MOUVEMENT SOUS 1.ES PETITS ANGLES
^mode que 500" "• Il en sera de même, avec des diffén:Qces de plus en* plus grandes, pour les distances de If/.Hn ei 1732». Par conséquent, lorsqu'on suppose la ré- M^taoce proportionnelle au carré de la vitesse , et qu'on d'^iiail les vitesses initiales des portées observées, on est cjodait à trouver des vitesses initiales d'autant plus grandes, que les portées ou que les angles de projection, i 'Ot elles sont déduites, sont plus considérables '.
n résulte, de là, que les formules qui ont été données tn premier lieu (§ I), présentent à la fois et dans tous les cjï, plus d'exactitude et plus de simplicité.
* C'est ce qui est arrivé presque constamment, notamment dans 1-^ t'ipforiences d*artUlerie exécutées à Gavre, de 1890 à 1840, par rir<* de 11. le Ministre de la marine (Imprimerie royale, 1841), ! r.« reWe^ de Toulouse , en 1833 , et dans celles de Valence , en \'^i\ (.Vrchives du dépôt centrai de rarliUerie); c*est à tort qu*on 1. a conclu que la vitesse d'un boulet lancé avec des charges égales *' pi^udre, augmentait avec Tangle de projection (Aide-Mémoire 1 iruUrrie, i8U, page 430).
nOCWEIHEIVT DES PROJECTILES
Bi luppoun lA litisTAicB OB l'au pnopomomui ao CAiii
OB U TinSIB ou MOBOB.
PropHéiém générales des trajectoires*
115. Exposé, Les expériences qui ont été faites pour déterminer la loi de la résistance qu^ l'air fait éprouver aux projectiles en mouvement (secL 11). ont montré que cette résistance peut être représentée par deux termes, respectivement proportionnels au carré et au cube de la vitesse ; le second de ces termes a une valeur assez grande pour qu'aux vitesses dont sont généralement animés les boulets son influence ne soit pas moindre que celle du premier terme, il n'est donc pas négligeable.
On a vu que quand les vitesses sont faibles» les distances peu considérables, les angles de tir peu .élevés» et lorsqu'en même temps les projectiles sont de fort calibre, la vitesse éprouve peu de variation depuis le commencement du trajet jusqu'à la fin, et que l'on peut, avec une exactitude suffisante (109), représenter la résistance de l'air par un seul terme proportionnel au carré de la vitesse, à la condition cependant de déterminer le coefficient de cette résistance dans chaque cas particulier. Mais cette exactitude n'existe plus dans le cas du tir habituel des boulets sous de grandes vitesses initiales (1 14). 11 en est de même dans le cas des grands
%i\:\^ de projectîoD. comme celui du tir des bombes, parce que 1 ii'iion de U pesaoteur sur le projectile se joignant à celle de la r'MMaoco de l'air pour en retarder la vitesse dans la branche av% odaote, la vitesse varie beaucoup depuis le point de départ ,.^ju'au sommet de la courbe ; elle varie de même dans la branci.** tl^5c<»ndaote et la variation est d'autant plus grande que l'angle •i' [>r<»jeclioo est plus élevé au-dessus de l'horizon et que la vil'i-e initiale est plus considérable.
Ua ne peut donc pas. dans ce cas, regarder la résistance de l'air •urne proportionnelle au carré de la vitesse dans toute l'étendue •i*- !a trajectoire, même en adoptant un coefficient particulier pour
• ' i^'if ras.
<>r. c'est en se fondant sur cette loi que jusqu'à présent les r -airircs ont traité le problème de la balistique. Les résultats de .' .«^ si\jntes recherches deviennent par ces raisons moins sus-
• i L.r> d'application ; mais cependant, sous le rapport analytique ^."•*ut. ils coo$er\'ent encore leur première valeur, à cause de
«..^lope qu'ils présentent dans bien des cas avec les formules ..>5ur une loi exacte: aussi, pour compléter ce Trailé de
:.*«:iyu«, nous croyons devoir donner un résumé des travaux . c^ bjvants gi^ometres. D'ailleurs, quelques-uns de ces tra- '«.1. dus a une haute analyse, et encore manuscrits, présentent .: jTand intérêt, et plusieurs méthodes peuvent recevoir de nou- •'«.1 p4^ectionnements : en même temps les notations que nous «. -4 adoptées et l^s tables que nous avons calculées, donnent à « . \irx d^s formules une expression plus simple et en rendent
é «.-ailMn beaucoup plus facile.
