Machine de Grobert. Le colonel Groberl, en

France, a modifié ce procédé. Son appareil se compose

* Examen de la poudre, par d'Ântony, traduit de Titaiien par de Fla^igny, 4773.

MESURE DE LA VITESSE DES PROJECTILES. 3t7

li'im arbre AB d'environ ^ de longueur (Fig. 38) portant à chacune de ses extrémités un disque CD do carton trèsiiiince de 2™ de diamètre. Ces deux disques, solidaires Tun dv* rautrcy sont divisés en 360 degrés par des rayons qui se correspondent dans les mêmes plans méridiens, et qui [sortent la même graduation. Une chaîne sans fin embrasse une poulie F fixée sur Tarbre et la roue d*un treuil établi àu niveau de Taxe des disques et garni d'un volant à pa* Ittes. Un cordon est enroulé sur Tarbre du treuil et piv^e sur une poulie de renvoi élevée de 12 à 13"* auvl^>^us du sol ; il porte à son extrémité le poids moteur •iui imprime ainsi aux disques un mouvement rapide de rljlion.

Le mouvement étant devenu uniforme , la durée d'un C' fiain nombre de tours et par suite la vitesse de rotation •^laot mesurées par les moyens ordinaires, on tire l'arme é feu parallèlement à Taxe de rotation. Si l'appareil était (u re|K)s, la balle percerait les deux disques suivant le iiw*;ueplaa méridien et par conséquent suivant deux rayons «1'^ même i^duation ; mais comme l'appareil est en mou- ^"m^^nt pendant que la balle en parcourt la longueur, le K..i>iid disque est percé en un point situé en arriére relalit' ment au sens du mouvement de rotation, La difi'érence 'litre les dc^rfrés des rayons indique l'angle parcouru el I -n en conclut la durée du trajet d'un disque à l'autre. A>r M, si « est en degrés l'angle de deux rayons touchés, T h durée d'une révolution des disques, a leur intervalle,

: — T S'TJ If temps que le projcclilc a mis à parcourir la

•:. ' «n- «; a et -— — sera la vitesse de la balle.

Le piocédé du colonel Grobert a sur celui de Mathey • j^antage de se baser sur la durée d'un plus grand trajet 1. h l^lle; cependant, d'après les expériences exécutées

318 SECTION Vin.

devant des commissaires de rinstitat', l'appareil ne TaisaBl qu'environ un tour par seconde, la durée n'était mesurée qu'à 70 ou jô de seconde près ; on pouvait ainsi commettre sur la vitesse de la balle une erreur de -^ ou de j^ ^^ ^^^^ quantité. Aussi, dans ces expériences avec la balle du fusil d'infanterie et du mousqueton , aux charges ordinaires de guerre et à des charges moitié moindres, les difTérences d'un coup à l'autre dépassaient les différences qu'on sait réellement exister dans les vitesses. Cela tenait principa* lement,$ans aucun doute, à l'incertitude sur la vitesse des disques. On s'est assuré d'aill6urs,au moyen d'écrans, que la direction de la balle n'était pas modifiée par le mouvement des disques; cet avantage serait précieux dans des expériences où l'on aurait à comparer les vitesses initiales et les portées.

En Angleterre, on a cherché à rendre ce procédé plus précis ; on est parvenu au moyen d'engrenages à imprimer aux disques, espacés de S^ l'un de l'autre, une vitesse de huit révolutions par seconde. Cependant il est facile de voir qu'une erreur de O^nOOl seulement sur la position du centre du trou fait par le projectile dans chaque disque, sur une circonférence de Qi^SO environ de rayon , peut donner encore une erreur de 7J0 ^^^ ^^ vitesse ; les procédés actuellement employés donnent beaucoup plus d'exactitude. Il est trés-difGcile d'ailleurs d'empêcher que dans les mouvements rapides avec ces appareils de rotation, l'arbre n'éprouve une torsion notable et ne laisse pas les divisions des disques dans les mêmes plans méridiens, ce qui entraine à des erreurs sur l'estimation de la vitesse. Ce procédé ne donnerait pas dans l'application une précision qui compenserait les difficultés d'exécution.

■ Rapport à rinstitut, classe des sciences mathématiques, 2 germinal an XII.

