Les fondions représentées par les caractéristiques

«, h CD el o/ et qui sont composées, comme on Ta dît,

i^s fooclions P(r) et du rapport — - que, pour simplifier

k-i expressions, nous représenterons par V,, ont des prol ri léâ analogues à celles des fonctions F et F'. Ea efTel, si Ton élève au carré td(x, V), qui a pour

*j!ear (1 + Vo)e' — Vo, on aura

<^tte quantité est composée en 6' comme celle qui est r';»rêik?iilée par la caractéristique -ift, l'est avec F (2) et < uuiie b fonction d Tcft avec F'(z). Cette propriété nous û;rait permis (art. C4) de représenter celle-ci parift»'; de f- fie que vu l'analogie avec les précédentes, on pourrait r'{rêsenter la première par la caractéristique iib" et écnre

[o(x,v)r=vb"(x,v).

I^^mnrquant en second lieu que les valeurs de [F'(;2)]* '* «i^ [F(j:)]* ne sont pas tout à fait égales à celles de f :» el de Fc), mais qu'elles n'en différent que très-peu ■; ..Kid z est petit, l'on aura, eu re|)résentanl par 00, (^, V) -• fonction <P(x, \) quand on y remplace F'(t) par F(z),

• r, V)[d&(x. >!]•=== (l + Vor(^i-+^êZ^.^,;-:^2^.+.....

Inmm la première édition de ce Traité, en 18-48, les caractéiis- .^ adoptées étaient 4 et^^ aa lieu de if^ et ;$ et x' ot x" au tieu

Ces quantités sont très-petites quand z est une petite fraction, V^ n'ayant jamais une grande valeur.

Remarquons aussi que les valeurs de t!)(a;, V) et de (Q{Xy V) ne diffèrent entre elles qu'çn ce que c" est remplace par ¥'{z); de sorte que pour la valeur de 2* qui

représenterait — et qui serait telle que c* = F'(2'), on

aura

De même, pour les valeurs de x, telles qu'en représentant — par z, on ail F(2,) = e«, on aura

Il existe une relation semblable aux précédentes entre les valeurs des fonctions représentées par les caracléris-

tiques ofe et 5. En effet, si les valeurs de 2 m — et 2' = —

sont telles qu'on ait F (2) = F' (2'), la différence entre

afb(x. V) = (1 + VorFfz) - 2Vo(1 + Vo)F(-; z) + Vo*)

et

sera simplement

ift,(.r.V)-ô(x'.V) = 2(i+Vo)Vo[P(i2') — F^z)].

c'csl-à-dire que &(ocf, V) ne sera inférieur à ife(a:, V) que

de la quantité (1 -♦- Vo)Vc>X2[F(i2') -^(2-^)]- Or tant que z n'est pas considérable, F'{{z^ n'est qu'un

de (D et t). Si elles laissaient entrevoir plus facilement les relations qui existaient entre elles, elles présentaient la difficulté de Texpression et laissaient craindre des confusions.

;*-u supérieur à F(^z) et comme Vo ne dépasse presque ; u> en général une unité, (1 + V») Vo ne dépassera que de 'fo-peii deux unités; le produit

(l-+-Vo)VoX2[F(i.')-F(l^)|

v:n donc presque toujours une Irés-pelite quantité.

<^n a utilisé cette propriété dans rétablissement des ul!e5 numériques des diverses fonctions, de manière j'j'ane seule table a pu donner les valeurs de (D {Xy V) et •î*: c<jr, X)^ et une autre donner les valeurs de ifc(:r, V) k\ Je d(jr, \)j comme on va l'indiquer.

Apres avoir calculé pour un certain nombre de valeui*s ■!•• Vo les valeurs de t)(x, V) relatives à une série de ^i>urs de z, ce qui donne une table à double entrée,

3 a calculé la série des valeurs de z^ qui donnaient \ .:'i = r*, et on les a inscrites en regard des valeurs •:«: : ; de celte façon, et pour chacune des valeurs de Vo» ' '. entrant dans la table par la ligne des z on trouve les «. '.-ars de o(x, Y), et en entrant par la ligne des z' on :: 'ive les valeurs de cd(j^, V).

Il en a été de même quant aux valeurs de iA» et de d. \::"S avoir calculé pour un certain nombre de valeurs . V« les valeurs de t& correspondant à une série de

.'. urs de :, ce qui donne une table h double entrée,

a a calculé la série des valeurs de i' qui donnaient

^ 1} -=. F(:)y et on les a inscrites en regard des valeurs

.T :; de cette façon, et pour chacune des valeurs de

. eo entrant dans la table par les valeurs de z, on

é . « %aleiu^ exactes de il^(x, V), et quand on y entre

<r b ligne des valeurs de z\ on obtient une valeur qui t «u|H:fi»'ure à a(a:, V) que de la quantité