11 G iHterus méthodes d'apprositnation. Les méthodes qu'ont
. • vres les géomètres pour résoudre le problème de la balistique •- :! de trois espèces. Par les unes, on arrive à des relations '!« .«-» entre certaines quantités qui appartiennent à la trajectoire,
• K cftoyf'O desquelles on peut arriver aux relations dont on a ' 1 en calculant numériquement les diverses parties de cette
*' i'i:re. L'ap^^roximation peut être augmentée à volonté en . /lUDt le nombre des parties et les calculs numériques. Telle -•' 4 aéthode des quadratures et la méthode d'Euler.
Par d'autres méthoded. on obtient les valeur» qu'on cherche en séries développées suivant les puissances des quantités données. Elles présentent une exactitude d'autant plus grande que les séries sont plus convergentes et qu'on emploie un plus grand nombre de termes. Ces méthodes ont été successivement employées par Lambert, Borda. Tempelhof, et en dernier lieu par Français et quelques autres géomètres.
La troisième méthode consiste à remplacer les expressions qui se refusent à l'intégration par des expressions approchées qui soient intégrables, de façon qu'on arrive à des relations en termes finis entre les quantités que l'on a besoin de considérer ; les valeurs qu'on obtient ainsi ne sont qu'approchées et l'on n'est pas le maître d'augmenter à volonté le degré de l'approximation ; l'excellence de la méthode dépend du choix plus ou moins heureux de l'expression introduite ; celle-ci doit à la fois donner une exactitude suffisante à l'objet qu'on se propose et rendre les calculs assez faciles dans les applications numériques.
Telle est la méthode ingénieuse imaginée par Borda, dans laquelle est entré après lui Besout, et qui a été ensuite perfectionnée par Legendre et Français.
En exposant les résultats de ces recherches analytiques, nous indiquerons sommairement la marche des calculs ; quant à quelques démonstrations et aux développements, nous renvoyons aux ouvrages que nous citerons'.
Pour qu'il soit plus facile de saisir les rapports que les résultats
> Les ouvrages principaux qui ont traité de la balistique et dont nous résumons en partie les résultats, sont les suivants :
La balistique, de Nicolas Tartaglia, publiée en 1537 sous le titre : la Science nouvelle; traduit de l'italien par Rieffel. Paris, 1845 et 1846.
Recherches sur la véritable courbe que décrivent les corps jetés dans Tair ou dans un autre fluide quelconque, par Euler; insérées dans THistoire de l'Académie royale des sciences et lettres de Berlin, année 1753, page 321 et suivantes.
Mémoire sur la résistance des fluides avec la solution du problème balistique, par Lambert; inséré dans les Mémoires de
HESISTAMCe PROPORT. AU CARRÉ DE LA VITESSE. 203
(•rt-séftleiil entre eui, nous adopterons pour tous des notations cuQiiHuies et nous traduirons en conséquence les formules donbcv-s par les divers auteurs.
Nuos exposerons d'abord les propriétés générales de la trajectoire.
117. iVeCofiiMU, propriétés générales de la trajectoire. Soit 0 le f- ir.i de départ du projectile. V sa vitesse initiale suivant OA (Fi^. 17). VTangle de projoclion au-dessus du plan horizontal, i la hauteur due i cette vitesse. P le poids du projectile. R son n>oo. D sa densité ou le poids de Tunité de vohnne de ce pro- ,^«-ulf. X et y l'abscisse et l'ordonnée d*un point quelconque M de la trajectoire; soit s la longueur de l'arc OM, / le temps em-
r.Vradêmie de Berlin pour 1767, page 102 à 188, réimprimé au i -irnal des armes «pédales, 1845, avec des notes de M. Rieffel.
