HK

Obus . .(.

de 15

®\ de 12

grenades , „ \ de o

On voit, par ce tableau, que les petits projectiles comrae les balles de fusil ou les grenades de petit calibre, qui en même temps ont peu de masse, ne peuvent pas avoir un grand effet destructeur par leur chute dans l'air.

57. Expériences avec le pendule électro-balislique. Depuis peu d'années, on a employé à la mesure des vitesses des projectiles des appareils électro-balistiques qui permettent de mesurer la durée du trajet d'un projectile entre deux cibles distantes l'une de l'autre d'une certaine «luantilé (30"^ à 50"^ par exemple), et, par suite, la vitesse

Rt::»ISTANCE DE LAIR. 71

::• ^^Due au point milieu'. En faisant du même coup la 'i»Me i>{»>ration pour le même projectile, à une autre •' -' i::r.». i»n a la vitesse du projectile en deux points de

- u ir..j'*l et Ton peut déterminer ainsi les lois de la ' • '.•!.< '* de fuir, comme on le fait à faide du pendule

I> > r\pi rienres ont été faites à Metz dans les années

\^'-t\ lNr>7 et 1X58 pour compléter les recherches sur

- *. i> {\c la ^r^i^îance de Tair, en y appliciuanl le pen-

rl»Htro-balisti(pic. Les premières expériences ont eu

.. w ;i\''c d«-s boulets sphériques des calibres de 8, de 12,

> -i ei des obus de i:2cm. On tirait sur deux premiers

.-5 di-ianis enlr'eux de 30"* et sur deux autres situés

"• '.,h\.»rnent à \00^ des premiers. On obtenait ainsi

.4 Mi»»^^ de chaque projectile en deux points, laissant

- ':'-ux un intenalle de 100™ de trajet. Pour chacun . .\. on oi>i^nait le coefficient p' de la résistance de Tair.

L> i»'>ull.il5 n'ont pas été formulés, ils font voir qu'aux

ni< 'pennes la valeur de p' est égale à celle qui a

t*.' dounép, mais que pour des vitesses plus petites

^ r ^*-[.îUi*i diminuerait beaucoup plus rapidement que

r U f. iniule déjà obtenue (art. 52, éq. 7), et qu'elle

- . iMait même trop rapidement pour être dès mainte- : 3 lriii>e.

'. -i re* herches ont été continuées avec les mêmes ap- • '.^ et avec de nouvelles précautions, en 1857 et en ' *'-^, >ur les balles des armes à feu portatives. Elles ont

-''it'^, comme les précédentes, une diminution trop ' ; .«! dans les valeurs de p^, et les résultats n'ont pas ' -ùi une formule qu'on puisse appliquer au tir avec une ' KTt roofiance.

v..r w-^'tiftn VII, la de«rription d«»s appareil? et des pro-

7i SECTION u.

D'après les expériences de1858y la balle spbérîque de 0""0175, tirée dans la carabine à tige, donnerait la valeur de p' indiquée par la formule (art. 52, éq. 7) pour la vitesse d'environ 320"^*'; mais, elle diminuerait beaucoup plus rapidement avec les vitesses que ne l'indiquent les autres expériences et notamment celles de Hutton.

La balle oblongue sur laquelle ont été faites les expé«' riences est cylindro-ogivale et pleine ; elle a la forme ogivale à la partie antérieure, avec des cannelures sur la partie cylindrique, et sa partie postérieure se termine par un plan perpendiculaire à Taxe; elle pèse 48^; elle a, dans la partie cylindrique, 0°°017â de diamètre, après le forcementy et U"i029 de hauteur, avant la déformation que produit le chargement. Cette balle, à la vitesse de SOC"'** que donne la charge en usage, éprouve dans son trajet dans Tair une résistance qui n'est que les -^ de celle de la balle sphérique de même diamètre; de plus, le rapport va en diminuant avec les vitesses plus rapidement que pour la balle sphérique, de telle sorte qu'elle n'en est que les 7ô à la vitesse de SAO"».

La balle creuse, modèle 1857, ayant un diamètre de 0in0172 après le forcement, et une longueur de 0°^0215 avant toute déformation dans le chargement, et un poids de 32^, présente, à la vitesse de 305"™ qui correspond à la charge en usage, une résistance des trois quarts de celle de la balle sphérique de même diamètre. Comme avec la précédente; le rapport de ces résistances diminue avec les vitesses. Cette balle a la forme ogivale, à la partie antérieure; elle a une cannelure sur la partie cylindrique. Le creux, à la partie postérieure, ne laisse sur le rebord qu'une partie annulaire de très-faible largeur.