1(â. Procédé du colonel Debooz. Un autre procédé dû à M. le colonel d'arlillerîe Debooz a été essayé en 18â4 à l'école d'arlillerie de Rennes. Il consiste essentiellement dans la mesure de la durée d'un trajet ÂB (Fig. 39) de 50"> de lun^'ueur, par la hauteur de chute d'une planchette C ïitu<*e à 55™ de la bouche à feu D et maintenue par une iiidle qui, au moyen de deux poulies de renvoi F, G, pive à 5°* de cette bouche à feu en H ; le projectile coupe lj lit elle en passant et produit la chute de la planchette. h arrière de celle planchette C est un écran qui est percé 'oniême temps que celle-ci et qui sert, au moyen de rirpères, à mesurer la hauteur de cette chute.

De celte hauteur, au moyen de la formule connue, kzz ^^/% dans laquelle h est la hauteur observée, on aura pour b durée t

et Je là, b vitesse moyenne — du projectile.

Ho connait aussi par ce procédé la position et la dir^ lion du projectile à une petite distance et un second ; :rit de b trajectoire.

En conservant les notations adoptées pour représenter 'S luis du mouvement, et appelant V la vilesse du pro- / tile au moment où il coupe la ficelle, on aura la rela- '^-Q déjà donnée (art. 64, éq. 11) et dans laquelle on ; 'irra regarder Tpngle de projection comme étant sensément égal à zéro,

: û Ton tirera b valeur de V.

La vitesse, comme on le voit, dépend de b valeur de A, '..iis celle deroière n'a pu être déterminée avec b préci-

320 SECTION vni.

sion nécessaire. En prenant pour exemple le lir d'un boulet sphérique de campagne, à la charge ordinaire de guerre, c'est-à-dire avec une vitesse initiale d'environ 480™ par seconde, la durée du irajet serait d'environ j de seconde ; la hauteur de chute de la planchette , en faisant abstraction de toute résistance , serait d'environ 0™060 ; et comme on né pouvait estimer cette hauteur à plus de 0^005 près, on ne pouvait obtenir les vitesses qu'à jj près, ce qui ne présente pas assez de précision.

On a lieu de croire d'ailleurs que par suite de la tension et de l'inertie du cordon , le commencement de la chute ne coïncide pas exactement avec l'instant où le boulet coupe la ficelle et qu'ainsi les hauteurs de chute et les durées sont trop faibles. Aussi le petit nombre d'expériences qu'on a faites par ce procédé ont été loin de présenter entre elles la concordance désirable.

On verra qu'en employant l'électricité pour indiquer l'instant où le projectile coupe le fil et celui où il traverse la cible et pour en déduire ainsi la durée du trajet, on a obtenu dans ces derniers temps toute la précision désirable.

193. Mesure de la vitesse d'un projectile par celle qu^U imprime à une masse plus grande. Pour éviter la difficulté que présente la mesure de la durée du trajet d'un mobile dans un mouvement rapide, on a pensé à amoindrir cette vitesse; pour cela, on a dirigé le projectile contre un corps beaucoup plus pesant, auquel il communique la quantité de mouvement qu'il perd ; la vitesse est alors réduite dans le rapport du poids du corps et du projectile réunis à celui du projectile seul; la vitesse devient ainsi plus facile à mesurer.

Cassini fils paraît avoir le premier employé ce moyen'

* Histoire de V Académie des scietices de Paris/eccmée 4770.

pour Térifier quelques expériences sur les armes à feu ; f il fit une espèce de machine, où il y avait une pièce de » bois armée à Tune de ses extrémités d'une plaque de I (Ole assez épaisse, qui devait recevoir tous les coups I d'an même fusil tiré toujours de même distance. Cette > pièce était mobile et devait céder au coup plus ou » moins, selon qu'il avait plus ou moins de force, et en » même temps marquer par la construction de la ma- • chine, combien elle avait cédé. > On a ainsi reconnu iiaQuence de la bourre et de la disposition des charges, >aQs qu'on paraisse avoir mesuré la vitesse des balles.