^ur la courbe décrite par les boulets et les bombes en ayant r;trd A la résistance de Tair, par le chevalier Borda ; inséré dans ^« Mémoir» de TAcadémio des sciences de Paris, pour Tannée tT«'), réimprimé au Journal des armes spéciales, 1846.
Ci«r* de mathématiques A Tusage du Corps royal de Tartillerie, ^ ".'*' IV, par Bi'fcoat, deTAcadémie royale des sciences, année 1788. ^ MoQTcment des projectiles, page 138 à 107 de l'édition de 1788, M sfipeiBdice.
Inï^ertation sur la question de balistique proposée par TAcadémic p-«ale des sciences et t)elleè-lcttre8 de Prusse pour le prix de 1782, '«■r Leyendre; réimprimée au Journal des armes spéciales, 1845.
MrtD«>ire sar le problème balistique ou sur le mouvement d*un "']'*> dans un milieu résistant en raison du carré des vitesses, par V «l*- Tempelhof; inséré dans les Mémoires de TAcadémie de Berlin > *r ifFt uméP9 17»8 et 1789, page 216 à 229, ou le Bombardier
.«•'■«n. par de Tempelhof, capitaine d'artillerie au senice de ^1 M:»j'-Bté le roi de Prusse; Berlin, 171M.
Irvl^ du mouvement des projectiles, appliqué aux bouches à feu, . î J. L. LorolMinl, professeur aux ^oles d'artillerie d Auxonne,
M-iDiiire sur la théorie du mouvement des projectiles dans les
• ji n-«^isfant«, par le capitaine Moreaa; ins<'*ré dans le Journal
*' I >^»le fiolytechnique, 11^ cahier, 1802.
{'•'«-herrhes sur le mouvement des projectiles dans les milieux
■.•uiiî«, par F. Français, professeur de niathrinatiques à TÊcole
ployë à le parcourir, v h vitesse au point M, z la hauteur due i cette vitesse. 6 i'inclinaisoD de l'élément de la trajectoire ou de la direction du mouvement du projectile arrivé en ce point, nous
dy dx dy
ferons p = --. on aura donc p = lang e. coso = ■—•, sin0 = -r ds , . , .
et V = — ; soil encore g la pesanteur ou la vitesse acquise par un dt
corps après la première seconde de sa chute dans le vide. La
résistance p sera représentée par nv*; dans cette expressioo
kù n = A-^R' (52 et 55); on a aussi A = --, « étant la densité de
d*artillcrie de la Fère ; an XIII ; ouvrage manuscrit appartenant à la bibliothèque de TËcole d^application de l'artillerie et du génie, à Metz, et dont copie a été adressée à l'Institut de France.
Balistique. — Indication de quelques expériences propres i compléter la théorie du mouvement des projectiles de l'artillerie , précédée de l'analyse nécessaire, par A. M. d'Obenheim, professeur de mathématiques à l'École d'artillerie de Strasbpurg, 1814.
Traité de mécanique, par S. D. Poisson. — Mouvement des projectiles dans le vide et dans un milieu résistant.
Cours de balistique à l'usage des élèves de l'École d'application de l'artillerie et du génie, par M. Persy, professeur; lithographie de l'École d'application, octobre 1833.
Note sur la formule employée par Lombard , pour le tir du but en blanc et pour la formation des tables de tir, par M. Bellencontre, lieutenant-colonel d'artillerie. — Voir aussi T Aide-Mémoire d'artillerie de 1844, page 642.
Formules balistiques et tables de tir, par M. Chiniac, chef d'escadron d'artillerie. — Voir aussi l'Aide-Mémoire d'artillerie de 1844, page 642.
Tables balistiques générales et théorie mathématique du tir à ricochet, par Otto, traduit de l'allemand par M. Rieffel, et Journal des armes spéciales, année 1844.
