CHAPITRE XVI

aux dérivées partielles d’un ordre supérieur font entièrement défaut. Ce n’est que dans certains cas particuliers et par des moyens appropriés à cliaquc exemple que les géomètres sont parvenus à effectuer un petit nombre d’intégrations pour lesquelles nous renverrons aux traités spéciaux et aux recueils académiques. Il y a cependant quelques cas où l’on peut faire dépendre l’intégration de celle d’équations simultanées aux différentielles totales, comme pour les équations dérivées du premier degré et du premier ordre (N“ 218). Cela arrive toutes les fois que l’équation proposée est linéaire par rapport aux dérivées partielles de l’ordre le plus élevé de la variable dépendante. Prenons pour exemple l’équation du second ordre. Sa forme la plus générale est

/?r <Ss -A- 7^1 = U

dans laquelle r, s, t sont les trois dérivées du second ordre -j— ; j

dx~

■ , ^ et li, S, T, U, des fonctions quelconques de x, y, z, », q.

dxdy dy*

A cette équation, il faut joindre les suivantes

dz = pdx -+- qdy , dp = rdx + sdy , dq = sdx -a- tdy.

En tirant de la deuxième et de la troisième les valeurs de r et < pour les substituer dans la proposée, celle-ci devient

Itdpdy -A- Tdqdx — Udxdy = s{Iidy* — Sdxdy -a- Tdx-).

Or toute équation unique qui satisfera à la fois aux deux équations différentielles totales simultanées

, Rilpdy -A- Tdqdx — Udxdy = 0,

Rdy- — Sdxdy -a- Tdx^ =0,

rendra la proposée identique et en sera par conséquent l’intégrale. .Soient

les intégrales de ces équations, <f et-} étant deux fonctions déterminées de [x, y, Z, p, q) et (C, C), deux constantes arbitraires. Pour que ces deux équations se réduisent à une équation unique, il faut et il siillit que ■} et C soient chacune des fonctions F arbitraires, mais de même forme de ? et C, c’est-à-dire qu’il sulTit que l’on ail