PORTÉES DES OBUS

OIDIRAUUM.

met.

nClIfTBIQOUy

le centre de grivité

en bas.

met »

en haot.

met.

On Toit, d'après ce tableau, qu'en plaçant le centre de gravité CD bas, les portées sont constamment beaucoup :• js courtes que lorsqu'on place le centre de gravité en '.iut; par conséquent, l'eflet du mouvement de rotation '.r»rct qu'a produit la première disposition ou la vitesse ;vi'elle a ajoutée au mouvement direct naturel, a agi dans i- ^4a%s du mouvement de l'hémisphère antérieur; il y a

nn effet inverse lorsque le centre de gravité a été placé en haut. Les obus non excentrés ont donné des portées intermédiaires entre les précédentes.

On peut regarder la différence entre les portées comme due au double de l'effet des vitesses de rotation en sens inverse, et d'après cela, on peut déterminer la force déviatrice du mouvement de rotation; pour le faire, on a caU culé dans chaque cas la valeur de la force accélératrice ver* (icale; dans l'équation normale de la trajectoire, cette force n'est que la pesanteur représentée par 9«»809; on trouve alors 2,50 pour leur demi-différence avec Tobus de 27^9. Cette quantité correspond à un poids de 7M0; avec Tobus de 29*^9, on Irouve 2,53 qui correspond à un poids de 1^1.

Les vitesses de rotation dues à l'excentricité déterminée comme on l'a indiqué (239) au moyen de la vitesse ini* tiale et exprimée par le nombre de révolutions par seconde, sont de 8,0 pour l'obus de 27''9, et de 8,6 pour celui de 29^9 ; ces nombres sont ainsi proportionnels aux forces déviatrices.

Dans d'autres expériences', un obus de iS*^"™, dont Texcentricité égale à 0"*001 85 était due à la position excen* trique du centre de la sphère intérieure, pesant 8^025, tiré sous l'angle de 8^, en plaçant successivement le centre de gravité en bas et en haut, a donné respectivement pour les moyennes portées prises sur cinq coups, 985™5 et 1840"^5. En plaçant le centre de gravité à hauteur du centre de figure, sur le rayon perpendiculaire au plan de projection, successivement à droite et à gauche, les dévia* tions ont eu lieu dans chacun de ces sens; elles ont pré* sente un écart moyen total de 112bi, dont la moitié, ou 56in, doit être attribuée au mouvement de rotation pour la portée moyenne de 1200<n.

' Mémoire de M. le miûor Boorman, liih. en Belfâque, i843.

DÉVIATIONS OaS PROJECTILES. 417

Eo plaçant la ligne des centres de gravité el de figure [mmllélement à Taxe de la bouche à feu, et le centre de ;rravi(é soit en avant soit en arrière, on obtient à peu près les inènics portées.

âi7. Excentricité dans les projectiles ordinaires. Les (lifTéreDces dans les portées ou dans les dérivations latérales résultant de positions inverses du centre de gravité, li'-croissent avec rexcentricité des projectiles; aussi dans K> projectiles en usage elle est beaucoup moindre que celle dont nous avons parlé. Dans les obus de 0°>I5 elle atteint rarement ^ du rayon, mais elle va fréquemment jusqu'à 777 de ce rayon. Elle a, dans les obus, une influence nf»iable sur les déviations. On reconnaît cette influence k*ntqu*en plagant la lumière de Tobus parallèlement à t'aie de Tobusier, comme on le fait ordinairemenii mais en mettant la ligne des centres constamment dans le plan vf'rtical, le centre de gravité tantôt en-dessous tantôt endt^^sus; on obtient alor^ des portées notablement moindres Jan5 le premier cas. De même, en plaçant ce centre dans un plan perpendiculaire à celui-ci^ on obtient des déviati'His moyennes très-prononcées, à droite ou à gauche, .«4iivant que le centre de gravité est de Tun ou de l'autre de ces cùii».

Dans les boulets ordinaires, rexcentricité est très-faible, et b position du centre de gravité, par rapport au centre de figure, n'a qu'une influence inappréciable.

Avec les bombesi que l'on tire toujours sous de grands ;kniries an-dessus de l'horizon, reflet de rexcentricité naturelle est beaucoop moins sensible que pour les obus. >ous l'angle qui donne la plus grande portée, son eflet o'esi pas sensible; sous des angles plus grands, il change de sens, c'est-à-dire que de la position du centre de graillé aoKiesBiis de l'axe il résulte des portées moindres que Je la position inverse.

348. Explication de certaines déviations qui paraissent extraordinaires. Les effets du mouvement de rolalioo, combinés avec les déviations dans la direction au départ, expliquent naturellement des effets qui, au premier abord, paraissent singuliers.

Si un projectile, par exemple, a exercé un choc sur la partie gauche de Fâme, il en résultera que son centre de gravité suivra une direction inclinée vers la droite, par rapport à Taxe de la bouche à' feu ; mais, en même temps, le projectile prendra un mouvement de rotation dans lequel l'hémisphère antérieur marchera de droite à gauche; il résultera de là une dérivation vers la gauche du plan vertical. De sorte qu'Un observateur placé dans le plan vertical de tir, verra le projectile se porter d'abord vers la droite, venir ensuite vers la gauche, et couper ainsi le plan vertical de tir.

Cet effet se présente plus particulièrement avec les projectiles de faible densité dans lesquels le mouvement de rotation est plus rapide que dans les autres. Il a égale* ment lieu avec les boulets ; on le remarque fréquemment, quand on peut observer plusieurs points d'une même trajectoire, et plus particulièrement quand on a pu observer la différence entre la direction au départ de l'âme et le prolongement de l'axe du canon,

249. Moyens de diminuer les déviations des prcjeclUes. La connaissance des causes des déviations des projectiles permet d'indiquer et d'apprécier les moyens de les empêcher.

On diminue l'inégalité dans les vitesses initiales et dans les angles de projection, en confectionnant les chaînes avec une grande uniformité, en restreignant les limites des poids et des diamètres des projectiles, en rebutant les bouches à feu trop dégradées et qui présentent, soit un logement trop profond à l'emplacement du projectile,

DÉVIATIONS DK£ PROJECTILES. 419

doii des batlements. Mais, les principales causes de dévialioos sont dues au mouvement de rotation du projectile dans l'air, particulièrement quand la direction de cet axe c»t variable dans le trajet; aussi doit-on s'attacher à empccber ou au moins à régler ce mouvement. C'est ainsi, i|u>n fixant à la partie postérieure d'une balle sphérique de fusil une petite tige de fer qui empêche le mouveineat de rotation, on diminue beaucoup les déviations de <elte balle.

350. Emploi des rayures m hélice, pour imprimer un mouvement de rotation. On régie le mouvement de rotation des balles de fusil en les forçant à s'engager dans les rayures en hélice tracées dans l'intérieur des carabines. La balle prend ainsi un mouvement de rotation autour de Taxe de l'âme en même temps qu'un mouvement de translation le long de cet axe et elle continue ce mouvement de rotation dans l'air. Les résistances se U'oufant alors symétriquement réparties, la pression de fair n'est plus une cause de déviation.