Mémoire sur la trajectoire des projectiles de l'artillerie, par le comte de Grœwenitz, traduit de l'allemand par M. Rieffel, et Journal des armes spéciales, 1844.
Dei moto de' proietli ne' mezzi resistenti. — Du mouvement des projectiles dans les milieux résistants, par Paolo di San Roberto, Turin, 1855.
MSiSTAMCC PROPORT. AU CARRÉ DE LA VITESSE. 205
l îir H h 00 coetBcieot déterminé par l'expérience. La masse du
!rbtJe étant -. la force retardatrice due à la résistance de l'air
P i . ,. « P P 8RD
sera e-ou-- p'enfaisant&ss — = -—;—= --rrj 2c ng A«rR»^ 3 ki
dx t^dx ,
Eu partant des deux équations du mouvement d—= — — -- «
'î ^'7=~^'7'^ — 9^' faisant dys^pâx, et supposant dx
i nsuot. ces équations deviendront, comme on l'a fait voir ♦il.éq. ! et 2).
ta) dxdp =1 — gdt^ et cd*p sz dpds. (b)
La seconde de ces équations est celle de la trajectoire, la pre-
£..' re doooera la vitesse et le temps du mouvement. La densité de
làS et par conséquent*- étant constants, l'équation cd*p=^dpd$
dp k'
»-a pour intégrale — = Be ',
dx
F*oor déterminer la constante B, on prendra l'équation
:;ij=r — gdl* qui donne — = — ff t^: et comme au point de
dx dx*
dx ]' /vtioo la vitesse horizontale est — = Vcos<^, on aura
dt
Bss
V»C03»9 2/icos*<p'
^ ' dx 2;icos>'
'. iura au«si, en divisant membre à membre avec l'équation (a),
--- =s2aAcoh*f€< ou s = e ^ et « = V e ".
«• cos'O cosO
Lr w<oDd membre de l'équation (t) qu'on vient de trouver étant t-..'w;lié par d$ et le premier Tétant par la quantité égale
ArV^l+p'. on aura
d'où eo intégrant et en appelant ((o) rintégraley<(pV^i-Hp*
= îpV/r+jD?+^log(p4-V^Î+jp"), laquelle (art. 76. note) changera de signe dans la branche descendante, où p et tangO sot^t négatifs, on aura
(2) — c« = ~co8*ç[f (0) — G].
La constante — C est déterminée par la condition qu*à Torigine du mouvement on ait s = 0 et o = ^, on aura donc
Ainsi la trajectoire a pour équation
Si le mouvement avait lieu dans le vide, il faudrait faire - = 0,
et on aurait, comme on sait, une parabole. En mettant l'équation précédente sous la forme
e« — 1 2/ico8*9
im-mh
remarquant que pour - = 0 le premier membre, d'après son développement connu (66). se réduit à l'unité, et en nommant s* l'arc correspondant de la parabole, on aura
5' = 2/»co8>B(<r)-f(e)], on aura donc
e'c^i+i ou ^ = log(i + -)>
RtSiSTANCB PROPORT. AU CARRÉ DE I^A VITESSE. SOT
th\\(m trèft-remarqoable entre les deux arcs $ de h trajectoire fi »' de I» parabole qui se terminent en deux points où les incli- LaN'Qs sont respectivement égales.
198. Ân/mftoUê. Si Ton veut savoir ce que devient la courbe i\i côté de la branche ascendante, il faudra faire s ei t^ négatifs, c^ qoi doanera
or. si 00 prend sur la parabole le point m' (Fig. 18) pour lequel isst, on aura $^ — clogO. c'est-à-dire s infini ; donc, ce n'est 1 m6ni que l'inclinaison de la trajectoire devient égale à l'in- :.atsoo au point m', donc il y a une asymptote dont l'inclinaison r^: t'gale a celle de la tangente en m' ; l'inclinaison de cette asympbera donnée par la relation
: Ur
-r = 2fcco«N[f(^)-e(e)] ou m = ^j— j.+ f(^).
