dy
On voit par là que les deux premiers coefficients 1' et Y' restent indéterminés et que les autres sont exprimés en fonction de 1' et y' et de scs dérivées. L’intégrale a donc la forme suivante :
. nj- , UJ. ,, u-j, ,, ii-j ,,,
rj .J 1.2.3 ' 1.2.0.4 1.2..V.4.5
en remplaçant )' et 1” par ^y et !fy cl en désignant par ’V etc., les dérivées de ces fonctions.
Ce procédé peut s’appliquer à toute équation aux dérivées partielles, quelle que soit sa forme; mais il est particulièrement commode pour l'intégration des équations linéaires, que les coefficients soient constants comme dans l’exemple précédent ou qu’ils soient variables. Ainsi pour l’équation
dxdy ^ dy*
ciiAi'iliii: XVI.
011 poser» encore
z=:Y^ Y's ■+■ Y"x* -4- r"x’ -H de.
e( l'on sera conduit aux équations de condition
<iy
dY'"
~dy*'
lY»"
<nY"
,.dY""'
<iy
etc.
d'où l'on tire
Y'"" = de. ; l'intégrale est donc de la forme
^ = yy + Ç?'*/ H- fy -H ,"’y ^ de.
Cx -1- C'x'^ -t- L'-'x^ C"'x* -+- etc.,
ou plutôt
■ix — ? 1/ -t- 9 V — TT.
etc.
il»n.s laquelle ^ et -ji sont deux fonctions arbitraires runc en y et l’autre en z.
CIIAIMTUE XVII.
Dcli-rmiiialion ilc ()ui>I(|ups intégrales définies. Procédé fondé sur la dérivation sous le signe. — Procédé fondé sur riiilégriition sous le signe. — Procédé fondé sur rintégration par l>arlies. — Procédé fondé sur le développement en série. — Procédé fonilé sur remploi des intégrales douldes. — Procédé fondé sur l'intégration indéfinie d’une certaine dilfércnticlle. — Procédé fondé sur l’intégration rl’une éipiation aux dérivées partielles. — Procédé fondé sur le passage du réel à l’imaginaire. — Formule de Oiucliy. — .\ntrc foruiide de Caucliy. — Intégrales définies diseonlinues. — Intégrale culérienne de seconde esjiècc. — Intégrale culérienne de première es|ièce. — F.xpressions des functions par des intégrales définies doubles. — Application de la formule de Foncier ù la recherche de i|uch|ues inlegrales.
227. Détermination de quelques intéijrales définies. Procédé fondé sur la dérivation sous le signe. — On a vti (N" 141) que l’ititégralc definie d’ttne difTërcnlielle donnée sc déduit en général de son intégrale indérinie; mais on peut aussi dans eerlains cas, à la vérité jtcu nombreux, trouver l'intégrale définie de certaines dilTércntieilcs, quoique l’intégrale indéfinie ne suit pus connue ou du moins, sans faire usage de cette intégrale.
Le premier procédé est Idiidé sur la dérivation sous le signe, et consiste à dériver une intégrale définie connue par rapport à une eotisfante littérale contenue dans la dilTéreuticllc. Supposons que l'uti ait
• ni
ciiAi'iTni; wii.
«I el II étant deux limites invariables et indépendantes de la cmistanle a cumprise dans la différentielle f{x,a.)dx et dans l’intégrale définie eonnuc Fa. Comme a est quelconque, on peut le remplacer par % -t- i et écrire
I f{x, a + i) (Ix = F{a -H i).
Jm
l'ài retranchant membre à membre la précédente et divisant pur i , il vient
r" /~(x, a -*-{) — f[x, g) ^ F(a t) — Fa
et si l’on fait converger i vers zéro comme à la fin du N° 207, un trouve enfin
En comparant celle-ci à l’équation primitive, on voit que pour dériver une inléijrale définie d limites constantes, par rapport à a, il suffit, comme pour les intégrales indéfinies (N" 207), de dériver sous le signe d'intégration.
En dérivant de nouveau les deux membres par rapport à a, on a aussi
C'ÏI
dx
et si les fonctions F cl f renferment deux constantes littérales iiulépciidantes a et on voit sans peine que l’on peut poser
dadp d'/(/3 ’■■■■
Si m et n étaient fonctions de a, la dérivée s’obtiendrait de cette manière : F[x, a) étant l’intégrale indéfinie de f{x, a)dx, l’intégrale dé-
Unie l f{x,a)dx sera donnée par F(/i, a) — F{m,a.) et sa dérivée Jm
par rapport à a sera
dF(n,a) dF{n,a)dn dFlin,^] dF{m,a)dm da fin da da dm da
CAI.CÜI. I.NTÉGRAL.
(//■’(«, a) dF{m,o) d[F{n, a)— F{m, a)] , , .
Ur, J — — ou J n est autre chose
que In tltTivéc 'le l'intégrale définie F(x, a) , prise en considérant
\ -r-dxy tandis que ;
' ni
m cl n cniiinic constants, c’est-à-dire,
dF{ni, a) , , , dF(x, a) , . , , .
— — sont les valeurs de j -, quand or est égale u n
ou à m, c’est-à-dire, f(n, a) et f{tn, *); on trouve donc pour lu déri-
véc de l f(x, a) dx par rapport à a ,
Jm
, , ,, dn dm ,
dans laquelle — et — sont connus, puisqu on connaît m et n.