194. Pendule balistique de Robins. Benjamin Robins, [»our mesurer la vitesse des balles de fusil, imagina de les lirer contre un madrier du poids de H^ suspendu par une ^^r^c rigide et pouvant tourner autour d'un axe perpenii'^utaire à la direction du mouvement du projectile; de cHle manière, en mesurant la hauteur à laquelle s'élevait le madrier, dans le mouvement circulaire qu'il prenait par ('Jile du choc du projectile, on obtenait la vitesse due à lette hauteur; du rapport des masses on déduisait ensuite ia ^ite>se du projectile à l'instant du choc. Cet appareil, ^ijnnn sous le nom de pendule balistique et dont le pro- '-'i^ employé en 1707 par Cassini fils, pouvait donner ! 1 iée, a été mis en usage pour la première fois en 1740. 1* ^nrit à mesurer la vitesse des balles de fusil et la résis- Usr;'-e de Pair. Iluttou fit de nouvelles expériences en A: p.li»terre, de 1775 à 1789, avec un pendule dont le if, formé de plusieurs pièces de bois assemblées par ferrures, a été porté successivement de 400*^ à lOèO^^ *t a po recevoir des boulets de 1*^, 3^ et C^.

Oo a construit en Angleterre un pendule balistique

: "«iicoup plus pesant et propre à recevoir les boulets

•* 12, et on en fit usage en 1811 et de 1815 à 1818. Le

:T.i'Mr, composé de pièces de bois réunies au moyen de

322 SECTION vni.

ferrures , pesait près de 40001^ ; on essaya de tirer des boulets de très-forts calibres, mais dès qu'on avait lancé deux boulets de 24 il fallait démonter l'appareil et le remonter de nouveau *.

195. Nouveaux pendules balistiques. Le pendule balistique reçut bientôt en France des perfectionnements considérables, et il devint un instrument d'épreuves habituelles pour la mesure des vitesses initiales dans la réception des poudres, tant pour les balles de fusil que pour le tir des boulets. Au lieu d'un massif en bois, qui dans les pendules anglais recevait successivement plusieurs projectiles, mais qu'il fallait démonter après un petit nombre de coups, on adopta une masse de matière pénétrable renfermée dans une âme en métal, et on la remplaçait par une masse nouvelle après chaque coup tiré.

En 1820, on construisit des pendules en fer dans lesquels une masse de fonte recevait le choc de la balle, ce qui les rapprochait du procédé de Cassini fils (193) ; ensuite, à la fonte on substitua une masse de plomb dans une âme en fer et on la remplaçait à chaque coup. M. Maguîn , commissaire des poudres, employa l'argile desséchée et placée dans une âme en métal , pour le tir des boulets d# petits calibres.

En 1836, MM. Piobert et Morin apportèrent de nouveaux perfectionnements dans le pendule balistique qui fut construit à l'arsenal de Metz et qui était destiné au tir des boulets des plus forts calibres. On employa le sable fortement tassé dans plusieurs sacs en cuir et renfermés dans une âme en fonte consolidée par des cercles en fer forgé.

Ces pendules ont reçu depuis cette époque plusieurs

I Voyage dans la Grande-Bretagne, par Gh. Dupin, ^XA^males de physique et de chimie, tome IX.

perfectionnements; aux sacs en cuir on a subtitué des barik tronc coniques qui présentent plus d'économie ; puis même un seul baril. Ils sont actuellement d'un usage habituel et facile. Les canons sont suspendus d'une manière analogue, ce qui permet de mesurer la vitesse de recul.

Un autre pendule destiné au tir des plus gros projectiles à diverses distances pour^ mesurer la résistance de l'air, ainsi que les instruments nécessaires, ont été construits i M^^tz d'après les dessins de MM. les généraux Morin et bidion ; ce pendule rempli de sable pèse environ 60001^.

196. Description du pendule balistique destiné au tir fifshauleis. Le pendule balistique destiné au tir des boulets cA formé d'un vase conique en fonte de fer A (Fig. 40) rii^mmé récepteur balistique et suspendu à un arbre C à .> au-dessous de cet arbre et dans une direction perpendiculaire, par quatre tiges B, B', B. Deux de ces tiges,

B et B„ embrassent le récepteur dans la partie antérieure el Jeux dans la partie postérieure B'. Les deux tiges B, B' situées d'un même côté du récepteur se rapprochent dans U partie supérieure en s'écarlant du plan vertical de l'axe dt ce récepteur; il en est de même des deux tiges qui 5^nt du côté opposé.