•>-t> valeur se calcule très^facilement au moyen de la table V.
s 00 prend du côté de la branche descendante un arc parabo- * f .« 0«' de plus en plus grand, l'arc correspondant On de la tra* .' uurt augmentera aussi, mais beaucoup moins rapidement. Donc *,*n éuot ioânî On' le sera aussi. Mais l'infini logarithmique étant lu dernier ordre, on voit que la courbe Bn ne tardera pas à se : iT^odre avec ooe verticale et qu'elle doit avoir par conséquent u:.- asymptote verticale.
Puar le prouver, éliminons a entre les équations (1) et (2), on «.ra
S = ; [îpVT+7+ ïlogG» + V^î+p) + const] .
' 'r. qvaad on intégrera entre deux valeurs très-grandes de p, on
.■ '.m négliger Tanité et log(p+ V^i+pO devant p. Alors oo « .ra simplement
dp p* .2c
-7- = ^ d*où Ton tu« «ssconst— — , dr %- p
doDC à partir d'un point pour lequel p est déjà très-grand, lorsqu'on fait p infini la valeur de x est finie. Donc la branche descendante jouit d'une asymptote verticale.
119. Rayon de courbure. L'expression du rayon de courbure, dans rbypothèse de dx constant, est. en le représentant par y,
dx(i+p^y ^ dp
dp
En substituant la valeur àee^ dans celle de — « on trouve celle
ax
de dx,
de là
G-ew "
Dans la branche descendante, la valeur de i (6) sera négative et par conséquent la valeur de y sera plus grande pour les mêmes valeurs absolues de p. De plus, la valeur de y ne sera infinie que pour p égal l'infini, ce qu'on sait déjà ; et. dans la branche ascendante où S (6) est positif, y sera infini pour G = ((6). ce qu'on a fait voir aussi (118).
Le point de plus grande courbure se détermine en égalant à zéro la différentielle de y, ce qui donne, en se rappelant que
Ungo = p et E (e) =x/vT+p dp,
1 vijrrJL + e(0) ou -i— JL,+f(e) = G.
Cette équation, qui ne sera satisfaite que quand o sera négatif, ce qui rend aussi ((^) négatif, donnera la valeur de o à laquelle correspond îe minimum du rayon de courbure.
120. Vitesse. La vitesse du mobile en un point quelconque a été donnée en fonction de s (117); en substituant dans cette
<^,( >:>iun b valeur de s tirée de l'équation (2). ou aura
.^Sll±£L ou ,.»- y^O-Hp^)
\u soramet de la trajectoire, où t'oo a p = 0^ et par suite *., =0. 00 aura simpleoieot
« yg
' n+fW
2/*cos*^
A [artir du sommet, la vitesse va en décroissant par l'eflet de •1 r*-^t>tance de l'air; mais, à une certaine distance du sommet. •i r'-^iutt^ur commence à augmenter celte vitesse, de sorte que ^ i r5f{ compense celui de celte résistance. La vi esse en ce
..î rst alors un miuimum.
<h (Ji'irniiine ce point en différentiant la valeur de la vitesse
■ -' M«U6 !a forii*e z = —- — -— - et en posant rf^ = 0 : de là
' ' il»*, à cause de dJ^O) = \/\~^^p*dp, la valeur de p donnée :.: U relation
^2 —p ^^^^ 2cos'0.sin9^ ^ ^ '
.. . . I> n'fst saiisfaile que pour une valeur négative de 6; c'esl-à- ' 'jij'' Itf* point où la vitesse est un minimum est dans la branche
Kii comparant entre elles Tes équations qui donnent respectif
* '.t le pdiiit du minimum de rayon de courbure et celui du
. Mil de \ liesse, on voit que le premier membre de l'une et
. . i.tre rquation est infini pour 6 = 0 et qu'il décroît quand 0
* : w'-Lic ; il i-n résulte que la fonction de 0 relative au rayon de
" lif* qui rtintient le coefficient -^ atteindra la valeur de C plus
' :a.tut H par conséquent pour une moindre valeur de 6. que
•tji V? rapporte au minimum de vire:sbC et qui coutiiMil le
i'-tii ^ : par conséquent, le point de la trajectoire où le r.iyon
de courbure est un minimum est plus près du sommet que celui où la vitesse est un minimum. Cette propriété est rendue encore plus évidente par le tableau suivant; ce tableau pourra en outre servir à calculer facilement, dans chaque cas, la position de ces
deux points ; on y a représenté
cos'O.sinO
par f(e).
im-m
rm-m
if(e)-f(o)
if(0)-!(0)
infini.
infini.
