ctiles.
'^). Fonnule Jt* J/. le général PioherL M. le général I. l-rt\ eu 1830, reprenant les résultats immédiats des • •.. • ri»n< «•> de Hutton sur les boulets et non les résultats î r''5 diiis !»»> tableaux des vitesses dites régulières, en < • • ïi.-tn.it une courbe dont les ordonnées représentaient
' Mlt*>M'S ^ucce^^ives <|ue possédait le boulet en Iraver- » .1 do ri*u( lies d'air proportionnelles aux abscisses, et i "i i-nu de> ré>i>lances réjjuliéres. Les ré>ullats relatifs •j In.ulri de fonte de une livre ou do 0'"0i990 de dia- :- 'If M exprimés en mesures métriques, sont indiqués
.•iî»ié>*:
» "-.fij.etxrt ion. 150, SOO, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, COO. L* -:«a à..^. 0^1. 1,9», 3,(». 6,10,9;», 13,50, 18,50,21,00, 31,^0,40,30,50,00.
<.'> iiumbre> font \oir que les rési^tances croissent plus r.^.Jcmcot que les carrés des vitesses et M. le général
* M iu.>ire prr:>ento au concours pour le grand prix de mathé- *" {lie» de l'JiukUtut, par MM. Piol»crt, Moria et Didion, en