Les quatre tiges sont reliées entre elles dans leur partie fufK-rieure par quatre traverses D, ly, E , E' et par trois ^r.irc-toiics F, F', G, qui donnent au système une trèsr^mJe rigidité. Dans leur partie inférieure, les tiges sont rii^'es entre elles par deux entre-toises antérieures H, K n par une entre-toise postérieure K'. Celle-ci et l'entrei \^ K M>nt reliées par un boulon fileté L; un autre boulon M à ti'te percée relie les quatre tiges au-dessus du récept«-ur. Sur le boulon fileté est un poids curseur, composé •I*- plosieurK disques en plomb N, maintenus dans une po- «.*»oo déterminée sur le boulon fileté par deux écrous de ['''^^îon O à branches. Ce poids, dont la grandeur et la

324 SECTION TIII.

position peuvent être varices à volonté, sert à abaisser le centre de gravité et le centre d'oscillation el à rendre Taxe du récepteur horizonlal.

Les extrémités P de Tarbre C en fer sont taillées en couteaux, Tarête de ceux-ci est arrondie suivant un petit rayon , de O'nQOSJS environ ; elles reposent sur des coussinets 0, Q en acier, dont la face^supérieure présente deux plans raccordés par un arrondissement d'un rayon double du premier et assez peu inclinés pour que dans les oscillations du pendule le frottement empêche les couteaux de glisser et que par conséquent ceux-ci ne fassent que rouler. Par suite du rapport des deux rayons , le centre de l'arrondissement des couteaux ne prend aucun mouvement latéral dans les oscillations du pendule.

Les coussinets Q, Q reposent sur des plaques de fonte R, R , fixées au moyen de grandes chevilles en fer sur la partie supérieure de deux piles en pierre de taille avec fondation en maçonnerie.

L'âme du récepteur a intérieurement la forme S, S, S d'un tronc de cône dont le fond est arrondi et dont la longueur est assez grande pour que les projectiles ne puissent traverser entièrement le sable dont elle est remplie. Le récepteur, en fonte de fer, est fortement serré par des cercles en fer forgé.

Avant de faire une expérience, on place dans le récepteur un baril tronc conique rempli de sable sec et fortement tassé; ensuite on ferme la partie antérieure au moyen d'une feuille de plomb, d'un demi-millimétre environ d'épaisseur, serrée par quatre vis entre deux lunettes en fer, fixées elles-mêmes contre le récepteur au moyen de quatre autres vis ; deux traits tracés sur cette feuille, l'un horizontal, l'autre vertical, indiquent par leur intersection un point de l'axe du récepteur; ils servent à mesurer la distance à l'arête des couteaux au centre du trou

lieSCRB DE LA VITESSE DES PROJECTILES. OZO

fait par le projectile, et par conséquent de la ligne parcourue par le centre de ce projectile. Ce point est nommé lH)int dimpact. Cette feuille de plomb a aussi pour objet <1 empêcher que quelques parties du sable ou des fragmeots de barils ne s'échappent du récepteur et n'induisent en erreur sur la mesure de la vitesse du projectile.

Un arc en cuivre T, divisé de minute en minute et sur l^>]uel glisse, à frottement doux, un curseur en cuivre p Ttant un vemier, est fixé à la partie inférieure sur un aïo en bois U maintenu dans un plan perpendiculaire aux couteaux, au moyen de montants V et d'une semelle X; ils senent à indiquer l'amplitude du mouvement du récepteur par les arcs que l'aiguille en fer Y, fixée an pendule, fait parcourir au curseur dans chaque cxpéri-nce.

197. Suspension des canons. Le canon est suspendu en f.i' e du récepteur, à peu près de la même manière que lot celui-ci, et il est maintenu par ses tourillons; ceux-ci entrent dans les encastrements de deux flasques en fer f'T^'é A (^'ig. 41) qui prennent appuis sur les tiges de ^J^P«'nsio^ B, B; un collier C, C, en deux parties à la « 1 j-se, el en deux parties D, D à la volée, remplissent rint^n^lle entre les tiges et le canon, et permettent aux premières d'embrasser celui-ci aussi solidement que Test I- ri»ri»pieur. Les parties inférieures des colliers ont un f il> plus grand que les parties supérieures, afin d'abais- ^•T le centre di» gravité et le centre d'oscillation.

Les autres parties de la suspension sont les mêmes que f :!<>d du pendule balistique.