Au delà du point où la vitesse est un minimum cette vitesse augmente, mais non pas indéfiniment; elle se rapproche continuellement de celle pour laquelle la résistance de Tair est égale au poids du mobile, en même temps que la direction du mouvement se rapproche de la verticale ; cette limite de la vitesse est donnée par la relation
= a ou
Méthode des quadratures et méthcide d'Euler.
121. Équations fondamentales. Des deux équations du mouvement (61. a et h) Euler* déduit la relation que nous avons
» Recherche sur la véritable courbe que décrivent lescoij>sJ€tc^ dans Vair, i>ar Euler. — Histoire de V Académie de Berlin, annexe
RÉSISTANGK PROPORT. AU CARRK OE LA VITESSK. 211
ii»ODée (Gl. éq. 1).
t( t*iisui(e par diverses transformations il obtient
•I vMi loQ lire
. j, —<ip j., -P<*P
K - 'fdpVi + p» K - -/dp Vi -J-p'
K-î/dpVÏ+P' V^9 l/K-i/dp^/irp'
K-VdpVT+?
LrtpressioD Jàpy/Tlrf est celle de la longueur d'un arc do r tabule; celle-ci a pour valeur, comme on Ta fait voir (IGj.
.^v^l-Hp»-Hîlog(p4-V^l+p') représentée par la fonction
f / dans laquelle p= tango et qui s*évanouit pour 0 = 0. Au
i de départ où 0 = ^. elle devient f (♦). et. en remplaçant
k par - 00 aura plus simplement
.ct/0+;O
>'^ .l'-grales sont prises de manière à s'évanouir pour o ==: 0.
cg
U \ \. &se au sommet sera v* = --;•. Dans la branche descon-
dante e etp changent de signe et la fonction g (9) conserve la même valeur en changeant seulement de signe. Au point de départ où 0 = <fi et V = V, on a comme précédemment (117)
V3 cgr(l+tang^<i>) c
122. Aîéthode des quadratures. On peut déterminer par les quadratures tout ce qu'il est nécessaire de connaître dans la trajectoire et la tracer par points •.
L'abscisse d'un point quelconque de la trajectoire est égale à
'—dp la somme des valeurs infiniment petites de (Lc= c- — — - comprises depuis ù = 9 jusqu'à la valeur de 0 qui répond au point que l'on considère. On aura la valeur de x par approximation, en partageant l'intervalle des valeurs extrêmes de 0 en un très-grand nombre de, parties que l'on fera égales entre elles pour plus de simplicité; en calculant ensuite les produits des valeurs de
par la différence très-petite entre les valeurs consécutives
de p. que Ton représentera par Ap et que Ton substituera à la différence infiniment petite dp, La somme des valeurs de Ax ainsi obtenues approchera d'autant plus d'être exacte que Ap sera plus petit. En continuant le calcul jusqu'à ce qu'on soit parvenu à 6 = 0. on aura, aussi exactement qu'on se le proposera, les abcisses de tous les points do la branche ascendante de la trajectoire : la dernière abcisse sera celle du sommet. Au delà de ce point, dans la branche descendante, les valeurs de 0 et celles de p deviendront négatives ; en continuant le même calcul on aura les abscisses des divers points de cette branche. Par un procédé semblable appliqué à la valeur de dy, on aura les ordonnées correspondantes aux valeurs successives de p et on pourra construire la courbe par points ; on obtiendra de même la valeur du temps f. La vitesse en chaque point sera donnée directement par la valeur
• Traité de mécanique de Poisson.
