CHAPITRE II

ce qui Iraiisfuniic la fraolioii donnée dons ccllc-ci

dont les deux termes sont infinis pour y = ao c’esl-à-dire, pour * = O; la vraie valeur est donc la même que celle de

Celle-ci devenant aussi ^-pour y = ao , a pour valeur

-2y2 ) eï

cl ainsi de suite. Or, si m est un nombre entier et pair, après un

nombre ^ de dérivations successives, on trouvera la fraction

dont le dénominateur seul devient infini pour y = ao ; la vraie valeur cbcrcliéc est donc zéro. Si, au contraire, tn est impair ou fractionnaire, il est visible qu’après un nombre n de dérivations immédiatement supérieur l’c.xposant de y deviendra négatif de lu

forme ^ — n ; on pourra donc, en faisant descendre y au dénominateur faire en sorte que le numérateur soit un nombic constant, positif cl fini ^ — 2^ , tandis que le dénominateur prendra

la forme y" * e> et sera, par conséquent encore infini; la fraction

est donc nulle pour i==0 quand m est positif.

La méthode précédente serait évidemment en défaut si toutes

les dérivées siiceessivcs du numérateur et du dénominateur étaient nulles ou inrinics pour la valeur donnée à la variable, comme cela a lieu pour les fractions

(/x - -F- — a ^ log sin x

|/x*a» loglangx

dont les deux termes sont nuis et infinis cl ont des dérivées successives toutes infinies pour x — a et x = 0. Il faut dans ce cas, chercher à découvrir directement le facteur commun qui fait évanouir les deux termes de la fraction ou leurs dérivées. En décomposant la première fraction de cette manière

^/x — j/o -F- al/ (j/x — j/a) {(/ X -F- j/ô)

on reconnaît que l/ (/x — j/a est facteur commun et on trouve

- pour vraie valeur. Quant à l’autre, sa vraie valeur est l’unitc.

Si les deux termes de la fraction étaient fonctions de deux variables (x, y) liées entre elles par l’équation

et que ces deux termes devinssent nuis pour certaines valeurs (a, b) de (x, y) satisfaisant à cette dernière équation, la vraie valeur de 1a fraction s’obtiendrait encore en prenant les dérivées des deux termes pur rapport à x, pourvu que l’on considérât!/ comme fonction de x, puisqu’on peut concevoir y remplacé par sa valeur en x tirée de

y) — 0. Ainsi pour-^^-'{^i

la vraie valeur est

dF dF dy

dx dy dx

~Tf’

rfy rfy dy

dx dy dx

dx dy dy dx df df rfy df dx dy dy dx

CHAPnUE II.

«près qu’on aura remplacé (x,y) par (a, b). Celle seconde valeur rcsulle

de ce que dans /"(x, y) = 0, ^^estcgalà — — • Ainsi, si on ciicrchc

ce que devient pour x = 0 la dérivée — tirée de

on trouve y = 0 et

dx a-y -I- 2y (x’ y*)

En dérivant les deux termes, puis faisant (x = 0, y = 0) et désignant

par A la valeur correspondante de — » il vient

A = d ou A = rb I .

50. Fonclions qui deviennent 0°, » ». — Cherchons encore la vraie valeur de Fxl% lorsque Fx et fx deviennent nuis jiour une même valeur a de la variable. En représentant eelle fonction par u, il vient

»< = fx/', log M = fx log Fx =

Celle dernière expression prend la forme — g pourx = «, puisque log 0 est égal à rinliiii négatif; sa vraie valeur est donc

Fa f^aF'a

f'a Fa f'a

qui se réduit à /’n ou à zéro, parce que les fonctions /bel Fa éUinl luillcs, leur rapport est égal à celui de leurs dérivées. Le log de M étant zéro, on en conclut que généralement la valeur limite d’une fonction qui prend la forme 0» est runilé.

CALCül, DlfFÉBEMIF.L.

Si Fx, au lieu de devenir zéro devenait infini, c’csl-à-dirc, si la fonction donnée prenait la forme so "j les deux tenues de la log Fa

fraelion - - seraient infinis et la vraie valeur de log u serait eneore

fa* F'a

donnée par

log « = ■

Faf a ’

mais les deux termes de la fraction-^ étant infinis en même temps, on a

fa*

fa* F'a

la valeur de log « se réduit donc à /a ou à zéro, d’où l’on conclut que 00 ° est aussi égal à l’unité.

lîl. Fondions qui deviennent f”. — Enfin si pour x = a, Fx convergeait vers l’unité et fx vers l’infini, en opérant comme plus haut, loK Fs

il est visible que — — convergerait vers j et par suite, que l’on aurait

log U =

f*aF'a

Faf 'a ’

mais Fx convergeant vers l’unité, la fraction ;; et l’on a

Fx — 1

• converge vers

Fa—i

la valeur de log « devient donc

{Fa — l)/o

fa*

log « =

Fa — \

CIIANTHK II.

et comme eette deniicre se présente sous la forme ^ , elle devient enfin f'u ,

log U — ^)* U = e ^ “

On trouve ainsi cosx*'"**= l pour x=»Oj lang x'**"»*^ =— pour

x==-7 (i x) ' = e pour X — O, sinver x'='''S* =- pour x = - et 4 ' e‘ '2

enfin pourx = 0, (1 -v-x")*"=e"* . Cette dernière fonction

devient e, 1 ou oo selon que m positif est égal, supérieur nu inferieur à n positif.