U a di
Prenons pour exemple l'intégrale dérinic connue, a étant positif.
^dx = — ■ a
Si l’on dérive les deux membres par rapport à a, on est conduit à cette nouvelle intégrale définie
et en dérivant u fois de suite, on trouve
dans laquelle a est quelconque, mais positif, et n un nombre entier et positif.
En dérivant de même les intégrales connues
ciiAPirnE XVII.
on est conduit à ces intégrales défînics plus gcnéraics,
* dx 1.5.îj...(2n — 1) TT f* 1 I , 1.2.5. ...n
dans lesquelles n est ncccssaircincnl un nombre entier. On prendra le signe supérieur ou le signe inférieur selon que n est pair ou impair. Pour m = ü, il vient
l log'xdx = db 1.2.5 n.
Considérons encore l’intégrale définie suivante facile à trouver.
dx,
Si l’on dérive les deux membres par rapport à o en remarquant que les limites sont des fonctions de cette quantité, on trouve
d’où l’on tire la valeur de cette nouvelle intégrale définie.
’dx~
En dérivant de nouveau par rapport à a, il viendrait
CALCm. INTÉGRAL.
228. Procédé fondé sur l'intégration sous le signe. — Si au lieu de dériver les deux membres de l’équation pur rapport à une des eonstantes, on multiplie les deux membres par la dilTércntielle de eelle-ci et qu’on intègre ensuite, ce qui revient à prendre de part et d’autre une somme de quantités égales, on obtiendra de nouvelles intégrales définies; ainsi, en multipliant par da, on trouve
da l e~“dx, c’est-à-dire,
Jo
dxe' “‘da ‘
da
et en intégrant par rapport à a entre les limites b et c, il vient r» ^1..
— — dx = log^.
En multipliant les deux membres de l’équation r»
dx
par 2a da et intégrant depuis a — b jusqu'à a — c, on trouve de même
( TT (6 — c).
Ce procédé n’est admissible que lorsque la diiTércnticIle reste finie et eontinue pour des valeurs de a comprises entre les limites de l’intégration.
229. Procédé fondé sur l’intégration par parties. — Quelquefois une intégration par parties conduit à des relations entre certaines intégrales définies, au moyeu desquelles celles-ci peuvent être déter-
Jw
er“‘ sin bxdx
et l e"“*cos bxdx que nous représenterons par m et n. En intégrant •^0
par parties, il vient
. , / cos 6x\ C cos bx
f e~“‘ sin bxdx — — / e' ^ — J — \ • — ^ — ae~“‘dx
. . / sin bx\ fsin hc ,
/ e~“ cos bxdx = f e^“‘ — — j t- ^ “‘dx.
CilArlTRE XVII.
Si l'on prend ces inlégralcs entre les limites O et ao , en remarquant cos 6x sin bx
et e~
-se réduisent respectivement
que pour 1 = 0, e“ “'-
à ^et 0, et que pour x = so , clics se réduisent toutes deux à zéro,
pourvu que a soit positif et ne soit pas nul, on trouve en remettant pour ces intégrales leur valeur m et n,
d’où l’on tire
c’est-à-dire que l’on a pour toute valeur positive de a et tant que a n’est pas nul ,
e~“* sin bx dx
230. Procédé fondé sur le développemetit en série. — Le développement des fonctions en série conduit quelquefois aux valeurs de certaines intégrales définies. Soit la série supposée convergente
/x = a -1- 6x -+- ex’ i/x’ -H etc.
Remplaçons x par pe^^ * ou p (cos : -i- 1/— 1 sin i); il vient
f[pe ) = U -1- bpe -♦- cp^e -4- etc.
dont le second membre est encore convergent, pourvu que p soit inférieur à la plus grande valeur qu’il est permis de donner à x , ou pourvu que
a + bp + cp* -1- dp^ -I- etc.
soit convergent, parce que en remplaçant les quantités exponentielles par leur valeur trigonométrique, le second membre prend la forme
O 6p cos Z -+- c/i* cos 2z ■+■ dp^ cos ôz -+- etc.
H- |/ — i [bp sin Z -t- ep’ sin 2z -H dp* sin 3z -4- etc.)
cos bx dx ■■
CALCUL I.MëcnAL.
4'Jl
et que ces deux séries sont convergentes lorsque a -t- bp ■*- cp* -H dp^ ■+■ etc., SC trouve dans ce cas, d’après ce qu’on a vu au N“ 56.
Si l’on multiplie les deux membres par e * dz, i étant un
nombre entier et positif quelconque, et qu’on intègre entre les limites Oct 'iiz, tous les termes du second membre disparailronl, puisque l’on a, quelle que soit la valeur de n.
Un seul terme du second membre fera exception; c’est celui où l’exposant de X est égal à t et qui a pour coeflSeient L’intégrale de ce terme est
\dxOo 1-2-5 «■
Il vient donc
Si le nombre « était négatif, il est visible que tous les termes du second membre sans exception seraient nuis.
Prenons pour exemple la fonction — (® —
développable en série convergente, pourvu que x soit plus petit que a. On trouve
pourvu que p soit inférieur à a.
Comme |/ — I a deux valeurs, on peut remplacer I par
— 1 et il vient encore
J a-pe