•i*- r*=- — ^ ; il eo sera de oiême de celle de $ comme on
t£3 Méthode iEuler. Remarquant avec Euterqued/iV^l+p* = iz\h\, DD aura
^r.< conslanle. expression fort commode pour décrire la courbe, ^r. dit Euler. « Calculant pour un grand nombre de valeurs de f ou de 9. celle de s. on trouve autant de portions de courbe ; H sachant de chacune l'inclinaison à l'horizon, on en tirera «ivm^'nt les parties de l'abscisse et de l'ordonnée qui l<çur con* >ifQoent; lesquelles étant ajoutées ensemble, donneront tant Tabscisse que l'ordonnée entière, qui répondent à chaque point •ie la courbe. Ensuite, ayant la vitesse à chaque point de la
fourbe par la formule r'= -^ — ^ , chaque particule de la
CHjrbe dixisée par v donnera le temps que le corps met à la l-rrourir: pounu qu'on prenne les particules de la courbe i^^z petites, on obtiendra assez exactement, tant la figure de U courbe que le mouvement du corps. • C'est là ce qui cons-
V. *• fss^M^nlielJpmcnt la méthode d'Euler. V" .t cette méthode une table des valeurs^de la fonction l (o)
' *A (n s -utile, Euler en a calculé une de degré en degré
•-: V. !•• partie).
Il dislidgiie les courbes en espèces déterminées par les valeurs
-' C; les antres ne dépendant de e que pour les dimensions.
' -^ »«Tr>nt semblables.
IÎ4. Camdrydian par pointt. Pour construire d'après la mé-
. > d'Euler. un arc aux extrémités duquel les inclinaisons sont
'•*<^%eiDeot • et y et les tangentes p et p', on aura (Fig. 19)
donc
rinciioaison moyenne de l'arc étant ^ (e+o'). la portion 99' de Tâbscisse sera
et la portion de l'ordonnée correspondante sera
pourvu que les différences de 0 et 0' soient assez petites. On calculera de même les vitesses en H et H' qui sont
la vitesse moyenne entre les deux, étant i {v+v'), le temps employé à parcourir l'arc sera
clog-
Euler fait ensuite l'application de ces formulés à une espèce de trajectoire en calculant numériquement les arcs de cinq degrés en cinq degrés*.
125. Correction de Legendre, L'erreur que l'on commet par U méthode d'Ëuler tient à ce que la projection des arcs partiels est déterminée comme si ces arcs étaient des portions de ligne droite; en opérant ainsi, on prend ces projections trop grandes et on obtient des portées et des élévations trop considérables.
Legendre a corrigé cette méthode en déterminant la projection
* Les autres espèces de trajectoires ont été calculées par arcs de moindre étendue par le comte do Gnewenitz et par M. Otto (Mémoire sur la trajectoire des projectiles et Tfiéorie mcUhématique du tir à ricochet, au Journal des armes spéciales, années 1844 (H 1845).
•i*'^ arci de trajectoire comme si c'étaient des arcs de cercle. Il iroave alors i que les projections doivent être multipliées par le rw; (Mirt do sinus du demi-angie que Ton considère à ce demi-angle : i-mêaie. de sorte que les portions d'abscisses et d'ordonnées ««roDi données respectivement par ces formules
, c-f(y) e+e^ sin^(o— (/)
1 . f ^ ï' représente l'arc dont le rayon est égal à l'unité ; le
îiinî(«— a^) Té. \<tri — p= — — - diffère de Tonité, lorsque l'arc est petit, de
■ î — y)»; cette valeur est de jt— * lorsque o — o' est de » • I d» grés.