Li^ piles en pierre qui supportent le canon-pendule ^ !.t à 12'" de celles qui supportent le pendule balistique; :- celte manière, la tranche de la bouche du canon est a enTiron 10" de celle du récepteur.

f*our «tlénuer autant que possible l'action des produits

gazeux de la poudre contre la face du récepleury et pour intercepter les parties du chargement autres que le boulet, on place dans la direction du canon et à ^^ du récepteur, un écran solide en bois de 1«"20 de côté percé d'un trou circulaire de 0ïn50 de diamètre.

198. Pendule balistiqiie pour le lir des baltes de fusii Le pendule balistique pour le tir des balles de fusil (Fig. Ai) est formé d'un récepteur tronc conique A, supporté par deux liges de suspension B, B, fixées par leur partie supérieure à un arbre en fer C, dont les extrémités D taillées en couteau reposent sur des coussinets fixés à une poutre E; une aiguille F qui se meut le long d'un arc gradué G, sert à mesurer les arcs de recul ; une réglette H divisée, sert aussi à mesurer les cordes de ces mêmes arcs.

Pour faire une expérience, on place dans le récepteur G qui est tronc conique et dont le fond est percé, un morceau de plomb, ou tampon, de forme tronc conique qui s'emboite exactement dans Tintérieur. On place devant l'ouverture une planchette K. La planchette et le tampon en plomb réunis ont constamment le même poids; de celte manière, le moment statique et le moment d'inertie du pendule restent les mêmes à chaque coup.

La planchette sert à déterminer le point d'impact de la balle et à en rapporter la position à l'arête des couteaux, au moyen de deux lignes tracées à chaque coup sur la face antérieure de celte planchette.

La suspension du canon est analogue à celle du récepteur. Le canon de fusil peut être facilement enlevé et remplacé par un autre. Les axes de rotation des pendules sont à 3™ l'un de l'autre, de sorte qu'il y a environ S"" de la bouche du canon à celle du récepteur.

Depuis peu de temps on a construit pour le tir des balles de fusil de nouveaux pendules balistiques et des pendules à canon, dans lesquels on a introduit les perfec-

Mesure dë la vitesse dks projectiles. 327

tionneinents qui ont été apportés aux pendules destinés au tir à boulet. Leur centre de gravité et leur centre de ('«Tcussion sont trés-rapprochés de Taxe, ce qui n'a pas )i'U dans les pendules qu'on vient de décrire; ils sont .^apportés par des supports en fonte de fer reliés par des trj\ erses, de sorte qu'ils présentent plus de rigidité et de commodité, et qu'ils donnent plus de précision dans la L.^surc des vitesses*.

1*j9. Pendule en bois pour le tir à grande distance. Le rrM'pieur du pendule de Metz destiné au tir des boulets j Je grandes distances pour la mesure de la résistance de I air, a dû, en prévision de plus grands écarts, avoir de :!:]s jrrandcs dimensions; néanmoins il laisse encore à • nîodre que le boulet ne frappe les parois de l'âme, c'est [ourquot il a été fait en bois. Il est (Fig. AS) de forme <\lindrique; il a 2°>35 de longueur et de i<n51 de diamètre extérieur ; il est composé de douves en bois A, fortement serrées par des cercles en fer B et reliées au moyen Je quatre pièces de bois G, G et de plusieurs traverses à un arbre D, aussi en bois, dans lequel sont solidement : ^t^ les couteaux F en fer et acier. Les tiges sont reliées •^ritre elks par des entre-toises et par des boulons. Le r^. eptear AA, de 1"*35 de diamètre intérieur, est doublé ' ti lûle de fer épaisse, clouée contre les parois intérieures. I.^ fund posiérieur H est en bois solidement assemblé; l'on- V rture est fermée par un fond K en planches de O^^Oâ . ' ç'jîs^eur et maintenu par deux cercles en bois. L'inter- «.' entre les deux fonds est de 10*48 de longueur, son dia- :. .Ire est deli^Si; il est rempli de sable, introduit par deux ':f ertures supérieures fermées par des portes ferrées L, L,

• V ir r.4 itiC'Mhixaire d*ariiUeric, deuxième édition, planche 89,

''. *r-- «Sfjne édition, 1856, planche 108, les détails de ces pendules.

r au%iâ le ri'glement sur les épreuves des poudres du 10 mars 1857.

el fortement tassé au moyen de dames d'abord et ensuite par l'effet de la pénétration des projectiles qu'on a tirés.

