CHAPITRE VU

La première a encore pour intégrale y=Ci, sous la forme

dz — F{C)dx = 0,

donne

z — xF{C)=C-,

et la seconde

mise

l’intégrale finale devient ainsi

C'= f{C), c’est-à-dire,

F cl f étant deux fonctions arbitraires.

Il est à remarquer que cette marehc ne conduit à l’intégrale que dans un petit nombre de cas, parce que l’intégration des équations dilTércnticlles totales simultanées auxquelles on est conduit, n’est possible que lorsqu'elles sont des différentielles exactes de fonctions en (x, y, Z, p, (/), ce qui n’a lieu que pour certaines valeurs de R, S, T, IJ, ainsi qu’on l’a vu au N” 210.

22j. Intégration des équations linéaires aux dérivées partielles, d coefficients constants. — Lorsque l’équation est linéaire par rapport aux dérivées de tous les ordres et par rapport à lu variable dépendante et que tous les coefllcients, y compris le terme final, sont constants, l’intégrale peut s'obtenir d’une manière générale. Ces équations sont de la forme

d'z d"z d"z d^z dz , dz

- — ho-; — t7- m i-r -Ï-T-+-S-7--4-S -j- -i-1z-4-m=0,

f/x" dx’~Uly dx" *dy^ dy* dx dy

a, a', a" r, r', r", s, s', /, u étant des constantes. On peut faire dis-

paraître le terme final u, en remplaçant z par z — -t ce qui transforme l'équation dans la suivante :

d"z d'z , d"z d-z dz dz

~î~~ ® ~j n — ^ “ J — •~T~ï * , ■+" s — — h s — — H tz = 0.

dx" dx'^'dy dx’'' -dy* dy* dx dy

Pour intégrer cette dernière, observons que

satisfait à l’équation proposée, quel que soit m, pourvu que m' vérifie l’équation

m" -+- -v- m'* -i- sin -+- s’m' -+- t =0,

CALCUL IMËGDAL.

qui résulte de la substitution de & : dans l’équation proposée.

En tirant de ccllc-ei la valeur de ni' en m et posant m' = ■|oii, on aura jiour intégrale jiurlieulièrc ,

et si -!/m, y'm représentent les différentes valeurs de ni' nu les différentes racines, les équations

seront des intégrales particulières distinctes. Or, en suivant une marelle analogue à celle que nous avons employée pour l’intégratioii lies équations différentielles linéaires (N° l'-H), on prouvera sans peine

que si A,A\A", B, If, B", sont des constantes arbitraires

et ni, m', m", des valeurs quelconques attribuées à m, la valeur

suivante de z

satisfait également à l'équation aux dérivées partielles; de sorte que l'intégrale générale pourra se mettre sous la forme

Z = h- etc.

le signe sommatoire £ indiquant la somme de toutes les valeurs que peuvent prenilre ces termes quand on attribue à ^ et m, B et m, etc., toutes les valeurs possibles.

Si l’équation en m et ni' trouvée plus haut, donnait pour m des valeurs égales, si par exemple, les fonctions •!/ et •!/ étaient identiques, l’intégrale précédente n’aurait plus toute la généralité possible. En suivant une marche semblable à celle du N° 19G, on démontre que dans ce cas z = i/e"'+!cj<“ est aussi une intégrale particulière qu’il faudra joindre à la valeur de z trouvée plus haut, pour avoir l’intégrale générale.

Celte intégrale prend une forme très simple, lorsque l’équation aux dérivées partielles ne contient que les dérivées d’un même ordre n. ■tlors l’équation en m et m' se réduit à

ni" -1- am"~' m' 1- w'"~' a’"’m'" = 0

482 ciiAPiTne xvi.

que l’on peut mcltrc sous la forme suivante en divisant par mi”.

Cette équation étant résolue par rapport à — donnera pour cette fraction, des valeurs que nous désignerons par r, r', \ on aura donc

m' — riH , Ml' = r'm , mi' = r"ni etc.

et l’intégrale générale deviendra

z= c"''"*'’'"» -4- -f- ïCc"'+''’ ■+■ etc.

que l’on peut écrire ainsi

ï = -4- -4- ïC(e*+'''»)"* etc.

Or représente la somme de toutes les puissances de la fonc-

tion c'*'-' multipliées respeelivement par des coeOicieiits eonstanis arbitraires A cl l’on a vu (N° 4ô) que toute fonction de x -h rij peut sc développer suivant les puissances croissantes de ou de toute autre fonction de a: -4- ry; d’où il suit que ïy4(e'+'!')" représente une fonction arbitraire y de x -t- ri/ , comme représente une fonc-

tion arbitraire y' de x -t- r'y etc. L’intégrale peut donc être mise sous la forme

Z = y(x -4- rÿ) -4- y'(x -4- r'ij) -4- y"(x -4- r"y) -4- etc.

Par exemple pour l’équation aux dérivées partielles

d*z ,i'z il y* " dx*’

on trouve

m' = am , m' = — am

cl l’intégrale devient

z = y(x -4- ay) -4- y'(x — oy).

22C. Intéijration par les séries. Intégration des équations linéaire.^ à coefficients variables. — S’il n’y a pas de méthode générale pour trouver l’intégrale complète des équations aux dérivées partielles,

CAI.CCI. INTÉfiBAL.

exprimée i)ar un nuinlirc limité de termes, il n’en est |)liis de même de leur intégration au moyen des séries infinies. La niarehc suivie au N” 216 pour démontrer l'existence de eette intégrale, indique suHisaminent ce qu’il faut faire pour trouver dans tous les cas cette série, ou du moins pour la faire dépendre de l’intégration d’équations différentielles totales simultanées. La méthode des coefficients indéterminés fournit un autre procédé ordinairement plus cxjiéditif. Soit à intégrer

'Ih—

ilx^ ^ dy

Supposons l’intégrale, quelle qu’elle soit, dcvelo])pée suivant les puissances ascendantes et entières de x et mise par conséquent sous 1a forme

; = Y a- Y'x -a r'x* Y"'x> etc.

y, y'....’, ne pourront être que des fonctions de y que l’on déterminera eu substituant à z la valeur précédente dans l’équation dérivée donnée et en égalant ensuite les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres. On est conduit ainsi aux équations

a (lY 1 .2 dy

U dY' 2.3 dy

y/of

JL