12i». (krredion propoiée, La correcUon introduite par Legendre à -se plus d'exactitude à la méthode d'Euler. En effet, quand on (. .Miore les projections horizontales des arcs d'une trajectoire '<j U$ (M»rtécs. on reconnaît facilement qu'au rapport d'un arc de t'i.rctuire à sa projection il est plus exact de substituer le rapport ;* Jvgne d'un arc de cercle dont les inclinaisons aux extrémités I* 4 dvnDt-es. que celui d'une ligne droite qui aurait une inclir..^oo moyenne entre les inclinaisons des extrémités des arcs. Vi.s il c^( facile de voir que si, au lieu d'un arc de corde, on ;''Q4it an arc de parabole choisi de telle sorte qu'il fût osculateur i '. une des extrémités et qu'il se terminât à l'autre sous une incli- '..'OU c«»aiiDune, on obtiendrait un rapport beaucoup plus appro-
>'. encore. Nous avons donné ce rapport (76 et table V) renré-
'• é par « = "■■ .. Ainsi la valeur la plus approchée
if' B,ir^rta t wn f^lîf tique, pnr Lrj:ondrc, pag«»14, ou Journal do • '.^ )H,h !«-< Iini«|u<*, onziônic cahier, in<*rnoirc de Moroau, p. 2*2*2 ; j z'tu» «» «'Il IH445 (Journal d»»fi aj7ii<*s spécial»*^).
de la projectiou horizontale d'uo arc de trajectoire serait
C — ?(0') tan-0 — (ânjre^
clog
Quaot aux ordonoéos . nous avons trouvé pour - le rapport
y i(tang'6 — tang'OO ~ ^ 7(tange + tange')"
127. Degré d'exaditude des divertes méthodei. Pour juger de leur exactitude, comparons les trois méthodes entre elles au moyeu des rapports qu'elles donnent: i^ celle d'Euler. 2* celle de Le* gendre. 3° la méthode proposée. Nous choisirons les arcs de 60® à 55^ de ^S^" à 40o. de 25 à 20* et de 5« à O». et nous aurons respectivement pour ces quatre arcs et pour leurs diiïéreoces avec la correction proposée regardée comme la plus exacte :
DtooxAnoii DU ABCS. 6# à 56^
4o cos
o,59rooo
2 i(O.O') (tangO - tantr9')
Dtf.
KàM*
En comparant entre elles les corrections qui résultent des méthodes d Euler et de Logcndre et de la méthode proposée, on voit que la correction de Legendre ne difTêre pas sensiblement de cette dernière, pour les petites inclinaisons; mais rapproxiiualion diniinue à mesure qu'on s'éloigne du sommet de la trajectoire. La diiït'rence est partout plus grande dans la méthode d'Euler. et surtoui pour Tare de G® à 5*"; elle est encore double pour l'arc de 21^ j 25* ; elle en est les * pour l'arc de 40* à -iS** et les 77 pour celui dr
RÊMSTA:<Ce PROPORT. AU CAHRt nE LA VITESSE. 217 ^> a 60*. Compilée i la qutnlild rhotrhi^c. \e résultat de ta Bti il.iqlc d'EultT diiïi-re <lu n'Milut de li mélliod^ proposi^c m- [■•■.-ti^Mnriii de ,-ii. ~jj. ri-ï . jiï pour IfB ircB de 0° i 5», de **• a 1>. de 40" 4 43'. de 5;i" à 6»)". Les diWrenees sous les iTijt .ls iiiiilrs De Muraient Hrt rw'glii.'iW.
O-iii- utiser^iiiiin fait voir aussi qun pour appliquer convenaÀleni'-nl U mi'itioilr d'F.iiliT. nu'-iac avec la correction de I-egcndre, il D' fjudriil pas prendre les arcs d'un pareil nombre de dejirés <\ . Iy que fi'ii leur inrlinaisun, m:iis qu'il faut d'iuiint plus res- Mrirf 1rs divi^ions que les angles snnt plus iflevi-s. comme ouus I jt«ns («Il danit l'applicaliao au lir sous les grande an(;les. lursi^ue la ri-'i-Iance de l'air étail «primée par deux termes (77).
ko i>]ii-r3nl pour lea ordonnées comme pour les projections hort<'niili^. on aura pour Io$ vileurs des corrections dans les trois ir'ili'xW \i* quantités contenues dans le tableau suivant:
OIC.
im