Le récepteur contient généralement de 3100>^ à 3300^ de sable, et ainsi rempli il pèse moyennement 6000>^.

La position du point d'impact des projectiles est déterminée au moyen d'une feuille de plomb mince contenue entre deux lunettes en fer de 1°^05 de diamètre intérieur.

Le pendule est porté par des coussinets en acier, sur des supports de coussinets en fonte et sur une charpente en bois M, M, M.

Deux arcs en fer N divisés, munis de curseurs et placés de chaque côté du pendule, servent à mesurer l'amplitude des arcs.

Avant le tir, on mesure la durée des oscillations; on mesure ensuite le moment statique au moyen de la balance à moments dont il sera parlé plus loin (203). On répète l'opération, après trois ou quatre coups tirés, en laissant les projectiles qui ont pénétré et on tient compte, dans le calcul des vitesses, de la variation des moments, d'après le poids du sable ajouté, le poids et la position du boulet à chaque coup. Mais, avec les perfectionnements apportés récemment à la balance à moments, on pourrait facilement mesurer le moment statique avant chaque coup.

Dans les épreuves de 1839 et 1840, le canon n'était pas suspendu, il était placé sur aflût à hauteur de l'axe du récepteur et transporté à diverses distances depuis ib^ jusqu'à 115™.

SOO. Formule pour le calcul de la vitesse des projectiles. Établissons les formules qui donnent la vitesse d'un projectile au moyen du pendule balistique.

Soit P le poids du pendule, b celui du projectile, v la vitesse de ce projectile au moment où il frappe le pendule en D (Fig. 44), t la distance OD du point frappé, ou point d'impact, à l'arête inférieure 0 des couteaux, D la

MKSrnS DE LA \1TKSSE DES PROJECTII.RS. 320

distance OA da centre de gravité A du pendule à celle n.croe aréle 0, K la longueur du pendule simple syn- • bione, it l'angle de recul du peudule par reffel du proj i'ile, et g la pesanteur. Les masses M et m du pen-

«liiie et du projeclile auront respectivement pour valeur

N - - et m = '. On suppose que la masse du projectile

^t concentrée à son centre de figure.

Rappelons que pendant la pénétration il se développe au\ points de contact du projectile et du récepteur des fOorts d'action et de réaction égaux et directement op- P'jrôs; raclioo exercée sur le récepteur accélère son mouvement, tandis que la réaction diminue la vitesse du projectile; et, il y a égalité à chaque instant entre les nr.ments des quantités de mouvement perdues par le pr> j^clile et les moments des quantités de mouvement ^v'nées par les diverses parties du récepteur et prises rrUiÎTemeot à l'axe de rotation 0.

Cette égalité ayant lieu à tout instant de la durée de la (•^néiralion, il s'ensuit qu'à la fm de ce phénomène, alors qa^ le projectile n'a plus de vitesse relative au pendule et *]ui\ se meut comme les points correspondants de la par- 1)^ do milieu qu'il a déplacée, le moment de la quantité d< maoTement perdue par le projectile est égal à la somme •!<>( quantités de mouvement gagnées par les diverses par- *.-- do pendule.

>ou$ négligerons ici l'étendue du trajet du projectile

' »s le récepteur; cela est permis sans erreur appréciable,

l'i \^ faibles dimensions du projectile relativement à celles

i i-^ndole; nous supposerons aussi que ce projectile ne

- i^^e pas beaucoup du plan vertical passant par Taréte

'^ coaleaux. En conséquence, nous négligerons la faible

-r^^e du trajet dans le récepteur, laquelle est moindre

.- n centième de seconde.

330 sEcnoN viii.

Cela posé, en nommaDt « la vitesse angulaire acquise par le pendule, c'esUà-dire la vitesse propre d'un point situé à l'unité de distance de l'axe de rotation, la vitesse du point d'impact sera tA»; la vitesse perdue par le projectile, dont la masse est censée concentrée à son centre de gravité, sera v — it» et le moment de la quantité de mouvement perdue sera mi{v — ù»).

