CHAPITRE XVI
On peut encore prendre pour cxcraplcs d’intégration, les équations aux dérivées partielles
dz
dz
,dz
et l’on trouvera pour intégrales
- = « -H Ÿ et ~ = ^ -
■9{xy)-
L’équation
dz ^ / d.V dif\
dx ‘ \dy Ax )
qui donne le facteur z propre à rendre différentielle exacte l’équation différentielle implicite à deux variables (N“ 177)
Mdy -+- Ndx = 0,
conduit aux trois équations différentielles ordinaires et simultanées Mdy Ndx = 0,
/dM dT
Sdz-z\^^
La première n’est autre que l’équation différentielle qu’on se propose d’intégrer. Il est visible qu’une seule de ces équations suffira pour . 1 /dM d\\
déterminer le facteur z, si ÿ( — ~dÿj contient que la varia-
1 /dM d\\ , • . ,
blc V, ou SI — I r- 1 no contient que la variable x, ce qui
•' M\dx dy J
s’accorde avec ce que nous avons déjà trouvé (N" 177).
Observons aussi que, comme l’intégrale générale contient une fonction arbitraire, on peut en déduire un nombre illimité de valeurs pour le facteur ;, en faisant varier la forme de la fonction arbitraire, ce qui s’accorde aussi avec ce qui a été démontré au N" 170.
CALCUL INTf^GRAL.
Les problèmes suivants, tout en offrant des exemples d’intégration, serviront à faire connaître la signifîcation géométrique de certaines équations aux dérivées partielles.
1“ Trouver l'équation générale des surfaces coniques. Une semblable surface est caractérisée par la condition que tous scs plans tangents viennent passer par un nicmc point. Or, l’équation d’un plan tangent à une surface
en un point {x, t/, z) est
(x',g',z') étant les coordonnées courantes du plan; si donc [a,b,c) sont les coordonnées du point fixe et qu’on remplace (x', y', 2') par ces valeurs, on trouvera l’équation aux dérivées partielles du premier ordre
qui exprime cette condition caractéristique et qui par conséquent, représente toutes les surfaces coniques. En intégrant on trouve
pour l’équation générale finie de ces surfaces.
2” Trouver l’équation générale des surfaces cylindriques. Cette surface est caractérisée par la condition que tous scs plans tangents sont parallèles à une meme droite. Pour que le plan tangent
qui est de lu forme
2' -t- ,i x' Hy' -t- D ~ O ,
soit parallèle à une droite fixe donnée par les équations x = ai, y=‘bz.
4G8 CUAIMTIIE XVI.
il doit exister entre les eoellicients , la relation
i Aa -*• Bb = 0, e’est-à-dire, o4^-t-6^=I,
ax ily
qui est l’cquation aux ddrivees partielles de toutes les surfaits cylin driques. Elle a pour intégrale
x — az=>f{ÿ — bz).
5" Trouver l'équation générale des surfaces de révolution. Le earaetere qui appartient aux surfaces de cette nature, à l'exclusion de toute autre, est la propriété d’avoir ses normales dirigées vers l’axe de révolution ; en posant donc les deux équations de l’axe
x = az -i- a, ÿ = 6s-t-p,
ainsi que les deux équations d’une normale
il suffira d’exprimer que ces deux droites ont un point (x, y, z) commun. En éliminant (x, y, z) entre elles, on obtient l’équation de condition
ou, en supprimant les accents ,
qui est l’équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution. Si l’on intègre, en suivant la marche indiquée à la page 4üS, après avoir remplacé x — « et y — ^ par x' et y’, on trouve pour intégrale
4“ On appelle couoïde la surface engendrée par une droite qui se meut de manière à glisser sur une droite et sur une courbe donnée nommée directrice, en restant parallèle à un plan fixe. Si l’on prend la droite donnée pour axe des Z et le plan fixe pour plan des XY, en
CALCDL INTÉr.RAL.
supposant la droite perpendiculaire au plan directeur, il est visible qu’un plan tangent à cette surface en un point (x, y, z) contiendra la génératrice qui passe par ce point, puisqu’il contient les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface et que la génératrice ellemême est une de ces lignes. D’où il suit que ce plan prolongé rencontrera l’axe des Z en un point dont le z sera égal à celui du point de contact. Or l’équation d’un plan tangent au point (x, y, z) est
Pour obtenir le point d’intersection avec l’axe des Z, il faut faire x' = 0, y = 0 et l’on trouve pour le z* de ce point.
dz
dy
Comme cette ordonnée doit être égale au z du point de contact, il vient en remplaçant z' parz.
dz dz
Tx^^^Tyy
qui est l’équation aux dérivées partielles des conoïdes. L’intégrale
est l’équation finie de toutes les surfaces de cette nature. Lorsque dans l'équation aux dérivées partielles
„ dz ^ dz
les coefficients P, Q, R ne contiennent pas la variable dépendante z, l'intégrale, ainsi qu’on a pu le vérifier dans quelques-uns des exemples que l’on vient de traiter, est toujours de la forme
U et Fêlant des fonctions en (x, y) de forme déterminée et y une fonction arbitraire de u; car si l’on pose les deux équations dilTércnliellcs simultanées
Pdy — Qdx = 0 , Pdz — Rdx = 0 ,
CIIArlTRË XVI.
la première, qui ne contient que x et i/, aura pour intégrale
dans laquelle u est une fonction connue de (x, y) et en éliminant y entre cette intégrale et la seconde équation différentielle, celle-ci mise sous la forme
dz
s’intégrera par une quadrature et donnera
f étant une fonction déterminée de x et de C et par conséquent, F une fonction déterminée de (x, y). C est une seconde constante arbitraire. L’intégrale C = ?C de l’équation aux dérivées partielles est donc
Z == F + yM,
comme il est dit plus haut. Celte remarque nous sera utile quand nous nous occuperons de l’intégration des équations linéaires d’un ordre plus élevé.