Mais, comme on l'a vu (227), le centre de gravité ne se trouvant pas exactement sur l'axe, il en résulte qu'au tl*^part la direction du centre de gravité de la balle suit une ligne on peu différente de l'axe et que, par suite, l'aie de rotation ne se confond pas avec la trajectoire ; fHle circonstance devient la cause de petites déviations. Ori fait voir qu'il peut y avoir des inconvénients à prendre aoe rayore trés-inclinee.

Si, de plus, l'axe de rotation n'est pas exactement l'un des axes principaux d'inertie, la direction de cet axe sera vowtaBHDent variable; cette variation pourra, suivant les f^î, devenir très-considérable; à cet égard, il est imporunt que l'axe de rotation se confonde avec Taxe princi- (ol, majeur ou mineur, mais mieux avec le premier, ou qu il s'en écarte peu. On obtient cet effet par la forme

de la balle. Ainsi, une balle aplalie suivant l'axe de rotation, tournant par suite autour de Taxe d'inertie majeur, aura plus de stabilité dans le tir qu'une balle sphérique et qu'une balle allongée suivant cet axe et terminée par des hémisphères, à moins pourtant qu'elle n'ait une forme convenablement appropriée.

Ces considérations sont confirmées par l'expérience'; des balles du diamètre de 16i^'^â5 avant le chargement, et de \Q^^7 après le chargement, mais de longueurs différentes, ayant été tirées avec un canon de pistolet rayé en hélice sur un pas de 0°^54, avec des charges réglées de manière à imprimer à chaque balle une vitesse initiale constante et égale à 134^* S ce qui leur imprimait aussi une vitesse de rotation de 248 révolutions par seconde, oo a obtenu les résultats suivants. Lorsque le rapport de la longueur au diamètre était respectivement i,06, 0,916, 0,760, et que, par suite, les poids étaient 38ir78, 35«75, 23^32, le côté du carré qui contenait le tiers des coups tirés était respectivement, savoir : de 0«î59, 0^S\ , 0«29 a 50ra; de 2ïn38, 1^05, et O^^O* à iOO», et dans des proportions plus différentes encore, à la distance de 150«>. On voit par là, que malgré une diminution de la masse, qui est défavorable à la régularité du tir, les déviations ont été moindres avec les balles dans lesquelles le mouvement de rotation avait lieu autour de l'axe du moment d'inertie majeur, et présentait ainsi plus de stabilité. On remarquait, en effet, que les balles aplaties frappaient le but par rhémisphère qui était primitivement en avant, et qu'elles conservaient ainsi de la stabilité dans le tir; tandis que les balles longues, lorsque le trajet était long,

' Expériences sur les halles sphériques, plates et longues, jiar M. Is. Didion ; et Journal de l'École polytechnique, 27* cahier,

ctiaDgeaient de directioD el finissaient par frapper par le flanc.

251 . Stabilité de l'axe de rotation dans les balles obtûngués de forme ogivale. La stabilité de Taxe de rotation des projectiles peut être augmentée par des résistances agissant en arriére du centre de gravité et résultant de sa fonne. La balle oblongue adoptée en France, pour la carabine des chasseurs à pied, jouit de cette propriété.

Si G est le centre de gravité de cette balle (Fig. 53), G A étanl la direction du mouvement de translation. Tacti<»n de l'air est moindre sur la partie antérieure de forme roniqoe que sur la partie postérieure sur laquelle se trou* tenl tracées des rayures; il résulte de là que le centra dactioo de la résultante de ces forces est en un point R ^itué en arriére du point G ; cette disposition donne h la l^lle une stabilité qui augmente celle qui résulte du mou- %**nient de rotation autour de GA.

Supposons que par une cause quelconque la direction <!»; Taxe de figure de la balle tende à changer, et qu'elle •i'-uenoe ainsi un peu oblique à la direction du raouveni*-nt <Fig. 5d). La résistance de l'air agit alors suivant BU, parallèlement à G A, avec un bras do levier DR, pour rapprot'her l'axe de figure et de révolution SR de la ligne GA «lu mouvement. La forme des rayures circulaires HK augh:ente beaucoup l'action de l'air à la partie postérieure du côté F qui s'est éloigné de l'axe, tandis que la résistance diminue de l'autre côté. Il arrive par là que le centre d'j rési>tance R n'est plus sur Taxe, mais bien on quelque point, comme R', plus en dehors de l'axe GS, et que par U le moment de stabilité est augmenté à la fois par la piandeiir de la résistance et par celle de son bras de i*%t«T. Far ces considérations on voit que si, par une (.ii]-«! quelconque, Taxe tendait à changer de direction, d vrrait bientôt ramené suivant la trajectoire, et (|ue, par 'Jii'', l'axe conserve beaucoup de stabiUté.

422 6BCTI0N IX.

252. Dérivatimi particulière aux balles oblongues de forme ogivale. Le centre de gravilé G, par suite de Taction de la pesanteur, décrit une courbe qui tourne sd concavité du côté du sol (Fig. 54) ; l'axe GS ne peut pas prendre immédiatement la direction de la tangente à cette trajectoire; la partie inférieure'SF de la balle se présente donc constamment à l'action de Tair sous une certaine obliquité; et, dans son trajet, cet axe fait toujours avec la tangente à la trajectoire un petit angle dont l'ouverture est tournée vers le but. Il résulte de là une composante dirigée de F vers Ë, qui fait dériver le projectile de bas en haut, et qui, par conséquent, donne une trajectoire moins courbée que celle qui appartiendrait à un projectile sphérique ayant même vitesse initiale et même poids, et qui éprouverait de la part de l'air une résistance égale dirigée suivant la tangente à la trajectoire. La balle oblongue donne donc comparativement, sous un même angle de projection , une trajectoire plus relevée et des portées plus grandes.

Par. suite de l'inclinaison de l'axe sur la trajectoire et de la forme des rayures, la densité et la pression de l'air se trouvant plus considérables dans la partie inférieure du projectile que dans la partie supérieure, celle*Ià, par les aspérités natm*elles de la balle et par celles qui proviennent des rayures du canon, exercent sur Tair une action plus considérable que la seconde, et éprouvent une résistance proportionnée; il résulte de là une composante perpendiculaire au plan de projection, et dirigée dans le sens du mouvement de la partie supérieure, ce qui fait dériver la balle de ce côté ; ce sera à drmte de l'observateur, pour le sens ordinaire des rayures qui font tourner la balle du haut à droite, pour un observateur placé derrière le canon.

Si les résistances qu'éprouvent les divers points de la

balle obloDgae dans sa parlîe inférieure sont convenablement réparties sor la longueur, elles feront dévier la balle à droite en la laissant parallèle au plan vertical de tir. Hm, si ces résistances sont inégalement réparties et que lear résultante passe en avant du centre de gravité de la balle, elle fera incliner Taxe de celle-ci vers la droite.