32. Développement d’une fonction, — On dit qu’une fonction fx est dévclop])éc suivant les puissances ascend-intes de la variable x, lorsqu’un a transformé identiquement fx en une autre fonction de la forme

Ax‘' I- -I- C.r^ -I- etc.

dans laquelle les coclllcienls II, C, l) et les exposants a, y

sont finis et indépendants de x. llcmarqiions d’abord que, do quelque manière (pic l’on arrive à cc développement , que nous supposcron.s toujours ordonné suivant les puissances croissantes a, p, y.... de x, le résultat doit toujours être le inèiiie , pourvu que l’on n’assigne à x anenne valeur ]iarticulièrc , ou en d’autres termes, qu’une même fonction ne peut donner lieu à deux dévclop|)emcnls différents suivant les |>nissancO'> ascendantes de la même variable; en effet, si

A'x*' B'x^' C'x'l' -t- etc.

pouvait être un second dévelopiicment, on aurait pour toute valeur de X,

•\x“ -t Ux? -t- de. = .Vx*’ I M'i?' etc (I)

Observons d’abord que s’il y avait de part ou d’autre des exposants négatifs, en multipliant les deux membres par x élevé à une puissance supérieure au plus grand exposant négatif, ils deviendraient tous positifs et que par conséquent il suffit de démontrer l'identité en snp|)os.'inl tous les exposants positifs. Or, si on suppose plus grand ipic *, il vient en divisant jvar x®,

A + Bx^ “ 1- Cx'f-“ -V- etc. = A'x"'- * m- B'xi’'-* t- Cx'/'-* t etc.

CALCl'I. UIFFEHENTIEL.

Pour x=0 le premier membre se réduit à la constante A; il doit donc être de même du second membre, ce qui ne pourrait arriver si a' était supérieur & a, puisque tous les termes disparailraicut, tandis que pour a = a l’équalioii se réduit à

Si dans les deux membres de l'équation (t) un supprime les deux termes égaux Ax“ et .l'x*', celle-ci devient

Bx^ -t- Cx^ -I- etc. = B'x^' Cx'^' ■+■ etc.

cl on démontrera de la même manière l'égalité des autres termes; d'où l'on conclura que les deux développements sont identiques.

35. Développement de Taylor. — Avant de nous occuper du développement de fx suivant les puissances ascendantes de x, nous chercherons un développement plus général et qui renferme le premier comme cas particulier. Si dans fx on donne à x un accroissement h, la fonction devient f[x -+- h) et proposons-nous de développer celle dernière suivant les puissances ascendantes de h, c'est-à-dire, sous la forme

AA* -4- Bh? -4- CA’*' -F- etc.

A, B, C «, V étant indépendants de A. On a vu (N® 5) que

/■(x -4- A) peut toujours se décomposer de celte manière

f{x -4- A) = /x -4- hf' (x -4- OA) quand x reste variable. Mettons celle équation sous la forme

f{x + h) ^fx + hB,

en faisant

B = f{x -+- OA).

Comme cette égalité doit subsister pour toute valeur de A, les dérivées successives des deux membres par rapport à cette lettre seront aussi égales; or, on sait qn’cn représentant x -4- A par x', la dérivée (le fx' par rapport à A est (N“ 8)

djfj:')

dx' dh

dx'

"dh

c’est-à-dire, que celte dérivée s'obtient en prenant la dérivée de fx par

CUAPITRE II.

rapport à ac cl en remplaçant ensuite x par x ■+■ h. On reconnaît de même que les dérivées seconde, troisième, etc. de f{x -t- h) par rapport h h sont f'"{x + h) ; on a donc celle suite

d’cgalilés

f{x -i- h) = fx + hli ,

nx-^/.)=

dR d^R Ik'*' dh'

— h — dh*

n—r, — r "“Tr"’

d/»"'* dh"

d’où l'on lire, en additionnant, après avoir multiplié les deux membres

de la deuxième par — ft, de la troisième par -*-1—2’ quatrième

par r et ainsi de suite,

f(x + h) — hf\x A) r'(x ù) — r' (x -I- h)-

-/■'"'(x -k- h) = fx ±