MOUTEVENT SOUS LES PETITS ANGLES

*.»!•" tir de - des tables ne pourrait servir pour une autre

\. * ur supposée égale à 3 ; il pourrait cependant être utî-

ii^' â la condition de regarder la quantité 2c comme ayant N.irié aussi dans le même rapport que r et de supposer

y ♦Ile a fwur valeur 2c' = 1000-.

N'jus ne donnons pas de tables de cette espèce à cause '- l1nron\énient signalé. Les tables des valeurs de cD et i Jab. X et Xll)y dont Tapplication ne dépend pas des i ;Ii*'ients, les remplacent avec avantage sous tous les

U^i<. Application au tir à grande vitesse sous de très-

i'''f< awjles de projection. Tant que les portées ne sont

;.i- trr<-considérables , que le projectile est animé d'une

r tihïc vitesse et que par suite l'angle de projection est

i.''--(Mlit, la trajectoire est Ircs-allongée dans le sens ho-

r- lUiI, et son inclinaison au-dessus ou au-dessous de

. .ri/on e<t toujours très-pelile; on peut donc, entre

îî.iiii.-:s limites et sans beaucoup d'erreur, négliger la

'..j'ounte verticale de la résistance de Tair; la compo-

- t" b'-rizontale sera alors la seule force qui ogira suivant

''.:•• ilirection, et la pesanteur la seule force verticale.

I''.- cvite hypothèse, ces deux forces seront indépen-

' ' ' 5 l'une de l'autre; la première sera considérée comme

:. !• r.iit dans le mouvement rectiligne, et la seconde

.' ;♦.• si \j résistance de l'air n'existait pas.

K L« ^o^*] ; soit toujours p l'angle de projection du mo-

. \ Ij vitt >>e initiale, xcly les coordonnées d*un point

•Mjfi»* de la tnij<*chjire, et v la vitesse du projectile

• V [• »inl; faisons V cos<;> = V,, et conservons a c et à r

• 'I..S v.ileurs que précédemment.

^ !!• Taction de la pesanteur, le projectile se serait mû

suivant la direction initiale OA (Fig. 17), par conséquent, après avoir parcouru une longueur 06 dont la projection horizontale est a?, il se sera élevé de BC = a:tang9; mais pendant la durée t du trajet, l'action de la pesanteur aura fait abaisser le projectile de la quantité Bm égale à ^gt\ et par conséquent la hauteur mC ou y, au-dessus de l'horizontale, sera y = ojlangç — \gV; or, V. étant la vitesse initiale du mobile suivant la ligne horizontale, on aura

^ = —- (j) (Xj V), et par conséquent pour Téquation de la trajectoire, en faisant V* = ^gh,

y = a.tang.-;j^[(D(x,V)r.

En comparant cette valeur de y i h valeur exacte (art. 63, éq. 7), on voit qu'elle en diffère en ce que la fonction iS^lx,^) est remplacée par la fonction [cô(^, V)]\ Elle s'en éloigne plus que celle* que l'on obtiendrait en remplaçant ift>(it;, V) par [(D,(^, V)]*, dont on s'est déjà servi (85, 87,97), après avoir calculé la différence qu'elles présentent avec afi) (a;, V) (67). Cette méthode n'a, d'ailleurs, qu'un avantage, celui de se prêter facilement à la construction de la trajectoire par points, lorsque l'on a la loi du mouvement, abstraction faite de la pesanteur; mais, au moyen des tables des valeurs de ifl>(a;,V), la première formule est à la fois plus facile et plus exacte.

La manière dont Lombard a traité le mouvement des boulets* dans l'air revient à celle-ci; mais cet auteur supposait la résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse; de plus, il ne prenait que les premiers termes du développement de l'exponentielle, de sorte que la for-

* Traité du tnouvcmeni des projectiles, appliqué au tir des bouches à feu, page 109 et suivantes.

MODTEMENT SOUS LBS PETITS ANGLES. 189

mvk comportait trois causes d'erreurs. On ne doit donc pas s'étonner si, dans les applications qu'on a faites de ces fonDoleSy on a trouvé peu d'accord avec l'expérience.

réaimtmmmm de Tair» proportloBacUe dm la vlteasc da mobile.

109. Circonstances dans lesquelles la résislance de Vair [•lit Hre représaUce par un seul terme proportionnel au (-jrré de la vitesse du projectile. — Simplifications qui en ••'^'Wn\t. Lorsque l'angle de projection d'un mobile au- ^- v-us de l'horizon n'est pas plus grand que celui que ;• rrael le tir des canons cl des obusiers, on arrive, comme il a wk (§ I) à une solution assez facile des divers pro- : '/nos qu'on peut se proposer, sur le tir de ces bouches j f'.'u ; mais les formules se simplifient beaucoup encore, .'•n$ le cas où la ré2>istance peut être exprimée par un .- j! terme proportionnel au carré de la vitesse.

b»rsque le projectile lancé sous un petit angle de proj t. -n n*a pas un grand trajet à parcourir, que sa vitesse ..M.*!»; n*c5t pas considérable, et qu'en même temps il i < ni tie faible calibre ni de faible densité, il en résulte '-' Ni \it''sse diminue peu du commencement du trajet * i» t.n. I).ins ce cas, il est permis de simplifier Texpres-

:. J«' hi résistance de l'air cl. de la réduire à un seul ■ r-.îc pri»|iorlionneI au carré de la vitesse.

I'j!i> r«'\pres>ion générale de la résislance de l'air

~ AtU V f 1 + j, la valeur de - est une très-petite frac-

a. de >ortc que, si v n'est pas grand, le rapport - ne

• T qu'une pelilc fraction ; si en même temps il varie

t zz

peu du commencement sf la un du tiujet, on pourra, sans grande erreur, remplacer sa valeur variable d'un point à l'autre par une valeur moyenne regardée comme constante.

Les circonstances de fort calibre, de faible vitesse et de distance peu considérables, se trouvent particulièrement réunies dans le tir très-plongeant ou tir à ricochet; ce tir ne s'exécute qu'avec les boulets ou les obus de fort calibre, avec des vitesses assez petites pour que le projectile soit dans sa branche descendante lorsqu'il arrive vers le point à battre et lorsqu'on même temps les distances de la bouche à feu sont limitées, à la fois, par les circonstances du service et par la crainte des trop grandes dévia-

lions; dans ce cas, - ne sera qu'une petite fraction; lerap-

port de la vitesse initiale V à la vitesse d'arrivée t'', qui, d'après l'expression de la force accélératrice de la résistance

de l'air p' =:--(i + -), est -= 1(1 ^-Je'*^ 1 — -,

sera peu différent de l'unité; il résulte de là que ( 1 -*- -) dans l'expression de la résistance de l'air, pourra être remplacé par sa valeur moyenne l-i-- — - — ; de sorte qu'en

faisant A' = AMh J, cette résistance aura pour

expression p = A'7rlVv\ La valeur de A' comme celle de v', et dans certains cas celle de V devront être déterminées au moins approximativement avant l'application des formules.

Soit, pour exemple, un boulet sphérique de 24, lancé avec une vitesse initiale de 120"*-*, à une dfstance de 350">.

En prenant A = 0,027, - = 0,0023, pour la résistance de