Ces expériences, d'ailleurs, doivent être reprises et con-^ tinuées avec de nouvelles précautions. On les exécutera notamment sur des obus en fonle des canons rayés de

câmpirne et de siège dont les dimensions sont celles lOtiiqnées ci*après :

^• Obas en fonte de campagne : diamètre de la partie qlindrique 0^085, partie antérieure ogivale, sans cannelure, doase ailettes ayant nne trés-faible saillie; terminée f*ar one partie plane à la partie postérieure ; sa longueur i laie est de 0"172.

^ L'obus en fonte du canon de 12 rayé a, comme le précédent 9 ane partie cylindrique sans cannelure, les )i!eltes ne présentant qu'une faible saillie ; son diamètre ^ de 0^119; la partie antérieure est ogivale, la partie [•ostérieare est plane ; la longueur totale est de O'o240.

Des eipérieoces snr le tir des projectiles oblongs du calibre de 0>ol5 et dans lesquelles on avait observé les portées et la dorée des trajets m*ont indique que le coeft: i^nt qui les représentait le mieux était les \ du coefB* n«iit A = 0,027 déterminé pour le boulet sphérique, '•(sl-àHlire A = 0,018.

D*après tous ces résultats et en attendant que des trai'*nt plus précis aient éclairé cette question, nous 1 ''opterons cette donnée A = 0,018 pour tous les project'!^5 oblonjrs terminés par un plan à la partie postérieure, M nous prendrons A = J 0,027 ou A = 0,020 pour les i^ill^ oblongucs creuses à la partie postérieure.

thi peut remarquer que celte diminution de rcsis- *in^^, due à la forme de la partie antérieure et à la > n^roeor du projectile, a lieu malgré les rayures pratiquée sur b partie cylindrique perpendiculairement à ' 3te de figure et malgré la forme non arrondie de la r-artie postérieure.

On doit remarquer que ces résistances se rapportent va balles oblongues lorsqu'elles sont encore à très-petite •i-Unce de Tanne, et qu'elles ne se rapportent pas abso- ■•iTDeot i b aiéme balle alors qu'elle a parcouru un cer-

lain trajet. En effet» après ce trajet, l'axe de figure ne se conrond plus avec la trajectoire, et en même temps le rapport de la vitesse de rotation à la vitesse de translation est plus grand qu'au sortir de l'arme, parce que cette dernière vitesse diminue plus rapidement que l'autre. Ces deux circonstances sont une cause d'augmentation de la résistance.

On reviendra, section IX, sur les résistances de divers genres que l'air fait éprouver aux balles oblongnes; mais en attendant que des expériences plus précises aient fourni des résultats plus certains, nous admettrons pour les balles oblongues pleines et pour les boulets oblongs, un coefiBcient de résistance égal aux deux tiers de celui de la balle spbérique, c'est-à-dire A= 0,018 et p'= 0,01 8(1 +0,0023 v); il en sera les trois quarts pour les balles creuses, comme celle du modèle 1859, c'est-à-dire égal à 0,020. On adoptera, pour les boulets oblongs de campagne et de siège,

le même coefficient A = 0,018.

D'après ces données, on a calculé les valeurs de c et -

pour les quatre projectiles depuis peu de temps en usage dans l'armée française. On a calculé également la limite de la vitesse qu'ils pourraient acquérir par leur cbute dans l'air, comme on l'a fait pour les projectiles sphériques (art. 56); les résultats sont renfermés dans le tableau ci-après:

AESISTANCE DE LAIR.

»ÉSIGJ«AnOl<

(Ml'

iMile ubIoDgue • • •

( >: 14 du canon de

rjiii|>dgn6 rayé

iM>»1857)

l 'bu» du canon rayé

POIDS

Mètres.

Kilof.

VALIOIS

Mètres.

VALEURS

éel.

musi

miximiUB te

ebote dans Pair.

