h p’ -+- 7* = fc* et P* 7' = a
en remplaçant 6* — 1 par a*. Ces surfaces en nombre infini et dont le cône et le plan qu’on vient de trouver ne sont que des cas particuliers, sont appelées ét/uivalenles, parce que tous les cylindres de base équivalente élevées en un endroit quelconque du plan XY, interceptent sur CCS düTércntcs surfaces des portions de même étendue.
CALCCL INTIÎGnAL.
L'cqualion aux dérivccs partielles
pq = x,j
conduit à l’intégrale suivante en q,
et si Tou réduit la fonction ù la forme particulière a - > il vient zy „ a-fo-v-t/»)
et l’on trouve pour intégrale de l’équation proposée, s* = (y« + o)(x*-4- C).
223. Solutions singulières des équations aux dérivées partielles. — Une remarque fort simple conduit à d’autres intégrales en nombre illimité, d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre et d’un degré quelconque. Supposons qu’après avoir donné à la fonction arbitraire y du {.N" 222), une forinc particulière telle qu’elle contienne une constante arbitraire a, on ait trouvé comme dans le numéro précédent,
F et U étant des fonctions déterminées de (j, y, z), et qu’en intégrant le système de ces deux équations ou l’équation différentielle totale
dz = Vdx Udy,
on soit conduit à une intégrale de la forme
C étant une nouvelle constante arbitraire. L’une des deux, C par exemple, |)uurra, par cela meme qu’elle a une valeur arbitraire, être remplacée par une fonction arbitraire de a et l’iutégralc deviendra
Si l’on donne à a des valeurs différentes, la fonction ^ restant la
CIIAI'ITKE Wl.
même, cette équation représentera une suite de surfaces dans chacune
desquelles les valeurs de ^ et ^ ou p et </ satisferont à l’cquation
aux dérivées partielles proposée. Or, on sait qu’en éliminant a entre cette dernière et sa dérivée prise par rapport à a, savoir :
da
l’équation finale en (i, y, s), quelle que soit la forme que l’on assigne à la fonction est l’équation de la surface enveloppe de toutes les surfaces représentées |>ar l'intégrale et comme cette enveloppe est tangente à toutes les surfaces variables, son équation doit, en général,
donner pour ^ et ^ les mêmes valeurs que ces dernières, valeurs dx dy
qui satisferont par conséquent aussi îi l’équation aux dérivées partielles. On aura donc autant de solutions que l’on voudra, en donnant à la fonction des formes particulières et en éliminant ensuite a entre les deux équations
da
Ainsi si l’on considère l’équation aux dérivées partielles P* -V- q* = n* ,
pour laquelle on a trouvé q = a cl par conséquent p = (/n* — a’, en intégrant le système de ces deux équations, comme on l’a vu au N° 222, on trouve pour intégrale
z = x |/ II* — à* 4- -4- i|/a
et en donnant à •{■a la forme particulière — a’ , on est conduit a cette nouvelle intégrale
î* = II* (x 4- 1)* -4- n^y*.
Kn supposant la fonction '{>a égale !i une constante absolue 6, In solution devient
L)c même l’équation aux dérivées partielles
P = (qy 4- :)*
CALCIII, l>TKGRAL.
conduit à l’équation du premier degré et du premier ordre
it] {<I'J -)
et par suite, aux équations simultanées
d(f = iq (qtj -t- z) rfx , ydq = — 2qdy,
(z — qy)dq = iqdz. La seconde donne en intégrant.
et l’équation proposée conduit ù la valeur suivante de p,
Si l’on intègre le système de ces deux équations, on trouve pour intégrale de la proposée,
[zy -A- o) O — x) = ^.
D’autres intégrales s’obtiendront en éliminant a entre la précédente et sa dérivée par rapport ù a,
■}a — X -4- (zy -t- n) ji'a = 0 ,
après avoir assigné à la fonction une forme particulière.
Les intégrales obtenues de la manière précédente, et données par les équations de surfaces enveloppes, se présentent en apparence sous forme de solutions singulières, c’est-à-dire, d’équations primitives privées de fonction arbitraire et satisfaisant ù l'équation aux dérivées partielles proposée; mais bien qu’on ne puisse effectuer l’élimination de a qu’après avoir donné à la fonction une forme particulière , l’ensemble des deux équations n’en contient pas moins une fonction arbitraire -!f, ce qui donne ù ces solutions singulières toute la généralité et le caractère des intégrales.
224. Intégration des équations aux dérivées partielles des ordres supérieurs. — Les méthodes générales pour l’intégrution des équations
