MOCVEMKNT SOUS LES PETITS ANGLES
Appucaticni. Délerfflioer l'angle de projection d'un obus de 2i**pourlequelc3sll40'>;a=350»;6i=8-;V=:t04B:«56:
c ou ungt = 0.02286 et - =0,3070.
Dm le vide, on aurait tang^^ = 0.17988 (art. 17) et f B 10* irs. angle qu'on sait être trop petit» on aura ainsi
a l'atde de la table X. on trouve
el comme Jb = --, on aura
et
t = llo49'.
b pmunt cette valeur pour calculer it^(a. V). on approcherait djuatage de la valeur cherchée.
On obtient une solution beaucoup plus simple, mais un peu tr- :» apim>chée. en remplaçant dans le dénominateur du second ■embfc de Téquation 6. V, ou Vco8<f par V. et Ton en tire
taiig^ s tangt + ||ii&(a, V).
bns le cas ci-dessos on tirerait t = 11"* 27^
94. IHess^ d angle de prcjeciion d'un projectile qui i ii passer par deux points donnés. Deux problèmes qui <3t Qoe importance parliculiére dans le tir plongeant oa ur à ricochet des canons et des obusiers, peuvent aussi
162 sEC-noN IV.
être résolus ; le premier est le suivant : Trouver la vitesse initiale et Tangle de projection d'un projectile qui doit passer par deux points donnés.
Soient a et 6 les distances horizontale et verticale de Tun des points à la bouche à feu, a' et V celles de l'autre point; Y et ? étant la vitesse et Tangle cherchés.
Puisque la trajectoire doit passer par le point dont les coordonnées sont a et 6, on aura
6 = atang9-— 3^alb(a,V),
d'où
tang<^ =s rr — j-.|ft,(a, V).
De même, puisque le second point doit aussi se trouver sur la trajectoire, on aura
tang ^ r = r- — --1(5, (a', V) ;
retranchant ces deux équations membre à membre, on aura
o a' 4Acos'<^ '
d'où, en observant que ^gh = V* et que Vcos? = V.,
{M\ V.' 9 a'tli,(a\V)-aifi,(a,V)
Mettant à la place des fonctions ift)(a, V) et ife(a', V) leurs développements et ordonnant par rapport à -^, on
aura une équation du second degré en -^; en donnant à
MOUTEMENT 80U8 LES PEHTS ANGLES. 163
M, N, les mêmes significations que précédemment, à H', X', les valeurs analogues par rapport à a' et b\ et faisant
v= — ( ;], Ton aura, en ne conservant que la
nlem* positive, la seule applicable,
r Q — (oW — aM)
y \el \cJ / a'N> — aN \*
Celte équation peut être mise sous la forme
L^ divers termes de cette expression, à l'exception de </, sont fonctions de - et —, et ne contiennent plus les
..nnJeurs absolues a et al. Une table de ces fonctions
* ninit donc pour la solution de tous les problèmes de
<" ;'"nre, comme on Ta indiqué (art. 84, note).
Cionai>sant -^on déterminera les valeurs de la fonction
c 'ï.V» ^t celle de ifc(a', V); alors, en divisant Tune par éATt les équations premières, Acos'ç disparaîtra et Ton
164 «KCTION IV.
aura poar la valeur de p
a'iH(o',V)~aift,(a,V)j'
Ton en déduira ensuite la valeur de V qui est égale à V. r
r cos^*
On calculera Tangle et la vitesse de projection d'une manière beaucoup plus facile et suffisamment approchée, en partant d'une valeur approximative de Y et de r, et en les employant pour calculer i^(a, Y)ainsi que 'i^{a\ \); les substituant alors dans Inéquation (14), on en déduira tang^; on aura ainsi cos^ et Ton tirera la valeur de Y de l'équation (11), elle sera alors
(15) v^ ^ l/flra^Tft>(aSV)-aili)(a,V)
L'opération est ainsi très-facile à effectuer.
Application. Un obus de SS^^"*. paur lequel c = 1 140. doit raser la crête d'un parapet à 400"* de distance horizontale et Z^ de hauteur verticale au-dessus de la bouche de la pièce, et toucher le terre-plein du rempart à un point situé à 13"> plus loin et à 2«>274 plus bas.
On a a = 400°» : 5 = 8"; a' = 413» : 6' = 8» — 2-274 :;= 5°>726.
On trouverait dans le vide (art. 21) Y = 105»:»38 et
^:;= 10*>37'6. Avec ces valeurs on a -=ï0.3509; -=0.3622:
puis ui)((ï. V) = 1.160. tfl>{a'V) = 1.165 {les valeurs sont
MOCTSMEin' 80U8 LES PETITS ANGLES. i6S
ealcalées atec les tables i trois décimales (table XII)], et enfin
Uo2« ^ ' = 0,18667,
^ 413.1,165 — 400.1,160 v,iouui,
t = i0û34'5; cos* = 0,9830,
0,ÎW30»^ ^'-^^ 0,02^0,01384 "^ ^•
Si l'oQ recommençait le calcul avec ces valeurs on ne trouverait q:e des différences négligeables, on peut donc s'en contenter.