Qo doit remarquer que la valeur de ^ pour la balle

f r^Qse, W^ 1857, n*est que les \ de cette valeur pour la i •:!'? fphérique et que pour la balle oblongue elle n'en rA même que les '. Cette valeur relative à Tobuc du lanoa rayé de campagne, comparée à celle du boulet de 8, de même poids n'en est que les |. On voit par là que ^ us le rapport de la diminution de reflet de la résistance •'< Fair, les nouveaux projectiles présentent un grand luolapp sur les projectiles sphériques.

fi8. Calait de la densité de Voir. La ré>isloncc de l'air ^Lint proportionnelle à sa densité et celle-ci variant av<^c U hauteur du baromètre, la température et l'état hygrocr.'^riqae de rair,il est utile de la déterminer pour chacun v-^ cas où ces quantités sont connues, lorsqu'on veut cal* '' .>r le mouvement des projectiles avec beaucoup de pré*

vit s la densité de l'air parfaitement sec à la pression '^ 'ocDétrique 0>b760 et à la température 0^ ; cherchons :«'Ile est b densité / à la pression H, à la tom|)éralurc

t et lorsque l'air contient de la vapeur d'eau à un degré de saluration représenté par s.*

L'air se dilatant de 0,00375 de son volume pour chaque degré du thermomètre centigrade et la densité étant proportionnelle à la pression barométrique on aura pour l'air parfaitement sec

o^ieo 4-i-o,oo375r

Si l'air contient de la vapeur d'eau sa densité sera moindre. Soit F la force élastique de cette vapeur, mesurée de la même manière que H, la force élastique H sera due à la somme de celle des deux fluides ; celle de la vapeur d'eau élant F, celle de l'air sera H — F. Or, la densité de la vapeur n'étant que 0,6235, ou les J de celle de l'air, la densité de l'air humide à la pression H sera moindre et

représentée par la fraction * =4 — 3-; de sorte

que la densité de l'air humide à la température t sera

' Plusieurs procédés peuvent être employés pour déterminer le degré de saturation de Tair. L'hygromètre à cheveux, de Saussure, est un des plus commodes, sans être le plus précis (voir à la table IV). L'hygromètre à condensateur, de M. Regnault, est à la fois commode et précis. Il consiste en un tube renfermant de Téther sulfurique, dans lequel est ploagé un tbermomètre. Par rinsofflatien, on ijétermine l'abaissement de la température de Téther et Ton observe le point de rosée, ou la limite de température à laquelle commence la condensation de la vapeur d'eau contenue dans Tair. On observe également la température de l'air, puis on cherche, dans les tables connues, la force /'lastique de la vapeur d'eau à chacune de ces températures. Le rapjKirl (ie ces deux forces donne le degré s de saturation.

RCSISTANXB OB L'AIR. 77

Lj tension F est toujours 1res- petite et elle dépend

*• b lero|>érali]re de Tair. A 0^ le maximum de F

t rMK)ri059, et à la température de 30^ il est de

K'M»f»4.i; entre ces deux limiles, on aura sensiblement

=:(K(M)5059-^ 0,0008528/. En substituant cette va-

jf de F dans l'expression de /, on aura la densité de

;r .<ituré de vapeur; mais si Tair ne contient que la frac-

0 s do la vapeur qui produit la saturation complète* la

: e élastique ne sera que la fraction s de cette quantité ;

. en remplaçant F par 5(0,005059 -f- 0,00085380, on

.ra iK)ur la densité de Tair en partie saturé d'humidité

„ i — l^{Ofl[^(m + 0,00085280

H on

0,7tJU 1 +0,003 75 (

D'après le résultat des observations les plus précises, le

. is du méire cube d'air sec à la température de 0^ et à

■ ;rr:>5ion de 0°>760 de mercure est de 11^3991 ou jfi

' (ureil volume d'eau distillée; c'est la valeur de A.

<Hi peut mettre la valeur de / sous une forme plus

. ; !e et qui facilite le calcul , en remarquant que le

'•'jr de - qu'on doit relrancher de l'unilé est toujours

-|<itit et qu'en donnant à H une valeur moyenne égale - 7G4) un aura

• — 1 ^Ûùi " 1— 0.0Q2>'>2^>55 — 0,00042643< *"• • 0,700 4-HO,0037r>(

M a Ut^^-peu pn*»s

0,7tiO 1 -|-(O,(IIUl75-|-O,0O()4^264s)t

^ u.^ant • ^= 3 daiifr c«Ue loriiiule, lo facteur de H au ounié-

SECTION m.

■OUWEMEVr DBS PB4MBCTILK8 DAMS L'AID.