De cette situation, et du mouvement de translation panlléiement au plan vertical de tir, résultera une nouvelle cause de dérivation à droite, comme celle qui produit la dérivation de bas en haut dans le plan vertical de tir ; elle augmentera la dérivation à droite.

Si, au contraire, la résultante passe en arriére du centre de gravité, ce qui pourra résulter d'aspérités plus prononcées de ce côté. Taxe de figure du projectile s'incltnera sur le plan vertical de tir, la pointe à gauche ; celte nuçe de dérivation diminuera les effets de la première >-;iuse et les compensera en partie.

()n voit par là, que l'appréciation des causes de dériution des projectiles oblongs est fort compliquée*

L'influence du mouvement de rotation et la stabilité de Vâxe de rotation sont bien démontrées par l'expérience, et Ton obtient du tir bien dirigé des armes rayées une j'i^ied^e très-remarquable ; elle l'est particulièrement pour U balle obloDgue, soit pleine du poids de 48s, soit creuse à la partie postérieure, tirée dans la carabine des chas- «^urs â pied ; elle Test moins avec la balle creuse tirée djus le fusil d'infanterie, parce que, pour des raisons de î^^rvice, le poids de cette balle a dû être réduit à S2ff.

La cause de la dérivation latérale existe pour les balles d'une forme aplatie, mais à un degré très-faible, et qu'il ^-i difficile de reconnaître par l'expérience.

On a appliqué, en France et en Suéde, la forme ogivale iji boulets en fonte, tirés avec des canons de ce métal, ^t Ton a obtenu également une régularité de tir remar-

42i SECTION IX.

quable. Des eipértences récentes ont été entreprises en France avec les canons en bronze et ont été, en 1859, couronnées d'un plein succès '.

« Des essais furent entrepris à Vincennes, en i850, pour obtenir des boulets tirés dans les canons en bronze une justesse de tir comparable à celle des balles oblongues dans les canons de fusil rayés. Le tir des projectiles en fonte dans les canons en bronze présente , par la dureté comparati've de la matière du projectile sur celle du métal de la bouche à feu, une difficulté qui n'existe pas dans le tir des balles de plomb dans des canons en fer. Le Ministre de la guerre nomma à cet effet une commission d'ofOciers d'artillerie dont je faisais partie avec MM. Caron, Burnier, Tamisier et Fèvre. M. Tamisier proposa des ailettes mobiles en cuivre, et postérieurement en zinc laminé, qui, glissant sous un angle obtus par rapport au plan méridien, s'écartaient de Taxe du projectile par leur pression même sur le côté de la rayure et donnaient au projectile la propriété des balles forcées ; il réussit à imprimer un mouvement de rotation aux projectiles oblongs ; mais, la mobilité nécessaire aux ailettes était une difCculté qui fit renoncer à ce système.

Je proposai, et on essaya, un système d'ailettes fixes dans lequel celles-ci ayant un profil excentrique permettaient au prvgectile d'entrer facilement dans l'âme et ne le laissaient sortir que forcé, lorsqu'il était pressé par les gaz enflammés de la poudre. Pour le faire voir, soit (Fig. 55) une section faite dans la partie cylindrique du projectile et une section de l'âme supposées placées concentriquement en 0, l'ailette ayant un profil nûxtilig&e, la baie ab suivant la circonférence, le côté opposé ««{ en arc de cercle ayant son centre G à côté de celui de l'axe du projectile, et présente ainsi deux côtés bc, ad inégaux ; le profil de la rayure est tracé du même centre C, et avec le môme rayon ; il est prolongé jusqu'en f au delà du grand côté, de manière à laisser un certain vide; il est aussi prolongé d'une petite quantité en 9, au deU du petit côté. De cette façon, quand ks petit côté de l'ailette est rapproché du petit côté de la rayure, le projectile se trouve concentrique à l'âme, et quand le grand côté de l'ailette presse le grand côté de la rayure, il y a un jeu suffisant pour que le projectile puisse glisser dans l'âme depuis la bouche jusque contre la charge de poudre; il s'appuie par une ou par plusieurs ailettes sur le fond de la rayure

^53. Régularité du tir réiuUanl d'une position détermihfv du cetUre de gravité, relativement au centre de figure, dafis Us obus excentriques. La posilion du centre de gra- Tiié d'un obus excentrique dans un sens déterminé par rapport au centre de figure dans les bouches à feu, est

îfiîi^rieure, sans éprouver de résistance et sans que la partie cylin- «1n<pie du projectile ouisse toucher l'âme.

Le projectile étant dans cette situation représentée en pointillé «^r La figure, Tailette est dans la partie inférieure de la rayure, le f.''3fid ctMé à gauche pour un observateur placé à la culasse ; la r^)urc MN étant inclinée à gauche, on voit que quand le projectile ftpfi poQSM^ par les gaz de la poudre, parallèlement à Taxe, le petit r.'ii^ ad de Tailette se rapprochera de la partie mn de la rayure ■»'iif^ à droite et qui est la moins profonde, et Taxe du projectile *•!»•% en ju5v{u'à devenir concentrique à l'Ame. A partir de cette 't* ^ition, 1 aileUe suit la rayure et par suite le projectile prend au- ' 'ir de Mm axe de ligure une vitesse de rotation dont la grandeur •I- î''»nd de Tindinaison de la rayure.

On produit le mouvement de rotation dès le départ, si, quand ir l'iuji-cUlc est au fond, contre la charge de poudre, on a le soin H' le faire tourner sur lui-même de bas à droite.

I.«*K pn*mi^rs essais faits avec ce dispositif appliqué au calibre i' f> ont rétiK»i dans un tir à tKK>n. Les ailettes étaient faites en iV.»i^t dVtain, d^antimoine et de plomb suffisamment résistant, tant q^'il fât assez dur pour dégrader le bronze des bouches A :'U. Le« ailettes y au nombre de 4 (6 sont préférables), inclinées ■ 'urne la rayure, occupaient une partie de la longueur de la f- rt.oQ olindrique. Ce projectile prenait nécessairement le mouv-:.'>Qt de rotation, et Taxe conservant sa direction dans le tn^et «^ yrofecUle frappait le but par sa partie antérieure. Ce sont les f r^mierB |»rojectile6 à ailettes fixes qui aient réussi dans les canons '.'. bronae et qui aient présenté une solution du problème.

l*r nouveaux estais ont été faits à TÉcole d'artillerie de La Fère t^ années suivantes, en remplaçant chaque ailette par deux bou- * *.« dont le profil nVtait pas excentrique. (C'est le système adopté «Tk 1*G8.) Celles-ct ont présenté des inconvénients, et Ton fait act'.'lî«flieiii (février 1860) de nouveaux essais dans le système des •.''ft«« ex4:4^alriques.

une cause de dérivation dans ce sens; il s'ensuit qa*on diminuera les déviations variables d'un coup à l'autre, en plaçant ce centre de gravité constamment dans la même position.