221. Détermination des fonctions arbitraires. — On voit par les exemples précédents que la présence des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux dérivées partielles est nécessaire pour donner h ces intégrales le degré de généralité qu’ont les équations dérivées. La fonction arbitraire ne cessera d’étre iniléterminée que lorsqu’on aura soumis chacune des surfaces à une condition particulière qui en détermine complètement la forme. Ainsi si pour le colloïde, on donne les équations de la directrice
x = fz et y = Fz,
comme celle-ci doit être renfermée dans la surface
CCS trois équations devront coexister et en représentant - par u , on aura à la fois
CALCUL INTIÎCRAL.
En résolvant ccUc dernière équation par rapport à z, cette variable sera exprimée par une fonction connue de u qui donnera la forme de la fonction arbitraire puisque les deux valeurs de z doivent s’accorder.
De même, si la surface cylindrique
X — «r = v(i/ — bz) est assujettie à passer par une courbe donnée x = tj^Fz,
il faut que les memes coordonnées (x, y, z) satisfassent è la fois aux trois équations précédentes; en représentant donc y — bz par u, il vient
y — bz = u ou Fz — bz= u,
d’où l’on tire z en fonction de «, et par suite x, à cause de x = fz. En substituant ces dt:ux valeurs dans x — az, cette quantité sera remplacée par une fonction connue de u, laquelle indiquera la forme de la fonction 7 puisque l’on a
■lu =
Pour déterminer la forme de la fonction arbitraire daus l'équation de la surface conique , par la condition que celle-ci soit assujettie à envelopper une surface donnée et h avoir son sommet en un point donné , il faudra commencer ]iar chercher la courbe de contact du cône et de la surface (N“ 109) et assujettir la surface conique à contenir cette courbe comme on l’a fait pour les surfaces cylindriques.
La fonction arbitraire dans l’équation générale des surfaces de révolution, s’obtient par une marche analogue, connaissant la forme de la courbe génératrice. Cette courbe est encore donnée par deux équations en (x, y, z) dont l’uuc doit être linéaire et contenir l’axe de révolution, si, comme on le suppose, la courbe génératrice est plane. Les équations de la courbe génératrice dans l’une de ses positions sont donc
z -4- «IX -t- «ÿ -L- r = 0, f{x,y,z) = 0
et on déterminera la fonction arbitraire en assujettissant cette courbe à se trouver sur la surface, ce qui se fera de la même manière que pour les surfaces cylindriques.
CUAPIIHE XVI.
222. Intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre et de forme quelconque. — L’intcgration d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre, mais de forme quelconque, peut être ramenée à l’intégralion d’une certaine équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre et dépend par conséquent de la théorie qu’on vient d’exposer ; soit en effet
l’équation proposée. Si on la dérive par rapport à y, en remarquant que, comme p et q doivent pour plus de généralité, être considérés comme fonctions de (z, y, ;), z étant fonction de z et y, les dérivées de P et 1/ sont données par
dp dp dz dp dp dq dq dz dq dq
dy dz dy dy~^ ^ dz dy dz dy dy~*~ ^ dz'
on est conduit à l’équation suivante :
dy
df df /dp dp\ df/dq
Tz^-^rp(dÿ^^Tz)-*-d7X^j
D’un autre eété , on a vu (N“ 99) que la dérivée totale de p par rapport à y, savoir, 7 égale i la dérivée totale de q par
rapport à z, ou ^ p l’équation précédente peut donc prendre la forme
df dq df dq dp dx dq dy
tlqjdz dy
df df df ... . , r •
Si dans -/-* -f et -p qui sont des fonctions connues de
dp dq dy dz
z, y, z, p, q, on remplace les p par leur valeur en (z, y, z, q) tirée de l’équation aux dérivées partielles donnée, l’équation qu'on vient de trouver ne contiendra plus que Jes trois dérivées partielles
■ÿ’ sous forme linéaire, avec des coefficients fonctions de
dx dy dz
(z, y, z) et de la variable dépendante q ; clic sera donc de la forme
CALCUL I.NTÉCHAL.
c’est4-dire que la valeur de q en (x, y, :) peut être déduite d'une équation aux dérivées partielles du premier degré et du premier ordre à quatre variables (x, y, z, q), en donnant successivement à la fonction arbitraire 7 qu’elle doit contenir toutes les formes possibles.
Après avoir donné à cette fonction y une forme déterminée, on tirera de l'intégrale particulière, la valeur de qf que l’on substituera dans la valeur de p tirée de l’équation /"(x, y, z, p, q] == 0, et l'on sera ainsi conduit ù deux équations de la forme
dans lesquelles V et U sont deux fonctions connues de (x, y, z), et l’on intégrera le système de ces deux équations comme on l’a fait au N° 211. On sait que cette intégration n’csl pas possible pour des valeurs arbitraires de V et U; mais il est à remarquer que la condition d’intégrabilité est ici nécessairement remplie, puisque c’est cette condition même qui est exprimée pur l'équation dont on a tiré la valeur deq, condition qui consiste en ce que la dérivée de p ou F par rapport ù y est égale ù la dérivée de q ou U pur rapport à x.
Si l’on applique ce qui précède, ù l’équation :
on est conduit à l’équation linéaire aux dérivées partielles en (x, y, z, q],
dq q dq n’ dq
dx dy dz
dont l’intégration dépend des trois équations simultanées suivantes :
dq = 0, — — = (/r, n'dy = qdz.