95. Vitesse et angle de projection d'un projectile qui di,it passer par un point donné, sous une inclinaison déimnintv. Trouver la vitesse initiale et l'angle de projecti n d*un projectile qui doit passer par un point donné ft S4)\js Qne inclinaison déterminée.
Sn^eat a et A les distances horizontale et verticale du ; Dt donné, et 9 l'inclinaison de la trajectoire en ce ;• .ni.
La trajectoire devant passer par le point dont les coori r.nées sont a et 6, on devra avoir
6 = ataiig^-;p^^^^(a,V).
à .û, en disant -= tangc,
tangt- lang. = -;-ifi,(«, V).
Li trajectoire devant avoir au point donné l'inclinaison * oaora (art. 91, éq. 2)
tang^ — tange = ^ ^{a, V).
2/icos*t
Retranchant ces deux équatbns l'xine de raulre, on aura
(16) tangt-tangO = — ^[23(a,V)-ift,(a,V)].
Remplaçant Acos*^ P^r— ^, multipliant les deui membres par r% remplaçant les fonctions 'ift)(a,V) et 5(a,V) par leurs développements en F[-] et F'[-], ordonnant par rapport
à —'y on aura une équation du deuxième degré, de laquelle
on retirera la valeur de ^; faisant, pour simplifier,
^'0 - ^(i) = «' « - l^ii) -*] = *"' ^^•'^-
vant à M et N les valeurs qu'elles avaient dans le pro-
blême précédent, et faisant Q^ = — (lang* — tangS), on
aura en ne conservant que la valeur positive, la seule qui convienne.
Celte équation peut être mise sous la forme
Les divers termes de celte expression, à rexception de
MOCVEMENT SOUS LfCS PETITS ANGLES. 167
Mm
'/. H/ii( fonctions de -, et ne contiennent pas la valeur
iîviue de a.
C'jDDaissant —, on pourra calculer ifi»(a, V) et 5(a,V);
yvi, en divisant les deux premières équations ci-dessus !L' tnbre à membre, cos*9 disparaîtra et l'on aura pour d \ileur de f
^^^^to(q,V)tangt-Tfe(a,V)taTige "^^^^ 23(a,V)-,fc(a,V)
2 'lit Uing9 et f et on en déduira cos^, puis la valeur de
\ lui sera égale à — .
('n de%ra remarquer que dans le cas du tir plongeant,
j ij!-:ur de 9 étant native, le second terme du numé-
• ' -ur *era positif.
<^ calculera Tangle et la vitesse de projection d'une
- t^^re lieaucoup plus simple et suflisamment approchée
'. ; irtani de valeurs approximatives de V et de 9, et en
rnpioyant pour calculer ii^(a, V) ainsi que d(a,V);
.L'^tituanl celles-ci dans Téquation (19), on en déduira
: f ; on aura ainsi l'angle % et cosç. On tirera alors
i!;ur de V de Téqualion 16, laquelle, en y remplaçant
par V\ donnera pour la valeur positive de V
cos^*^ *^ tancrc — taûL'O
tangc — tangO
L' < valeurs approchées de 9 et de V, dont on a besoin ûendroni facilement en résolvant le problème, sans .r compte de la résistance de l'air (art. 22).
i .-uctTï*»^. Un obus de 22«", pour lequel cs= 1 140". doit
.. rrt-te d'oo parapet à 400"* de distance horizontale et élevé
<^* M-^leMMde b bouche de l'obusier. puis pénétrer dans Tou-
vr9ge sous un angle de lO au-dessous de rhorizon. qoek doiveDi être Tangle et la vitesse de projection? On aura a = 400»: 6:îa8~; e=10^ et de là lang«=0.02:
Ungo =3—0.17633; -=0.3509.
Prenant comme valeur approchée, calculée en faisant abstraction
de la résistance de l'air (art. 23), 9= 12M2'5 ; cos9=0.9774;
V = 102.2. on aura
et
t = 100 48' 9, cos<^ = 0,9823;
et ensuite
Ces valeurs sont suffisamment approchées; en les employant {)our recommencer le calcul on n'arriverait qu'à des différences négligeables.
96. Remarque. Si l'on faisait abstraction de la résistance de Tair, les fonctions if^(a,V) et d(a,V) se réduiraient à l'unité) et l'on aurait, en ne considérant que la valeur absolue de 6,
tang9 = 2tangc + tangf ^
si les angles sont petits, ils pourront remplacer leurs tangentes, et l'on verra que l'angle de tir sera à trés-pea prés égal à l'angle de chute augmenté du double dé l'angle d'élévation du but au-dessus de l'horizon.
Si le sommet de la trajectoire devait se trouver au point m, on aurait 8 = 0, et dans le vide lang^ = âlangi^ C'est la limite inférieure de l'angle de projection qui peut