60. Considérations générales. La solution générale de la question du mouvement d'un projectile dans l'air, a été regardée comme un des plus difficiles problèmes d'analyse. Ce problème a été, à plusieurs reprises, proposé au concours par les sociétés savantes, et, les géomètres les plus distingués ont essayé de vaincre les difficultés qu'il pimente; Euler, Lambert, Besout, Borda, Tempelhof, Legendre, Français, l'ont attaqué par des méthodes savantes et profondes, dans l'hypothèse que la résistance du milieu était proportionnelle au carré de la vitesse du mobile; cependant aucune méthode rigoureuse n'a pu jusqu'ici exprimer une relation finie entre les angles de projection, la vitesse initiale et Tamplitude du jet ; peutêtre même ne pourra-t-on jamais résoudre cette question dans toute sa rigueur; aussi l'on a dû recourir à des méthodes d'approximation. Dans les unes, on a rejeté des quantités qui embarrassent le calcul et qui ne semblent pas influer d'une manière sensible sur les résultats ; dans les autres, les résultats ont été exprimés au moyen de séries qu'on est dans l'impuissance de remplacer par des expressions finies.

Si les difficultés du problème du mouvement des projectiles, dans un milieu résistant, ont été aussi grandes

MOUVEMENT DANS L*AIIl. 81

l'^qu'oD a supposé la résistance simplement proportionn» .!♦? 3u carré de la vitesse, qu'elles rie devront pas êlre ''.l'S que présenterait ce même problème, dans Thypoli •-*.* d'une résistance exprimée par deux termes. On ne p ui donc espérer de le résoudre que par approximation, l'ne nouvelle didicuUé se trouve introduite par remploi d'^ projectiles oblon(|:s tirés dans les armes rayées d'oii r''>u!te pour eux un mouvement de rotation ; car , outre .'.) r->i$taDce tangcnlielle, la seule dont on tient compte ! r><|ue Ton considère les projectiles sphéricfues, il Tuut .\ uitîT ici l'effet qui résulte de la forme oblongue du proj' lile, de rinclinaison de Taxe de figure sur la traject ire et du mouvement de rotalion; trois circonstances l'iï ré<iul(e une dérivation assez gi'ande pour qu'on soit

• l'v'é de la corriger dans le poinlage.

l^ins resi>éce et le degré d'approximation que nous r Ijenbrruns, nous aurons toujours en vue les applica- .: n< utiles et nous éviterons de compliquer outre mesure

ï ft/nnuies, dans le seul but d'embrasser tous les cas, r '^ft ceux qui ne se rencontrent pas dans l'application.

• —1 pcut-^trc pour n'avoir pas été assez pénétrés de celte

• ' -, que les géomètres distingués qui se sont occupés de i t>i btiqae, et en particulier Legendre, n'ont pas amené ' tte ï<.ience au degré d'utilité qu'elle aurait pu atteindre.

N u!t considérerons le cas le plus général du tir, sous

. - tf^rands angles de projection et avec de très-grandes

•«•'5, dont l'usage re^lreinl jusqu'à présent pir suite

: l'iricTtitude qu'il présente, s'étendra de plus en plus

utui: cond^Miuenre du perfectionnement qui s'introduit ^:i« remploi des bouches à feu. Nous nous attacherons ' .« pirliruliérement au cas des vitesses modérées, les ' .«liabiludlement usitées dans le tir sous les grands • ^. >f de |>n>jeclioo, el à celui des grandes vitesses sous ^ ^tiu angles de projection.

82 SECTION m.

Dans les deux cas que Ton vient de citer, il n*est pas possible de représenter la résistance par un seul terme proportionnel au carré de la vitesse, même en détermi* nant le coefTicient de la résistance pour chaque cas particulier. La vitesse est alors trop variable depuis le point de départ jusqu'au point d'arrivée. Dans le tir sous iO^, par exemple, même à de petites distances, cette vitesse varie dans un rapport plus grand que celui de 1 à \/î, ou d'environ 10 à 7; par suite, les formules auxquelles sont arrivés les savants géomètres que nous avons cités, reposant sur une loi inexacte de la résistance de l'air, ne peuvent pas représenter exactement le mouvement des projectiles, même lorsqu'ils sont sphériques et sans mou* vement de rotation. La question analytique, sous ce rap- , port, présente donc des diificultés nouvelles plus grandes que celles que l'on a déjà surmontées.