Parmi celles qu'on peut choisir, les positions latérales ne sauraient être adoptées, parce qu'il en résulterait des difficultés pour le pointage. Les positions perpendiculaires à l'axe et dans le plan vertical de projection, ne présentent pas cet inconvénient.

Lorsque le centre de gravité est en dessous, l'excentricité concourt avec le frottement sur la paroi inférieure de l'âme pour augmenter la vitesse de rotation, les déviations latérales sont moins grandes et les portées plus régulières. Ces avantages ont fait donner la préférence à celte position, chez les nations qui ont adopté les projectiles excentriques.

Cependant, quand on remarque que dans ce cas, sous des angles de projection égaux, les portées sur le sol sont beaucoup plus petites, et quand on compare les déviations pour la position inverse avec celle qu'on obtiendrait si l'angle de projection était augmenté de manière à donner des portées égales aux premières, on trouve, dans bien des cas, que c'est la position du centre de gravité en dessus qui donne la plus grande régularité pour une portée donnée.

On obtient rexcentricilé des projectiles sphériques et creux, en déplaçant le centre de la sphère intérieure, dans une direction perpendiculaire à l'axe de la lumière de l'obus, d'une quantité ordinairement égale au tiers de l'épaisseur moyenne des parois; de cette manière, l'épaisseur maximum devient le double de l'épaisseur minimum.

Cette disposition ne peut présenter d'avantages, qu'autant que la ligne des centres est constamment et exactement verticale ; toute autre position serait la cause de variations dans les portées, et d'augmentation dans les

d'Wialious latérales qui deviendi^aient alors plus grandes f|iie |K)ur les projectiles ordinaires. On doit croire que Jnns le tir sur le champ de bataille, par suite de la préupilatioo qu'on y apporte et de Témotion du combat, ce ^y^téroe perdrait beaucoup des avantages qu'il parait pré* >onipr dans les expériences et qu'il pourrait devenir ainsi moins avantageux que celui des obus ordinaires; aussi, orldines puissances qui les avaient adoptés à l'exemple •1 autres, les ont-ils abandonnés.

Les avantages ne sont plus aussi sensibles pour les obus tirés avec de grandes vitesses, ils ne sont pas non plus bien sensibles pour le jet des bombes tirées habituellenient sous de grands angles de projection.

iî}i. Placement du centre de gravité des projectiles ardu tuiires. Avec les projectiles sphériques ordinaires, il ne (>«'ul y avoir que des avantages à disposer de leur excentricité naturelle de telle sorte que le mouvement de roijtiou ait toujours lieu dans le même sens, en plaçant à <ti eflet le centre de gravité dans la partie inférieure.

Dans les boulets, l'excentricité naturelle est très-faible, et une position déterminée du centre de gravité n'a qu'une influence diflicilemenl appréciable sur les portées; à plus f'^rte raison n'a-t-elle pa» d'influence sensible sur leur rt'^ularité ou sur l'étendue des déviations.

lAans les obus, l'avantage qu'on peut retirer d'une posi- !i"0 déterminée du centre de gravité est trés-limité, par ^uiie de l'obligation où l'on est de placer la fusée et la lumière de l'obus du côté de la bouche de l'obusier; on n'est plus maître alors de placer le centre de gravité dans U verticale du centre de figure, et l'on doit se borner à mettre verticalement le plan méridien qui contient ce c^'nlre. Dans ce cas, la position inférieure, qui produit un moaTenieot de rotation direct, mouvement de même sens que celoi qui provient de la pression «sur la paroi infé-

rieure de Tâme, donne la plus grande vitesse de rotation et la plus grande régularité dans les portées. Cette précaution, dans le tir avec des vitesses faibles ou avec des vitesses moyennes, augmente notablement la régularité; elle présenterait des avantages marqués dans remploi des obusiers à tir plongeant; ces avantages compenseraient peut-être les inconvénients de la complication que cette disposition introduirait dans le service.

L'application au tir des bombes présenterait aussi un avantage appréciable, et diminuerait les déviations latérales.

255. Moyens d'obtenir la stabilité de l'axe de rotation. La forme spbérique du vide des projectiles creux et le déplacement qu'on peut lui faire subir pour obtenir le mouvement de rotation autour d'un axe constamment horizontal, n'assurent pas la stabilité de cet axe. En effet, cette disposition ne fait pas concorder l'axe de rotation avec l'axe principal du moment d'inertie, majeur ou mineur; il y a donc instabilité. On le reconnaît quand on tii c plusieurs fois de suite un projectile rendu excentrique et qu'on le met à cbaque coup dans la même position ; la permanence dans le sens des déviations latérales prouve que l'axe de rotation, d'abord horizontal, s'incline constamment dans un sens déterminé.

On obtiendrait donc beaucoup plus de régularité, si l'on donnait au vide intérieur des obus la forme d'un ellipsoïde de révolution, dont le grand axe serait assez différent du diamètre perpendiculaire. La différence devi^iit être assez grande pour que le moment d'inertie autour de cet axe surpassât les moments autour des autres axes d'une quantité notable, et qu'elle puisse ainsi assurer la stabilité malgré les inégalités qu'on rencontre dans une fabrication courante. Le grand axe devrait être placé perpendiculairement au plan vertical de projection. L'excentricité pourrait être très-faible, et, pour certains cas, on

pourrait même n'en pas donner; le mouvement de rotation dû à la pression sur la paroi inférieure suffirait pour procurer de la régularité dans le tir.

Une disposition de ce genre dans les boulets permettrait aussi d*obtenir plus de régularité dans le tir; on devrait p«mr cela réserver un vide elliptique intérieur et excentrique, ou un vide cylindrique, dont l'axe serait sur une cufJe trés-peu distante du centre de figure.

556. Vanations datis les portées dues à la variation '/'- la densité de l'air. La résistance que les projectiles éprouvent dans leur trajet étant proportionnelle à la den- »i(é de l'air, les variations de cette densité ou les chang'^ments de la température, de la pression barométrique et de l'état hygrométrique, ont, sur la trajectoire et sur les p Ttées, une certaine influence. Quoiqu'elle soit petite, en ^•'uéral, il est néanmoins utile de la connaître. Les tables X et XI rendent cette détermination facile.

Dnns l'équation de la trajectoire (Gd) ^ y = x tang^

— 7- ifc(^>^'), la fonction ift»(a;, V) varie avec -; celte

JTnîére quantité a pour valeur x — - — ; ici la quantité

A ^t proportionnelle à la densité / de l'air, an moment du tir. Il suit de là, qu'une augmentation dans la den.sité

prmluira une augmentation proportionnelle dans -et une

ctTlaine augmentation dans la valeur de \ii»(i;,V), augnipoiation que nous représenterons par AifS>(â?, V); par 'on54*qucnt, l'augmentation dans l'abaissement du projeclii*» >era

uri»? ci»lonne des tables de la fonction ifS>(x, V) donne les i!..I>Tcnres AiA»(x,\'), pour une variation de 0,01 dans la

valeur de -; par une simple proporlîon, on aura donc

la varialion de 'Ui>(^, V), pour un aceroîssement quelconque de la densité.