Quant au pendule, en considérant un élément dH de la masse totale situé à la distance r de Taxe de rotation, la vitesse acquise par cet élément sera r^v, la quantité de mouvement qu'elle gàgme seraVoidM et son moment «r'^flil. La somme de tous les moments sera/^r'^fM, ou, en considérant que » est indépendant de r, »/r^dîi ; on devra donc avoir, en vertu du principe de mécanique qu'on vient de rappeler,

La quantité /r*dM qui entre dans cette expression est le moment d'inertie du corps et pourrait être déterminée d'après la forme et la densité de ses diverses parties; mais il est beaucoup plus simple et plus exact de le déterminer directement par l'expérience. En effet, puisque K est la longueur du pendule simple qui ferait ses oscillations dans le même temps que le pendule balistique, on devra avoir, comme on sait,

La relation précédente deviendra donc

mi{v — *t) = »MDK,

de laquelle on lire

MDK + mi*

Quant à la valeur de K, soit T h durée d'une oscillatioa du pendule, et ^ le rapport de la circonférence au dia-

MBSt'RE DE LA VITBSSB UKS PROJECTILES. 331

métré, on aura, comme- on sait, '

Dans les expériences» et d'après la construction des pendules, la valeur de »i est toujours une petite quantité qui ne s'élève qu'à quelques mètres par second» au plus; il serait donc difficile de la déterminer directement; il est plus Tacile de la déduire de la hauteur à laquelle peut «élever le centre de gravité du pendule, en vertu de la TÎiesse que ce corps a acquise à la Gn de la pénétration ; Tapplication du principe des forces vives en donne le mriyen lorsqu'on a observé l'arc de recul qui mesure Tamplitude du mouvement de rotation du pendule autour de Taxe de rotation; soit « cet angle.

A étant la position du centre de gravité du pendule au ref^-os (Fig. 45), ce point sera arrivé en B lorsque le pendule aura décrit l'angle AOB égal à <c ; et, si Ton mène BC perpendiculaire à la verticale OA, on verra que le centre de gravité se sera élevé de CA qui est égal à D— Dcoâ*.

Le projectile qui a pénétré dans la direction ED supposée liorizonlale et qui peut être considéré comme s'étant arrêté en D sur la verticale passant par l'axe de rotation et à one dislance OD = t de celte arête, arrivera en F lors- «tue le pendule aura décrit l'angle «; si l'on mène FG (•^rpendiculairement à OD, on verra que le projectile se ^€^a élevé de DG qui est égal à i — tcosce.

La quantité de travail développée par la pesanteur sur k pendule et sur le projectile, laquelle est égale au produit do poids par la hauteur, sera donc

PD(i — cosfli) + 5i(i — cosoi) S(PD + èi>inS«,

rai24|Qe 1 — C08« = 2sin*^tf.

532 SECTION Vfll.

Mais la force vive possédée par le pendule qui esl animé de la vitesse de rotation a» à la fin de la pénétration , a pour expression

/-V^dM sr •>/r'(îM = ••MDK ;

d'autre part , la force vive du projectile esl »Vm ; par conséquent , en vertu du principe cité, la force vive possédée par ces deux masses, au moment où commence leur mouvement, devant être égale au double de la quantité de travail développée par la pesanteur au moment où ces masses cessent de s'élever, on aura la relation

•>(MDK + mt^) = 4(PD + 6»)sin* i«,

d'où

V^PD + bi

VmDK + mi"

2sni7ft;

substituant celte valeur dans celle de v obtenue plus haut, on aura

V/PD+T? MDK + wt' . ,

V^MDK + mi^ ^*

et , en remplaçant M et m respectivement par - cl -, on aura

c'est la formule généralement connue*.

Si l'amplitude du mouvement du pendule est mesurée par la grandeur C de la corde sur un arc de rayon R, il

suffira de substituer le rapport - à Ssin^et.

• Aide-Mémoire d'artillerie, à Tusage des officiers d'artillerie, deuxième édition , page 652.

MLSCRC DE LA VITKSSE DES PROJECTILES. 333

SOI . Moyen de tenir compte des variations du poids du récepteur d'un coup à Vautre. La formule que Ton vient (k donner, convienl bien au cas ou Ton a à faire des ex- [wriences avec ries bcilles de fusil et où le massif en plomb qui remplit Fàme et reçoit le choc de la balle, est remplacé à chaque coup par un massif de même forme et exactement de même poids, et où de plus, les balles peuvent être choisies ou préparées de telle sorte qu'elles soient de \*Âis égaux. Alors, les quantités qui sont sous le radical lie la formule restent les mômes à chaque coup et la vitesse cherchée ne dépend plus que de Tare « et de la (li>iance i ; celle-ci encore peut souvent être gardée comme moyennement égale à la distance de Taxe du récepteur à o'Iui des couteaux.