61 . Equation différmiiéUe de la trajectoire. Soit 0 le point de départ du projectile (Fig. 14), V sa vitesse initiale suivant Oâ, ^ l'angle de projection au-dessus du plan horizontal, h la hauteur due à celte vitesse, P le poids du projectile, R son rayon, D sa densité, x ei y l'abscisse horizontale et l'ordonnée verticale d'un point quelconque M de la trajectoire comptés dans le plan vertical de projection et V la vitesse du projectile en ce point; soit de plus, s la longueur de l'arc OM, i le temps employé à le parcourir, 9 l'angle d'inclinaison de l'élément de la trajectoire ou delà direction du mouvement du projectile lorsqu'il

est arrivé en ce point; soitp la valeur de— qui représente

la tangente de l'inclinaison de la ttajectoire, on aura

dy dx du d$

-=|, = tang9, 0086 = -, sin9 = - et v = -^:

soit g la pesanleur, ou la vitesse acquise par un corps

MOCVBMKNT DANS L'AIR. 83

après 11 premiëre seconde de sa chute dans le vide, ':i f la résistance de l'air, que nous savons être (55)

1 = AtRvM + -j, et qui est supposée agir, à chaque

i:. taol, suivant la tangente à la trajectoire, p - étant la masse du projectile, la force accélératrice

uje à la résistance de l'air sera

1-^ composantes horizontales et verticales de cette résis* liiKe seront

La pesanteur agissant dans le plan vertical des coorf rjn*'"S qui passe par la lipie de projection, la résistance i l'-iir a^ssant tangenticHcment à la trajectoire, et au- ":'ie autre force que celle résistance n'ayant action sur

ffuj-i-cule ♦ celui-ci ne sortira pas de ce plan vertical; n jjra donc pour les deux équations du mouvement, ' :/. rmémcnl aux principes de la mécanique, savoir:

^i.i\ant Taxe des abscisses,

,dr , g dx . ^

V, snifaot Taxe des ordonnées,

t.^rrons que si le poids P est celui du mobile mesuré :ii le vide, le poids dans l'air sera diminué du poids

d'un volume d'air égal à celui du corps représenté par

P'-, et que par conséquent le poids sera Pfl j; la

force accélératrice due à la pesanteur réduite dans le même rapport sera g(\ — -). Mais pour les projectiles de Tar-

tillerie le rapport -- est assez petit pour qu'on puisse le

négliger devant l'unité, et c'est ce que nous ferons.

Effectuant la diflerentiation en regardant dx comme constant, on tire de l'équation (a)

Obsenant que dyr=pdx et que par suite d^y = dpdx, la diOërentiation de Téquation (6) donnera

dpdx dydH g dy , ., ^

ajoutant membre à membre à celle équation la précédente multipliée par dj/, on aura

(i) ^^ + gdt = 0 ou dpdx+gdt^z=zO.

Celle équation, comme on voit, est indépendante de p et subsiste quelle que soit la relation de la résistance de l'air à la vitesse.

Différenciant celle équation, puis tirant la valeur de dHj divisant celle-ci par la valeur de dC tirée de l'équation (1) elle-même, on aura

d*t ^ rf*p dp "" 2dpdt'

Soustrayant celte équation de Tcquation (c), on aura

g dt cTp

• »r,eu Taisant comme précédemment (46, éq. 5)— = AtR*-,

• n aura

^P 2c\ ^rJ'

M, en remplaçant v par —, on aura

^P 2cdr\ ^rdtJ'

^ ij-rés quoi l'équation (d) devient

2edt\ ■*'rdJ"~2djMtt*

:.r-«nt de celle équation la valeur de ~ et élevant au carré,

'- aora

dt' \d$dp ) '

- substituant à rfr sa valeur tirée de l'équation générale VixH-^//r = 0, on aura

••:-a rHnpIaçant rfj par sa valeur rix\/i + p\ puis p

' Z'dl^^d?^^d? P^*" di5» <>n aura pour Téqua- - '. de b trajectoire

86 SECTION m.

( ZL. -iV=

\dpy\^p'dx j

r' dp OU

("â-ëi/''^)'H-?.(.+g)"g=«. (..

Cette équation est trop compliquée pour que les moyens connus d^intégralion permettent d'arriver à une expression finie entre x et y.

Si Ton fait - = 0, ce qui est le cas de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse^ Téqualion précédente devient simplement.

(2) cd^p — àpàx V^i + p' = 0.