Exemple. Dans le tir du canon-obusier de campagne de 12^. à obus, à la charge de m)00 et à la distance de 600". on a

- = 0,8176; V = 450m:s; /i = 10322«n; Vo = 1,0350.

Si la densité de l'air, au lieu d*étre 1.2083. était a = 1.2204.

l'accroissement proportionnel serait ' , ce qui produirait sur

- une augmentation égale 0.8176 ' ou 0.0079. Or. d'après

la table X. à afi>(0.8176: 1.0350). ou. plus simplement, i ill>(0.80; 1,00) qui a pour valeur 1.7276. à une augmentation

de 0,01 dans la valeur de - , correspond une augmentation de

0,0122 dans celle de ifl>(a;. V). On en conclut que pour une augmentation de 0.0079. on aura

A ifb(a:, V) = 0,0079?!j5^ = 0,0096.

Par conséquent , l'augmentation d'abaissement due à l'augmentation

de la densité de l'air est égale à — ^ ^^' 0.0096 = — 0-084.

Si â est l'inclinaison au-dessus du plan horizontal de la tangente à la trajectoire, on aura la variation des portées en divisant par tang6 la quantité ci-dessus; et comme on

a tangO = tangç — 5(a;, V), Taccroissement dans

2/i cos" 9

les portées, toute réduction faite, en remarquant que dans le tir horizontal (88, éq. 12) 2Asin29 = j:ifk(a?,V), sera

aîAi&(ir, V)

ifi,(a:,V)-25(x,V)'

unp aiigmcnlation dans la densité produira, comme on le voit, un abaissement dans la haulcur de la trajectoire, cl une diminution dans les portées.

Dans l'exemple précédent où ifl»(x.V) = 1.5101 et d(x.V) = 2.293i, la différeoce dans les portées sera égale à

€ ^st-à-dire que la diminution sera l'^SG.

En faisant Tapplicaliou de cette formule à divers exem- |V>, on trouve que les abaissements causés par des augniontations dans la densité de fair, sont en général peu considérables, mais qu'ils ne sont pas toujours négli- P'obles; ainsi, avec un boulet de 16, tiré à la charge •iu ^ du poids du boulet, une augmentation de -^ de la •!' nsité de Tair à partir de la densité moyenne, loquelle «Trespond à un changement de 0°K)15 dans la hauteur !ii baromètre, ou de 5® ~ dans la température, produirjit un abaissement de 0i"08 à 600">; à la charge de j du puids du boulet, il ne serait encore que de O^nll ; mais 3 U chirpe de jj, ou avec une vitesse initiale de 138»-», i! ^rail de 0'"56. A égalité de vitesse et de distance, et 3^"c des projectiles différents, on obtiendrait les mêmes à!iii5sements, pour des variations de densité en raison inverse des calibres ou des densités des projectiles.

Une variation de \5^ dans la température et de 0"030 <]jn< la hauteur du baromètre, ce qui peut se rencontrer i'uu jour à Tautre, produirait sur un boulet de 16 lancé i G<H>B à la charge de j du poids du boulet, un abaisseuif'ui de 0<n517; cette quantité, qui correspond à une '.itlérence de près de 0^ 3' ou à une hausse de 3 millin./'ires, n'est pas négligeable dans le service.

(>5 formules auront surtout une application utile pour n; [Marier à une densité uniforme de l'air, les résultats

d'expériences faites en des jours différents, corome nous l'avons indiqué plus haut (SI 8).

Tn^^^^^'**^* réelles des proJecUlea*

257. Données nécessaires pour déterminer la trajectoire réelle d'un projectile. On a donné (sections lU, IV, V) les lois du mouvement d'un projectile soumis à l'action de la pesanteur et à celle de la résistance de l'air, dans la direction du mouvement. Elles appartiennent au mouvement, dans un air calme, d'un point matériel pesant et s'appliquent à celui d'un projectile sphérique homogène et sans mouvement de rotation. Nous avons donné la solution des divers problèmes qu'on peut se proposer de résoudre dans ces circonstances.

On a vu (219) qu'il y avait entre les formules et les ordonnées réelles observées de la trajectoire d'un projectile sphérique des différences notables, et l'on a reconna qu'elles tenaient à des causes autres que les deux forces qu'on a fait entrer dans le calcul. On a reconnu également que les causes déviatrices qui agissaient sur le projectile variaient en grandeur et en direction d'un projectile à un autre, lors même qu'on cherchait à rendre les circonstances du lir aussi égales qu'il est possible; on a reconnu enfin qu'elles variaient, pour le même projectile, dans l'étendue du trajet de la bouche à feu au but. On a fait voir que ces causes déviatrices étaient dues au mouvement de rolalion dont les projectiles sphériques ordinaires sont généralement animés.

Pour déterminer le mouvement réel du projectile, on devra connaître, dans tous les cas : 1<> la direction du projectile au départ, direction qui, à chaque coup, s'écarte

plus oa moins de l'axe de la bouche à feu, un peu plus (:t néralement au-dessus (225 et 226) ; 2» la vitesse initiale qui, pour une charge donnée de poudre, varie aussi à chaque coup- dans certaines limites (230). Ces donnée3 sudisenl pour déterminer la trajectoire lorsque Ton considère le projectile comme un point matériel, ou un pro* jectile sphérique homogène et sans mouvement de rotation (secl. III» IV, V).

Si le projectile a un mouvement de rotation, on devra connaître en outre la direction de ce mouvement et la MU'sse. On ignore encore, pour la plupart des cas» la gran* tieur de la force déviatrice qui résulte d'une vitesse de rotation déterminée. On sait seulement qu'elle agit généralement dans la direction et dans le sens du mouvement *\-: rbémisphére antérieur (245). Nous avons déterminé fo grandeur, pour quelques cas des projectiles excentriques, lorsque l'axe de rotation était perpendiculaire à id direction du mouvement.

Si l'axe de rotation et le plan du mouvement restent pralléles à eux-mêmes durant tout le trajet, la déviation Continuera à se faire dans le même sens et avec une intensité qui peut varier avec la vitesse et dont on ne courait pas encore la relation.

Si l'axe de rotation du projectile se trouve être un des aies principaux d'inertie du' projectile, et que sa surface» sans irrégularité notable, soit une surface de révolution autour de cet axe, celui-ci restera parallèle à lui-même, et la déviation continuera dans le même sens. L'axe de rotation conservera une direction d'autant plus stable» que le moment d'inertie, majeur, ou mineur, sera plus Jitléreoi du moment d'inertie moyen.