Mais, dans le tir des boulets, le poids total du baril ou à*'< barils de sable dont on remplit le récepteur ne peut pjs toujours être ramené à l'uniformité, même au moyen <Je poids supplémentaires, et les différences sont souvent tr -b-notables ; cette variation fait changer P, D et K; or, il serait long de mesurer avant chaque coup soit D, soit i1*t et presqu'impraticabie de mesurer la durée des osciluii'.ns du pendule pour avoir la valeur de K.

La variation du poids du sable dont on remplit l'âme f-^ut être regardée comme uniformément répartie sur tf'jie la masse, ou, plus simplement, comme un poids '! JiiJHDncI p, placé sur l'axe du récepteur, c'est-à-dire à u.'.e distance a de l'arête des couteaux; l'accroissement i\ï moment statique PD sera alors égal à pa, et, Taccrois- ^ ru'^nt du moment d'inertie PDK sera pa% de sorte que li fvnouie de la vitesse devient

•(PDK+pa«+fci')(PD+pa-t-60s^ . ,

9 ^ ' , . . Bin • a.

Aq moyen de celte formule, on sera dispensé de rncsu*

rer D et K avant chaque expérience, et Ton n*aura qu*i faire entrer dans le calcul les quantités pa et pa* qui se trouvent sous le radical. Mais l'on peut encore éviter le calcul du radical pour chaque coup.

Remarquons, en effet, que la variation du poids p est toujours très-petite relativement à P, et qu'en Taisant sortir cette quantité du radical, on peut écrire

bi Lr^PDK+btV V ^PD+6t7 J '

Dans le second facteur du second membre, les quantités ajoutées à l'unité sont très-petites, et, quand p est égal à 40^, par exemple, elles ne sont guère que ~ environ avec les pendules en usage. On voit par là que leur produit, et les puissances supérieures à la première, sont tout à fait négligeables; en effectuant le produit, en ' extrayant la racine carrée, et en remplaçant i et 6, qui varient peu d'un coup à l'autre, par leur valeur moyenne a et 6,^ le facteur devient sensiblement

"^ 2 \PDK + 6.a' "^ PD + b,aF'

Le facteur dep ne dépend ainsi que de quantités constantes, et, dans les pendules en usage, il est d'environ ^; D et K peuvent être calculés une fois pour toutes, et en

faisant - ( 1 — •) = y. La formule de la

2\PDKH-6,a» l?D + b,af /

vitesse sera simplement

•(PDK + ftt'XPD + bt)g ... . ^ . ,

En remarquant que dans une série d'ei^périences, le poids b du projectile ne varie que dans de très-étroites limites, on pourra, mais sous le radical seulement, le

ilESURR DE LA VITESSK DES PROJECTILES. 33S

remphcer par sa valeur moyenne 6, ou par une valeur prise en nombre rond peu différente, et ajouter à p la trés-laible variation V qu'il éprouve d'un coup à l'autre, de Taçon qu'on ait 6 = 6, -4- ^ ; par ce moyen, en calculant une fois pour toutes le radical et en faisant

8 V^(PDK + 6.0 (PD + b,i)g = jî, on aura la formule très-simple

(3) „=^[i+y(p+6')]sini«.

Le calcul de cette formule se réduira à des opérations très-simples au moyen des logarithmes. La simpliGcation qu'elle apporte est importante maintenant que le pendule bolbtiqne est devenu un instrument d'épreuves habi^ toelles. On s'est assuré que l'exactitude qu'elle donne est plas grande que celle qu'on obtiendrait par la mesure directe de la durée d'une oscillation, prise même à moins de 7^ de sa valeur, ce qui est une opération très-longue.

Voici le type d'un calcul qui se rapporte au tir du canon de campagne de 12 et qui est fait avec des tables de logarithmes à cinq décimales, qui donnent en général suffisamment d'exactitude.

P, D, K, 9 et 6„ ayant été déterminé à l'avance, on a ^a pour les constantes :

Log> = 5,51607 et Logy s= 4,32755.