C'est sur le système des deux équations (1) et (2) qu'ont été fondées jusqu'ici les recherches entreprises pour la solution du problème balistique. Elles n'ont pu conduire, même dans ce cas simple, les grands ge}oraètres Bernouîlly, Euler, Lambert, Tempelhof, Français, qu'à des valeurs approximatives ou exprimées par des suites infinies, dont ils ont calculé un certain nombre de termes, et qui forceraient dans les applications numériques à des calculs très-pénibles. Ces difficultés n'ont pu être évitées par Borda, Besout, Legendre et Français, qu'au moyen de formules dont le degré d'approximation a dépendu des complications auxquelles ces géomètres ont consenti à s'astreindre. Nous essaierons de suivre une marche diffé* rente qui nous conduira plus promptemenl aux résultats que nous cherchons.

MOUTCMCNT DANS L'aIR. 87

Ci Equaiwn différeniieUe d'un arc de trajectoire. Repr>Qoos les équalions (a) et (fr) du mouvement

LT.ctaanl b diflerentialion en regardant dt comme cons- Uni, remplaçant p— par sa valeur ^(1*4* - j, on aura

L'^uation (4) par la substitution de la valeur du Tac-

leur de — de Téqualion (3) devient

d di

•y ^^ d'xds^ dy d*a; dy

df/ dx

r. 00 a ify = p</x ou — = p~- , d'où, en différenciant,

dt di

" *■ ifx dpdx , d*t/

-^ = n 1--^ — et par conséquent, en substituant —

z:* '^de dtdi ^ * ' d<'

i aura

dpdx

l'/or faire disparaître la valeur du temps et avoir une de b trajectoire, reprenons Téquation (3)

dl> 2c V ^Jd*'

l 3iirquons d*abord que le second membre exprime

la composante horizontale de la force retardatrice de l'air et que dans le vide — serait nul. Remarquons aussi que

le rapport — d'un élément de l'arc de la trajectoire à sa

projection horizontale, ou la colangente de l'inclinaison est variable d'un point à l'autre de la courbe. Si donc

dans le second membre on modifie légèrement le facteur

ds ,

— , on ne fera que modifier, dans le même rapport, la

grandeur qu'on attribue à la résistance de l'air, et si on remplace cette valeur variable le long d'un arc de trajectoire d'une certaine étendue, par une valeur moyenne le long de cet arc, on altérera légèrement cette résistance en chaque point sans altérer sa moyenne; l'on ne commettra ainsi qu'une très-légère erreur dont on appréciera plus loin l'importance. 11 sera donc permis, pour un arc de

grandeur limitée, de remplacer la valeur variable de 7-

par sa valeur moyenne dans l'étendue de cet arc, c'est-àdire par le rapport de l'arc entier 5 à sa projection x\ soit A ce rapport.

T* . , . . r 1 , <** ^ ds dx

ruisque la vitesse v est égale a — ou a — — , on aura ^ ^ dt dxdt

aussi v = a.— ; d'après cela, l'équation d'un arc limité dt

de longueur sera

« fdx\*fj. adx\

d^x « fdx\

"ciï

en représentant par t;, la composante horizontale de la vitesse en chaque point qui est — , on aura

dVi

tl puisque — = V,, on aura aussi en divisant membre à membre

Ces équations donnent la valeur de dx et de dt en r notion de t\ et on peut les intégrer; en eOet, on aura par les procédés connus *

^^ 2c dvt 2c /dv, a

M, fD intégrant.

XŒ [lo?!?, — logf4 + -ti, jj + eonst

= — log -f. coast.

r^tcnninanl la constante par la condition que la vitesse ujiiale soii V, c*est-à-dire qu'à la fois' la valeur de v, soit :a ct^niposante horizontale de cette vitesse ou Vcosq>, que LOtts représenterons par V, et que x soit 0, on aura

r =a-^log OU xss' log

Si rnprcMîon de U résistance de l*air contenait d'autres puis- *•-- »s de la Tîtesse que la deuiième et la troisième, on obtiendrait %>>sciU la valeur de ds en fonction rationnelle de V| et ton

90 8£CTI0N Ul.

d'où l'on tire la valeur de v, qui n'est autre que — , et,

en représentant par e la base des logarithmes népériens, on aura

dx V,

élevant cette quantité au carré et divisant membre à membre avec l'équation (5), on aura pour Féqualion difrérentielle d'un arc de la trajectoire