Lorsque Taxe de rotation ne sera pas un des axes prin* npaux» majeur ou mineur» et que sa position sera déterniiaée par rapport à ceux-ci» on pourra, par les lois de

la mécanique, dclerminer à chaque instant du trajet la position de cet axe et cette vitesse; par leur moyen, on déterminera qu'elle est, à cet instant, la direction et la grandeur de la force déviatrice. On pourra négliger, sans erreur appréciable, l'influence de la résistance de l'air snr la vitesse du mouvement de rotation.

258. 091 tient compte séparément de chacune des forces déviatrices. Les forces déviatrices qui naissent du mouve* ment de rotation étant en général peu considérables, les vitesses qu'elles produisent et les chemins qu'elles font parcourir sont très- faibles relativement à la vitesse do projectile et à l'étendue du trajet; de sorte que leurs composantes dans le plan perpendiculaire à la trajectoire pourront être regardées comme sans influence sur le mouvement de translation, et que leur mouvement pourra être considéré d'une manière indépendante. Ces considé* rations sont particulièrement applicables au tir ordinaire des armes à feu et des bouches à feu sous de petits angles au-dessus de l'horizon.

Il en serait de même pour des arcs de trajectoire d'une certaine étendue, dans le tir des bombes sous de grands angles de projection.

259. Application au tir peu élevé au-dessus de Vhcri' zon. Prenons pour exemple le cas d'un projectile tiré sous un très-petit angle au-dessus de l'horizon, et dont l'axe de rotation serait perpendiculaire au plan vertical de projection, et le mouvement direct, c'est-à-dire que son hémisphère antérieur tournerait de haut en bas; nous supposerons de plus que l'axe de rotation étant un axe principal du corps, il cestera parallèle à lui-même durant le trajet, et que, par suite, la déviation ciura lieu constamment dans le même sens que celui de la pesanteur.

Conservons les notations admises, et nommons de plus g* la force déviatrice exprimée comme la pesanteur y, et

J<'|ieii Jaul de la vitesse de rotation ; nous la regarderons comme constante dans l'étendue du trajet. Nommons z la déviation qu'elle produit par rapport à la trajectoire normale que décrirait le projectile sans la force g'; la déviation produite par celle-ci et l'abaissement dû à la pesantcnt 9, seront dans le rapport des deux quantités g' elg; (le cette sorte, en se rappelant que V/ =: %/icos*9,

l'aliaissement dû à la pesanteur étant î^— iR>(^,V), la

«Jâiatioo sera

Duos le cas que nous considérons, la courbe restera plane ; elle sera seulement plus abaissée que la trajectoire normale.

Si le plan de rotation passant par la trajectoire au do- |iart n'est pas vertical, et que, par exemple, la partie iiifcrieure soit inclinée vers la gauche, la déviation se fera ilans le plan du mouvement et dans le sens inférieur à g3uche.

Sî Taxe de rotation n'est pas perpendiculaire à la tani:ente à la trajectoire, la force déviatrice sera diminuée ; s il Cdt dans le plan vertical, par exemple, la cause déviatrice latérale sera d'autant moins grande que l'axe sera plus rapproché de la direction du mouvement, et s'il se confondait avec liji la déviation serait nulle. Uans tous les autres cas, la force déviatrice agira dans une direction [»».'rpendicubire au plan qui passe par l'axe et par la tangente a la trajectoire.

La valeur de (f dépendra donc de l'inclinaison ; la loi suivant laquelle elle agit nous est inconnue; mais on (xturrait supposer, comme on l'a admis pour rinclinaison •i* '^ surfaces planes, et cela jusqu'à ce que des recherches ^il»êrimentales nouvelles aient permis de l'apprécier plus

456 siscTiON IX.

exactefnent, qu'elle esl proportionnelle au carré do smus de rinclinaison.

Si Taxe de rotation n'est pas un des axes principaux d'inertie du noobile, il changera de direction durant le trajet et variera suivant des lois connues; d'après cela, on connaîtra à chaque instant la grandeur de la force déviatiûce et sa direction, et l'on pourra encore déterminer à chaque instant la position du mobile relativement à la trajectoire normale.

260. Représentation du mouvement réel des projectiles. Pour représenter le mouvement réel d'un projectile tiré sous un petit angle au-dessus de l'horizon, imaginons un plan qui soit toujours perpendiculaire à la trajectoire normale et qui reste par conséquent sensiblement vertical; sup^ posons en outre qu'un de ses points suive exactement la tra* jectoire et se meuve avec la même vitesse que le projectile.

En traçant par ce point et dans le plan mobile une horizontale et une perpendiculaire â cette ligne, cette perpendiculaire restera dans le plan vertical de projection et le projectile, dans ses déviations, restera dans ce plan; sa position, relativement aux deux droites prises coiame axes des coordonnées, indiquera donc la déviation verticale, la déviation latérale et la déviation absolue. Le lieu des positions successives sur ce plan, sera la courbe des déviations. En marquant par des points, sur cette courbe, les positions du projectile à des intervalles égaux et assez rapprochés, on aura la représentation complète du mouvement.

D'après ce que nous avons dit, on voit que si Taxe de rotation du mobile est un des axes principaux d'inerlie, la déviation se faisant constamment dans le même sens, la courbe des déviations sur le plan des coordonnées mobiles, sera une ligne droite, et que celle-ci ne sera autre que la trace du plan méridien perpendiculaire à l'axe de rotatiofi.

Ed supposant que la trajectoire normale soit rectifiée et réduite à sa projection horizontale, les déviations rapportées à cette ligne seront, avec les abaissements dus à la pesanteur, dans le même rapport que la force déviatrice g^ à la pesanteur 9. D'après cela, il deviendra très-facile de les déterminer.

Pour rendre les effets de ces déviations plus apparents et plus faciles à saisir, on peut les projeter sur le plan horizontal et sur le plan vertical passant l'un et l'autre par la trajectoire normale rectifiée. On choisira les longueurs du trajet pour abscisses et les projections pour ordonnées; celles-ci seront prises à la même échelle que V% coordonnées du plan mobile, plus grande que celle (les abscisses.

Pour compléter la représentation du mouvement d'un projectile, on devra tracer la trajectoire normale, répon- JjQt aux mêmes abscisses, avec des ordonnées prises à une échelle plus grande ; cette trajectoire sera constante p>ur tous les projectiles tirés dans les circonstances qu'on n ?arde comme égales ; chacun d'eux ayant une trajectf.ire réelle particulière et différente, celle-ci sera repréw^niée par une courbe particulière.

^\\, Cas où la direction de l'axe de rolalion e$l variMe. Si Taxe de rotation du mobile ne se confond pas ^\oc Tun de ses axes principaux d'inertie, majeur ou min'.ur, et qu'on connaisse sa position par rapport à ceux- <i et la grandeur respective des moments d'inertie, on !•■ urra encore déterminer la loi des déviations. Ce prol<!*'me, très-compliqué, a été traité analytiquement par I''i^-on •, dans certaines hypothèses et pour des cas parti-

Il^chrrchen $ur le nwuvctnent tfes projectiles dans l'air, en * ". -iif f-qtirtl à leur mourcnirnt de rotntioiu par S. I). Poisson. — J'humai de V École f>oly technique, 1830.

eulicrs ; nous allons indiquer le moyen de le résoudre complètement par points, dans le cas général.

