CHAPITRE II

Applications analytiques du calcul dilTcreiitiol. Détermination de la vraie valeur de» fonctions qui deviennent ~ pour une certaine valeur attribuée à la variable.

— Fonctions qui deviennent — Fonctions qui deviennent 0®, x ®, Fonctions qui deviennent 1*. Dévelop|>emcnt d’une fonction. — Dévelopjwmenl de Taylor. — Formule do Maclaurin. — L'tilité des dévelop|»emenls dos fonctions en série. — Convergence des séries. — Terme sommatoirc de la série de Taylor.

— Limite de la série de Taylor. — Consé<|UPnces relatives h la convergence de la série de Taylor. — Limite de la série de Maelaurin. — Conséquences relatives à la convergence de la série de Maelaurin. — Série de Taylor en défaut. — Développement d’uiie fonction suivant les puissances entières d'une fonction donnée de la variable. — Formule pour le retour des suites. — Formule pour la résolution des é(|uations numériques. ~ Maximum et minimum des fonctions d'une seule variable. ^Valeurs iinugiiiaires des sinus et cosinus. Logarithmes de l'unité. — Racines de l'unité. Racines des équations à diHJX termes. — Dt^ veloppcment de cos"»j, sin**x. — Formule de Moivre. Développement de cos mar et sin mx. — Queli|ues voleurs sy mboliques remarquable.s.

28. Détermination de la vraie valeur des fonctions qui deviennent I pour une certaine valeur attribuée à la variable. — Proposonsnous, pour première application analytique du calcul difTcrcnticl , de

trouver la limite vers laquelle converge la fraction -> lorsqu’on

fai-

sant converger X vers une valeur conslantc a, les deux termes P et Q qui sont des fonctions de x, convergent à la fois vers zéro, ou lorsque la fraction se présente îi l.a limite sous la former- Remarquons d’abord que lorsqu’une fonction P de x s’évanouit pour x = a, on doit en conclure que a est une des racines de l’équation P = 0 et par suite

CUXia. DIFFtnF.NTIEL.

(lu thcorèliic fondamcnliil «le lu tliéorie des «équations , P doit être divisible exactement, une ou plusieurs fois, par x — a, du moins si cette fonction est rationnelle et algébrique; en sorte que P pourra être mis sous In forme P’ (x — «)”, dans laquelle P' ne s’évanouit plus pour X— a. On reconnaît de même que Q doit être de la forme Q' (x — a)" et par consé<picnt

On voit par cette décomposition, pour quel motif les deux termes

de la fraction — s’évanouissent a la fois pour x = a ; on voit aussi qu’en

supprimant le facteur commun x — a, on connaîtra la vraie valeur

de la fraction — • Ainsi, si m = ii, la vraie valeur est — dans laquelle

X doit être rcni])lacé par a. Si m ^ n, la fraction est réductible à lu P' (x — a)“~*

forme qui devient zéro pour x = o. Enfin si n ^ m ,

elle est réductible à la forme — — et pour x = o, il vient —

ou rinfini.

Il résulte de ce qu’on vient de voir, que si l’on pouvait découvrir le facteur commun de ces deux termes, on connaîtrait immédiatement la vraie valeur «le la fraction ; mais celte recherche est souvent fort longue, surtout pour les fonctions irrationnelles ou transcendantes. I.c calcul dilfércnticl conduit à une solution très simple et générale de la question; en effet si a est la valeur de x qui fait évanouir les deux termes, en remplaçant x par a »- h, la fraction deviendra

- — et il suffira de faire h nul pour retrouver la valeur eher-

ehéc; or en désignant par û et 6’ deux facteurs inconnus compris entre 0 et 1, on sait (M“ îi) que les deux termes de cette fraction se transforment de la manière suivante :

F (a h) Fa -t- h F (a -t- O/i)

f[a h) fa -I- hf'(a •«- O'/i)’

qui SC réduit à

F (a -F- k) F' {a -t- <ih) f{a h) f'(a -t- Vh)

ciumnE II.

jiarcc que Fa cl fa soiil niiU par hypotlièsc. Si on fait converger h vers zéro, celle égalité devient

Fa F'a

Ja^W

d’où résulte ce théorème ; le rapport de deux foncliont qui s’éraiwuisseiit à la fois quand on attribue à la variable une certaine valeur, est égal au rapport des dérivées de ces deux fonctions.

Si les deux dérivées premières s'évanouissent elles-mêmes pour la valeur attribuée à la variable, il est visible qu’en opérant sur ccllcs-ei eomme on l’a fait sur les fonctions primitives, on sera conduit à celle conclusion, que le rapport cherché est représenté par le rapport des dérivées secondes et qu’en général, il est représenté par le rapport des deux dérivées de même ordre les moins élevées qui ne s’évanouissent pas simultanément.

. 1 — ar

Prenons pour exemple la fraction r qui devient § pour x = 1.

On trouve, en prenant les dérivées des deux termes,

pour la valeur eberebée. La fraction

ô.r* — a* — 2aT X* — liai -i- 4o*

qui, pour x=o, devient j, donne en prenant les dérivées des deux termes,

Ox — 2a 4

2x — bu .)

On trouve de la même manière, p ur x = 0,

— — — = 0, = log a — log b, = X

selon que l’on a n < 1 , h = 1 ou « > 1 . On trouve encore pour

x = 0, en dérivant plusieurs fois le numérateur et le dénominateur,

1 — cos I 1 e* — er‘ — 2x

X — Slll X

21t. Fonctions qui deviennent *-• — Si les deux termes de la frac- Fx

lion — deviennent à la fois infinis pour une valeur a de la variable, /*

on trouvera la vraie valeur en effectuant les opérations indiquées plus haut, sur la fraction mise sous la forme

Fx

c|ui devient § jioiir i = a. En prenant la dérivée des deux termes de eette fraction, on trouve

f^x /Fx\^fx Fx \fx J F'x ~F^

et par conséquent, en représentant par .Mecque devient lu fraction Fx

donnée — quand x = a , fx ’

d’où A =

Un voit pur là que la règle indiquée plus haut est commune aux cas où les deux termes deviennent à la fois nuis nu infinis.

Prenons pour exemple la fraction

qui devient 2 pour x = 0, quand m est positif. Si on y appliiiiic la règle précédente, il sc jirésrutc une difliciilté que l’on évite en faisant