63. Equaiion finie d'un arc de la trajectoire. Faisant passer dx dans le deuxième membre, développant le carre

et remplaçant -^ ou - — — par - — --, en rappelant

que V* = 2(/A, on aura

Intégrant et déterminant la constante par la condition qu'on ait à la fois â; = 0 et p = tangç, on aura, puisque d}f

F M<aol passer dx dans le deaxiéme membre, intégrant et J'!i minant les constantes par la condition qu'on ait à la f.i« x=: 0 et y = 0, on aura

Ouc expression peut se mettre sous la forme

4hcos'U\ ri 1 /xr\»

*• .« p- présenterons par une même caractéristique F la '.'o^.* des fonctions de x qui multiplient fi H ^] et

' -•- — ) — *' cl qui ne diffèrent entre elles qu'en ce que

•*- eue

— tjt remplace par — ; c'est-à-dire que nous écrirons

» c / "* ^^•^V * \2c/^^ 1 /flx\*

§\Ti 2I2?/

92 8£CTI0N 111.

L'équation de la trajectoire deviendra alors

-'{'^'^nnshm

Telle est Téqualion d'un arc de la trajectoire dans l'air, lorsque la résistance de ce fluide est exprimée par deux termes proportionnels, Tun au carré, l'autre au cube de la vitesse, que cet arc est d'une étendue limitée, et que dans le facteur de la résistance de l'air on remplace les cotangentes des inclinaisons en chaque point par leur moyenne ou par le rapport de l'arc à sa projection.

Si l'on compare celte équation à celle de la trajectoire

a* dans le vide qui est, comme on sait, î/=a;langq> — ,

on verra qu'elle en diffère en ce que le second terme est multiplié par une certaine fonction de a? et de V divisés

Respectivement par les quantités constantes - et -. On

remarquera en outre que le second terme représente l'abaissement dû à l'effet de la pesanteur ; le premier étant au contraire l'élévation qui serait due à la vitesse du projectile s'il s'avançait en ligne droite suivant la direction de la ligne de projection.

En représentant celte fonction par ift>(a?, V), c'est'à-dire en écrivant

l'équation de l'arc de la trajectoire deviendra simplement

(7) y = xtang*--^^(x,V).

L'eipressioo de la hauteur du projeciile à une distance u'jnDée X, ne diffère donc de ce qui aurait lieu dans le

*:Jc qu'en ce que l'abaissement est augmenté

û'îiS le rapport de ife(x, V) à 1.

es. Inclinaison, durée, vitesse. La valeur de r inclinai- « I «le la trajectoire en un point quelconque s'exprime ^ ^i très-facilement au moyen de la valeur précédente •i p qui n'est autre que tangS; on aura donc

'.-^«sungf

M[.rt:SMun qu'on peut mettre sous la forme

\ r / r ax r'

Eo représentant par la caractéristique F les fonctions de î'ji eotn*nl dans les termes sous ta parenthèse, c'cst-à-

94 SECTION m.

Enfin, on remarquera que la quantité comprise eoire

— J comme la fonction

ift) qui se trouve dans l'équation de la trajectoire Tesl

— 1, nous pourrions la désigner par •ift!(a:,\');

mais pour indiquer qu'elle se rapporte à l'inclinaison, nous préférons la représenter par une caractéristique distincte d et nous écrirons

L'expression de la tangente en un point quelconque de Tare de la trajectoire sera donc simplement

(8) tangO=3tang^-gjj^5(a:,V). .

Dans le vide, on aurait comme on sait

tangO = tang9 —

2/icos^ 9

L'expression de l'inclinaison dans l'air (8) ne diffère donc de cette dernière qu'en ce que l'abaissement angulaire

- — p doit être multiplié par le facteur 3(iC,V).

Durée du trajet. La durée du trajet en fonction de la vitesse du projectile se déduit (62) de l'équation

l'on lire par les procédés connus

2c de, 2c /dw, ado, , «^ dvt \

'*i. t-n intégrant,

2rr4

f = — F— 4--logo,— -log(l + -«, jj + con8t

const.