On divisera la durée du trajel en inlervalles détennieés

t'y t" , égaux entre eux ou inégaux et en assez grand

nombre , quatre ou cinq au moins. Pour chacun de ces intervalles on calculera les longueurs du trajet.

En partant de la position de Taxe de rotation et de la vitesse de ce mouvement au sortir de la bouche à feu, on déterminera après chacun de ces instants la position de cet axe et cette vitesse. Les principes de la mécanique et les formules du mouvement de rotation des corps', ou les considérations géométriques sur le mouvement de rotation*, eu donnent le moyen.

Cela fait, on tracera sur le plan des coordonnées mobiles, ou plan des déviations, la trace du plan qui passe par la tangente à la trajectoire et par Taxe de rotation ; la perpendiculaire à celte trace sera la direction de la déviation initiale du mouvement de rotation; si 9' est la force déviatrice qui correspond à la vitesse de rotation dans le premier intervalle, | g't'* sera le chemin latéral parcouru ou la déviation après ce premier instant; on portera cette quantité sur la droite ; la vitesse acquise dans cette direction sera (/'/'.

Dans le second intervalle t"j et sans la force déviatrice, la déviation produite eût été gW; mais la force déviatrice agissant suivant une direction un peu différente, que Ton connaît, et étant représentée par g'\ elle ferait, si elle était seule, parcourir au mobile un espace ^jV"; le chemin réellement parcouru sera donné en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux lignes, ou, plus exactement, l'extrémité

• Mécanique de Poisson.

' Théorie du mouvement de rotation des corps, pai* Poinsol.

(le celle diagonale sera ia posîlion du mobile à la fin du «Icuiiéme inlervalle.

La vilesse^ à la iln de cet intervalle, sera donnée en codeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit, en prenant pour côtés et sur les mêmes 'tireclions la vitesse g^t au commencement de cet instant, el la vitesse j^V qui serait acquise pendant cet inter\'alle |iar la force déviatrice seule. On continuera ainsi pour tOQs les autres intervalles.

On obtiendra un peu plus d'exactitude dans les rcsul- Lil5, en apportant à cette méthode les modiûcations déjà ioJiquées (156 et 157) pour le tracé des trajectoires.

Ko projetant les points obtenus de celte manière, sur le» aies des coordonnées verticales ou horizontales, on aura les déviations dans l'une et dans l'autre de ces dircclioos.

^62. Trajectoire dans le cas de plusieurs causes dévia^ tiin's coexislatites. Si le projectile n'est pas projeté suivant i\jxe de la bouche à feu, les écarts dus à cette circonstance seule auraient lieu suivant la ligne d'intersection du {•Idn mobile des coordonnées avec le plan qui passe par I aie de la bouche à feu et par la direction de la ligne de irtjection effective. Ces écarts seront proportionnels à la tân^'ente de l'inclinaison et aux dislances de la bouche à f'U. Les déviations qui résultent de cette cause devront i^tre ajoutées à celles des causes précédentes, si elles existant en même temps.

S l'air n'est pas calme, le projectile sci a soumis à l'effet (Ju vent; on déterminera les déviations qui en résultent, c< trame on l'a déjà indiqué (2â2 à 235), et on les ajoutera à b composante horizontale des autres déviations.

En calculant de cette manière des trajectoires dans >ii\er^es hypothèses de vitesse et de direction du mouif^fiient de rotation, et en les comparant à celles qu'on

observe effeclivement, on verra que ces déviations, dont quelques-unes sont Irès-singulièreSy s'expliquent facile* ment par l'existence de ces diverses causes. Réciproque* ment, d'après les déviations observées, on pourra déterminer les causes qui ont dû y donner naissance.

§iv.

TriJ^c^o'i^® d^** projectiles obloD^e dans les ran— mjéi*

263. Nécessité de tenir compte de la dérivation. Les projectiles oblongs, tirés dans des canons rayés en hélice, et introduits récemment dans l'artillerie des diverses puissances, doivent être ici l'objet d'une étude spéciale, qui cependant ne peut encore être que générale, vu que les formes des projectiles ne sont pas définitivement arrêtées Chaque projectile devra être l'objet de déterminations particulières, en ce qui concerne certains coefficients.

Nous ne nous occuperons actuellement que du tir sous de petits angles de projection, le seul encore pra-* tiqué.

On a vu plus haut (252) que le projectile oblong ne suit pas la trajectoire qui résulterait de sa vitesse de translation, de la pesanteur et de la résistance tangentielle de l'air; ainsi, la vitesse initiale de la balle creuse des car* touches d'infanterie, du poids de 32s^, tirée à la charge de 4^5 dans le fusil d'infanterie rayé, est égale à 345*-*; en prenant A = 0,019 pour le coefficient de la résistance de l'air, on trouve que l'abaissement, au-dessous de la ligne de tir, serait de IS^^GO à 400">. Mais, au contraire, l'abaissement observé dans des expériences précises est de 10°»70 ; on en conclut qu'il y a eu une dérivation verticale de 2in90.

Celte dérivation peut être comparée, soit à la pesanteur

stâl à la dérivation due au vent. Dans la première hypotliêse, en remarquant que rabaissement est proportionnel à la pesanteur, on voit que l'on rendrait compte de Tabais* sèment observé, en réduisant la pesanteur dans le rapport tie 13^60 à 10m70, ou dans celui de 9,809 à 7,72; c'est comme si la balle, dont le poids est de 32i?, était pressée Je bas en haut, avec une force constante égale à 6^82. [Kins la seconde hypothèse, on obtiendrait la même dérivation si la balle, étant sphérique, de même diamètre et Je même poids, la vitesse du vent dans le sens vertical, H dirigée de bas en haut, était égale à 3°''"i0*

Outre celte dérivation verticale il en existe une autre, qui est horizontale, et du même genre, et qu'il importe aussi de connaître, afin de diriger le tir en conséquence.

Ou peut rechercher quelle est ccllf^de ces deux hypothèses qui représenterait le mieux la dérivation, soit d'une fnrce constante comme la pesanteur, soit d'une force dé- M<itrice comme celle du vent; ou essayer d*autres lois de J(':%iation plus ou moins rapides; et, dans ces diverses Inpothéses, rechercher l'équation de la trajectoire et celles Je rinclinaison, de la durée et de la vitesse, pour un trajet Jonné.

â(U. Equation de la trajectoire des boxUets oblongs. — Li force déviatrice étant comparée à la pesanteur, Suppo- «•-^ns d*al)ord que la force déviatrice soit constante comme b pesanteur, mais dirigée de bas en haut. Il suffira de •itminoer la pesanteur g d'une quantité gf. Là trajectoire J'im projectile oblong tiré dans un canon rayé, en con- ^^rvant les notations ordinaires (art. 63), sera, dans cette li}(>utliése,

î.n^ celle expression j^est une force déviatrice vertic«ile 3;i<$anl de bas en haut, à l'inverse de la pesanteur.