>uttc que trouvant calculé pour chaque valeur en

regard de i et 2' le double de la différence F' (^2*) — F(^:), el inscrit dans chaque colonne, sous le nom de corredion négative, il n'y a plus qu'à multiplier dans chaque cas cette dernière quantité par la valeur de (1 4-Vo)Vo, et retrancher ce produit de la valeur de ifb(:r, Y) donnée par les tables. Cela a permis de réduire à moitié l'étendue des tables numériques ^

68. Simplifications lorsqu'on suppose la résistance de l'air proportionneUe au carré de la vitesse. Si la résistance de l'air était supposée proportionnelle au carré de la vitesse, il

faudrait faire - = 0, ce qui donnerait 0— =— v'; dans ce

cas, les fondions composées représentées par les caraclérisliques tft> et d, (D et t) se réduiraient respectivement aux fonctions simples représentées par les caractéristiques F, F' et par e\ c'est-à-dire que ^^(aî, V) se réduirait à

f(7), 3(.t, \0 à F'{j), (î)(x, V) à F(g), tD(x, V) à e^, et l'on aurait pour les lois du mouvement des' projectiles

y = xidne^f — 77 :-F( — ),

^ *^ 4/icos'(p Vc/'

langO = tang?— r7 r-''^ ( — )j

t =. r I ;r^ I et f»= . — r-

Vcos^ \2c/ «* CO80

A mesure que x devient plus petit, c'est-à-dire à mesure que l'on considère des arcs de moindre étendue, ou que c, qui croît avec le diamètre et la densité du projectile, est

flur 'e

» Voir les tables numériques X et XI, XII et XIII de ces fonctions.

reprochent de l'unité; il en résulte que rinfluence de la r*^i>tance de Tair, dont ces fonctions tiennent compte, va '-a diminuant de plus en plus, et que le mouvement se '•;iro<he de ce qui aurait lieu dans le vide. Pour ce i'f.'iier cas il faudrait supposer p =: 0, et par conséquent

^ = 0, alors les fonctions F(~), f(~), F g) et e

•nient toutes quatre égales à Tunité, et on retomberait -A l«*s formules du mouvement dans le vide.

Ain>i, à mc>ure que Ton considère des arcs de moindre '• r !ii».- ou d»»s projectiles de plus furl calibre, ou de plus j lîj !♦• d#.*nsité, l'arc de tnjecloire dans l'air se rapproche ■> {lus en plus de l'arc de la trajectoire dans le vide, ' -i-j-dire d'un arc de parabole.

*•*.». TnhU'^ des valeurs représentées par le^ caractérisa /•;ma T ft¥. Les valeurs qui caractérisent reffct de la. r'^.^îance de Tair entrant dans toutes les applications nu- ^• :••]«.»'§ dos lois du mouvement des projectiles, des ' ' -'^ de ces valeurs étaient indispensables; elles ont été ■ :i''»> avec le dc;;ré de précision suffisant et néces- » '-. iVoir a la fin de ce Traité.)

U 1'jLI«3 VII est celle des valeurs de e", z étant .ici la

1 jr il** — nue l'on aura à calculer à l'avance. Cette table

- 'V' les nombres dont les logarithmes hyperboliques t<^^M, O,0i...., et croissant ainsi par 0,01 jusqu'à '^ quoi qu'on n'ait habituellement dans les applica-

• -i nVmployer que quatre décimales, on a donné les

' »^ li'f imales suivantes pour le cas où il serait nécessaire 'ni'T à un (It'gré d'approximation plus grand; mais on I M |i.if r«>ii par un intervalle blanc pour la facilité des

' -iî orilinaires.

b iaM^ VIII donne les valeurs de P(:) = pour

iOG SECTION lit.

des valeurs de z, de 0,01 en 0,01 jusqu'à 2,40, avec sept décimales; on les déduit facilement des valeurs de ^ pourvu que celles-ci soient calculées avec assez de décimales*. On a séparé les trois dernières décimales par un intervalle blanc; les quatre premières suffisent pour les applications ordinaires à la balistique. On peut alors calculer les valeurs intermédiaires entre celles des tables par les par* ties proportionnelles aux différences.

La table IX donne les valeurs F(z) = 2 ou

2 avec sept décimales, de 0,01 en 0,01 jusqu'à

0,30, et avec six décimales jusqu'à 2,40; les quatre premières suffisant dans les applications ordinaires à la balistique, on les a séparé par un intervalle blanc. Les valeurs intermédiaires à celles des tables s'obtiennent avec quatre décimales par les parties proportionnelles.

Exemple. Calculer F (0.21 17) avec quatre décimales. En remarquant que F(0.21) est 1.0738 et que la différence entre F(0.21) et F(0.22) est 0.0037. on aura

0 0017 . F(0,2117) =1,0738 H^gJ^. 0,0037 = 1,0742.

On aurait pu de la même manière calculer F(2;) ave« cinq décimales. Pour avoir six décimales exactes, on devrait recourir aux différences secondes.

On sait qu'en général tant que les différences secondes ne surpassent pas huit unités du dernier ordre, on peut se contenter des parties proportionnelles sur les différences premières.