K l'-^rminanl la constante par la condition qu'au com- : a)' ni du mouvement t soit égal à zéro et que v, ' là Composante horizontale de la vitesse initiale ou 9 = V, , on aura

Lifrf\uwn tir la durée du trajet en fonction de la vi- ' 4 iexirniniU de ce trajet. En vertu de la valeur déjà -*^ (02) de x^ celle de < se simplifie et devient

" «k plus on substitue à v, sa valeur en fonction de z

96 SBCTio?r ni.

et de ¥, (62), on aura pour la talenr de i en fonction de retendue dn trajet parconrn

On arrive plos directement à celle relation en partant de

la valeur de r, ou de --- (62). En effet, en la renversant

on obtient

En intégrant et déterminant la constante de façon qu'on ait à la fob a; = 0 et f = 0, il vient comme ci*dessus

En mettant cette expression sous la forme

on reconnaîtra que le facteur de 1 h est ce que nous

— I, de sorte qu'on aura, en rappelant que V, = Vcosç

Si Ton compare celte expression de la durée dans Taii

MOUVEMENT DANS L'aIR. 97

à colle qui aurait lieu dans le vide, qui est comme on

siii / = , on verra qu'elle n'en diffère qu'en ce que

f I!e-ci doit éire multipliée par le facteur entre parenih'vs qui est une fonction particulière de F'^— ) et de

— , que, va qu'il se rapporte à la durée, nous représenï'fons par CD; c'est-à-dire que nous écrirons

li après cela Tcxpression de la durée sera

'1 Von voit que le rapport de la durée dans l'air à la * .r*> dans le vide pour la même distancer horizontale est vl à c»*Iuî de (D(x, V) à l'unité.

<i5. Vitesse. Nous avons déjà trouvé pour l'expressioi^ : U %ite5^e (art. 62)

F... p^marquant que le dénominateur de V, est formé i c r'* , comme le facteur de -r dans l'expression

(€U7 \ — j, on verra

' i'«fn pourrait le représenter par une caractéristique

^ jc 0)'; mais comme elle se rapporte à la vitesse,

' 1 1 représenlera par la caractéristique particulière o,

98 SECTION lU.

aura

en faisant f 1 -4- -V, je^^ = t)(a;, V) de sorte qu'on

En remarquant de plus, que V, = Vcosç el que v, = t;cosB, on aura pour la valeur absolue de la vitesse en un point quelconque

^ ^ t)(a?, V)cos9

Dans le vide on aurait simplement» comme on sait,

cos <p

V = V , de sorte que l'expression de la vitesse du projectile dans l'air à une distance horizontale x du point de départ ne diffère de celle de la vitesse dans le vide qu'en ce que la première est divisée par t)(aj, V); et, le rapport de la vitesse dans l'air à la vitesse dans le vide est celui de 1 à XD{Xy V).

66. Relations entre les facteurs par lesquels les équations du mouvement dans l'air diffèrent de celles du mouvement dans le vide. Il y a entre les facteurs par lesquels les équations du mouvement dans l'air diffèrent de celles du mouvement dans le vide, des relations qu'il est utile de connaître.

Trois de ces quantités ' sont, en appelant z la variable

—, représentées par les trois fonctions

e», — = F'(z) et — =F(z).

• Voir aux tables VII, VIII et IX les valeurs numériques de ces

ocX aVi

quantités qui sont toutes fonctions de — et de . Ces tables sont

ainsi indépendantes de la nature des projectiles et de la grandeur des coefficients de l'expression de la résistance de l'air.

La première esl rexpononlielie dans laquelle e est la base «1»^ i4i|rjnlbaies hyperboliques /égale à 2,718281828; sa ul'ur est exprimée par la série convergenlc connue

La seconde se forme de celle première en en retran- 1. ml le premier terme du développemenl cl en divisant I- rv>le par le second lerme ; elle a pour valeur

La troisième se forme également de la première, en en r- 'ninrhaol les deux premiers termes du développement, ' t r n divisant le reste par le troisième lerme ; l'on a alors

Il est facile de voir qu'entre F(:) el F{z) il y a cello r'Siion F(:) = — , analogue à celle-ci F'(c) =— ,

.-:• \\*t con>i>!e pour l'une et pour l'aulre a retrancher ' ; 't i,\irr terme du d(^eluppenlent, el à diviser le reste . r U' Il rme suivant.

Uiuvnc des trois fonriions e*, P(:), F(:) a l'unité

;- if prr^miiT terme de son développement; les autres

' i'it> font tous positifs. Ces -fonctions sont donc tou-

A-^ plijv grandes que Tunilé, et elles s'en rapprochent

• .(lut plus que : est plus petit ; elles ne se réduisent