442 SECTIOiN IX.

Admettons que la dérivation horizontale suive la même loi, sauf la grandeur de ^ que Ton remplacera par /, la dérivation z aura pour expression

(2) 2=^'.^ia»(«,v).

La force g^ agira latéralement et de gauche à droite, pour l'observateur placé du côté de la culasse, quand les rayures du canon, comme ordinairement, s'inclinent à droite sur la génératrice supérieure.

Indinaison de la trajectoire; durée; vitesse. L'équation (1) de la trajectoire du projectile oblong étant de même forme que celle du projectile sphérique, la tangente de l'inclinaison à une distance horizontale x sera (art. 64)

(3) tango = tangT - ^^^~^ô(«, V)-

La durée t du trajet et la vitesse Y du projectile auront les mêmes expressions respectives :

Lorsque les inclinaisons au-dessus de Thorizon seront très-faibles, la dernière expression se réduira sensiblement

265. Equation de la trajectoire des boulets oblongs. — La force déviatrice étant comparée à celle du tfenl. Dans la seconde hypothèse, celle d'un vent agissant verticalement de bas en haut, l'ordonnée de la trajectoire doit être augmentée du relèvement dû au vent supposé vertical. Or, cette expression, pour une vitesse égale à W et

DÉVIATIONS DK8 PROJECTILES. 443

à une distance Xy est

• = v;[(D(^,V)-i] ou -^(i + Vo)Fg.

W est la vitesse d'un vent qui agirait verticalement de bai en haut; c doit être calculé, dans cette expression comme dans ilb(^, V), d'après le diamètre et le poids du projectile suppose sphérique, mais avec une valeur de A plus petite, et qui, d*après ce qui a élc indiqué pour H>*s telles de plomb pleines, a été A = 0,018; et, pour Ws balles creuses à la partie postérieure, A = 0,020.

D*après cela, l'équation de la trajectoire d'un projec* tile oblong dans un canon rayé sera

ou, en remarquant que Vo = — ,

ry) y = ^ungv^|^[ia,(a?,V)-gvo(i + Vo)F^];

(le telle sorte que l'équation de la trajectoire des boulets uUongs, tirés dans les canons rayés, ne diflere de celle J'S projectiles sphériques qu'en ce que le facteur ift>(x, V)

Wr z

•iuii être diminué de r-Vo(i •♦- Vo)F-.

Voir (art. 311, éq. 3) une autre simplilicatioii. La dérivation horizontale z sera

Itans celte expression \V est différent de W et agit horiz«ntalemenl de gauche à droite.

Indinaisati de la trajectoire; durée; vitesse. Dans Thy-

polhèse d'une force dévialrice comme le vent, on obtient l'expression de la tangente en différentiant la valeurdey de l'équation (5) ou (5*) par rapport à x^ ce qui donne, toute réduction faite,

ou

(7*) tang8=tang9-|^[ô(x,V)-gVp{l + Vo)F£];

de telle sorte que l'expression de Tinclinaison de la trajectoire d'un boulet oblong ne diffère de celle d'un projectile sphérique qu'en ce que le facteur 5(a;, V) doit être

diminuédc J^VQ(^^.Vo)F'^.

Cette diminution ne diffère de celle qui se rapporte aux

ordonnées (éq. 5*) qu'en ce que F— est remplacé par

P— ; relation analogue à celle qui existe entre *<ft>(«,V)

et &(x,\).

Quant aux durées et vitesses, elles conservent les mêmes expressions que plus haut (art. 264, éq. 4).

266. Formules de dérivations plus rapides. Si la dérivation donnée par la formule précédente ne croît pas assez rapidement avec les distances, on pourra substituer

à F--, soit e'*', soit e*^, ou simplement remplacer - par un de ses multiples - et notamment dans F—.

c xc

L'équation de la trajectoire serait avec é

(S) y = a;tang*-| — 1)1,(0;, V)+--(1 +V„)e*«,

OU

(H-; y=xUingT-?^[ift>(«,V)-gVo(H-V«)eî"^].

La tdiigcnle de rinclinaison donnée par la diflërenlia- Ujd de y par rapport à x sera

^Unee = tangT~|î.3(x,V) + |;(l + -|)^^(i + Vo)

Enfin, avec e^, on aurait pour équation de la trajectoire

y = xtanuP-|:^,ifl,(x,V) + ^-(l+Vo)e^

' 0 ï^m analogue comme précédemment.

1^ tan^'enlc de l'inclinaison de la trajectoire, don- I '*' comme précédemment par la diflerentiation de y^ 5 Ta

'U son analogue comme ci-dessus.

U durée et la vitesse ont la même expression que cid- ^«us.

i07. Comparaison des fonnxiles sous le rapport de la déru odon avec les dislanccs. Les dérivations dans les quatre !l^|H>llJé^p^ considérées (art. 2C4, 265 et 206) sont

Pour rendre la comparaison plus facile, supposons que la résistance se rapproche de plus en plus d'être proportionnelle au carré de la vitesse; alors Vo sera négligeable devant l'unité et les quatre expressions ci-dessus deviendront respectivement :

Sr'«'a; Wa?» a: W a:' è W x' f 2V/ c' 4cV.'2c' V,*4c ' 4c W,

Ce qu'on sait des valeurs de F- et F — (66 et 67) montre

bien évidemment que le décroissement est plus rapide dans la première expression que dans la deuxième, dans la troisième que dans la première. Ce rapport est rendu plus clair par le développement en série qui est respectivement :

Les formules qu'on >îent de donner sont empiriques, sans doute, quand il s'agit de dérivations autres que celles qui sont dues au vent ou à la pesanteur, mais elles sont le plus naturellement applicables, et c'est parmi elles que l'on doit d'abord chercher l'accord avec les résultats d'ob^ servation; ou bien, comme on l'a déjà dit, assimiler les dérivations à celles qui se rapportent au vent (art. 365),

4 H X wx

en remplaçant - par - et F-- par F—, n étant un facteur à déterminer par l'expérience.

DEVIATIONS DES PROJECTILES.

i08. Applicaiians. Nous donnons ci-après les résultais d«' Tobservulion du lir de divers projecliles oblongs.

Exemple. Soit pris pour exemple le lir de projectiles oblongs du »î*»mrlre de 0*160. avec un vide capable de contenir 1^600 de [cidre et pesant 29^. Us ont élé tirés en Angleterre, en 1850. avec !d Canons Cavalii et WahrendorfT. aux charges de Z^iS et 4^534. '" .5 les angles de 5". 10^ et 15^; on a observé les portées et les L.riVs moyennes des trajets sur 12 coups, et l'on a obtenu les T' îuilits ci-après :

POIDS