CHAPITRE XVII
En additionnant et retranchant successivement ces deux intégrales,
sl/ZTf , ^
après avoir remplacé e par sa valeur trigonometrique, on trouve CCS deux nouvelles intégrales définies dans lesquelles » est un nombre entier et positif,
a cos tz — P cos (f -I- 1 ) Z a* — 2(ip cos Z P*
sin iz — p sin {« -h 1 ) z U* — 2ap cos z-k-p*
dz
Pour 1 = 0, la première devient
a — 1) eos Z ,
— dz =3 — •
a* — Sapcosz^-;)* a
En multipliant les deux membres par 2da, puis intégrant depuis a = a jusqu’à a = 00 , on est conduit a l’intégrale définie suivante
l log (a* — 2ap cos z -4- p’) dz = 4:r log a.
231. Procédé fondé »ur l'emploi des intégrales doubles. — L'emploi des intégrales doubles conduit à une intégrale définie remarquable.
lieprésentons par À l’intégrale définie l e~“' dx, et par y une autre
v.ariahle indépendante de x. Si l’on remplace x par ay, u étant une quantité quelconque positive, et dx par ady, et qu’on intègre
c ady par rapport a y, l’intégrale 1 ady sera aussi égale
à .1, parce que, quelle que soit la valeur de a, ay passe par toutes les valeurs comprises entre 0 et l’infini, quand y varie depuis zéro jusqu’à rinlini; on a donc, en multipliant les deux intégrales et remplaçant a parx,
^ C »*dx. ^ c xdy = A- ,
CALCUL I.MTLCItAL.
qu'on peut écrire de In manière suivante, comme on l'a fait pour les intégrales doubles, attendu que les variables x et t/ sont indépendantes,
et par conséquent,
La racine positive de n- peut seule convenir, i»arcc que e~’*ilx reste positif pour toute valeur de x et que par conséquent l’intégrale est nécessairement positive.
On trouve ainsi
252. Procédé fondé sur l’intégration indéfinie d'une certaine différentielle. — On peut dans certains cas faire dépendre la rccberche d'une intégrale définie, de l'intégration indéfinie d'une certaine diiïércntiellc. Soit, par exemple,
cos hxdx.
A est une fonction de 6; et en dérivant les deux membres par rap' port à b, il vient.
dA
ilb
sin bx.xdx ;
i!)4 cilvPiTliE XVII.
or, si i’oii intègre par parties, on trouve
/■sin 6xe'“** xdx= — sin bx h \ cos bxbdx
et en prenant celte intégrale indéOnic entre les limites Ocl oe , on aura, en rcniarqiiant que le terme hors du signe est nul à ces deux limites, pourvu que a ne soit pas nul ,
*sin6xjt/x =
On a donc
COstxWx=s . ,
I * cos bxdx.
db 2o*
Celte équation diCTérenlielIc intégrée, donne
log = 1- log C, ou i4 = Ce **’ .
La constante C qui est indépendante de 6, sc détermine en remarquant que, lorsqu’un fait 6 0 dans l’équation
/•ao ^ ^
= V e^**’ cos bxdx,
on trouve, d’après ce qu’on a vu (N” 231),
( e-’-*dx = l( e-«‘-’Xü(/x = -(
Jq “'O “-^0
d'où il suit qu’en faisanl 6 = 0 dans l’équation
on doit avoir
(.ALCl’L INTi^Gil.kL.
On est donc conduit h cette intégrale definie
•ce
I er~“ ‘ cos bxdx
iî>5
Si cette intégrale devait être prise entre les limites oo et — oc , il sufllrait de doubler la valeur trouvée plus haut; car e~“*'*cos6x ne changeant pas quand on remplace x par — x, il est visible que la difTérentiellc passe par des valeurs identiquement les memes lorsque X varie entre O et oo et lorsque x varie entre O et — oc .
Pour ce qui est de la différentielle e~“’*’sin bxdx, si l’inlégralc devait être prise cuire les limites -i- » et — x , on reconnaît sans calcul que l’intégrale dériiiic est nulle; car en remplaçant x par — x, la différentielle change de signe en passant par les mêmes valeurs; d’où il résulte que la somme de ces valeurs entre O et x est la même que la somme entre O et — x , mais de signe différent et par conséquent la somme totale entre -t- x cl — x est nulle. Celle remarque peut servir dans un assez grand nombre de cas à reconnaître la valeur d’une intégrale déPinic.
Les intégrales
e*“*'''*sin* 6x(/x, l e~“ '’cos’ùxdx O Ml
que nous désignerons par u et v, s’obtiennent en remarquant qu’en les additionnant et les retranchant sueccssivemcnl, il vient
'ibxdx.
e^“’**dx, t> — M = l e~*''’cos2
Or on sait qu’on a
( e""’*” (/x 5 ( e~“’**cos 2ùx[/x=^^c
Jo 2a 2a
il vient donc
et par conséquent
CIIAPIIHE XVII.
233. Procédé fondé sur l'intégration d’une équation aux dérivées partielles. — Quelquefois la détermination d’une intégrale définie peut être ramenée à l’intégration d’une équation aux dérivées partielles; soit en effet
sin bxdx.
On tire de là, si m et n sont indépendants de 6 et de a,
fil ^ ^
I e’'”*-'* sin 6xo:*dx,
hn
du
dû
sin bxx^dx,
d’où l’on déduit sans peine
, d’« du ^“dtî~dû
que l’on peut écrire ainsi :
d*u du db* lada '
ou bien, en remplaçant a’ par c,
du
Te'
dont l’intégrale fera connaître «, e’est-à-dire , l’intégrale définie cherchée. Elle a été traitée au N" 22G où l’on a trouvé
Il = yo* -4- b i<a* -4- — ij/'a*
La forme de la fonction arbitraire y sc détermine par la remarque que
CAIXÏL mTÉtBAL.
pour />= 0, l'inlégralc est nulle, et p.ir conséquent la fonction <f est nulle, ainsi que ses dérivées </, Quant à la fonction ■{/, on reniar-
quera que comme pour 6 = 0, — = l «-« * cosbx.xdx devient
Jm
on doit avoir
et par conséquent
o*/i* -I- 1 ,» a*Mi‘ + 1 , .
la dérivée étant prise par rapport à c = a’.
234. Procédé fondé sur le passage du réel à l'imaginaire. — Le passage des quantités réelles aux quantités imaginaires, au moyen de la formule symbolique d'Euler, peut souvent être employé utilement pour ramener certaines intégrales définies à d’autres déjà connues; par exemple, jwur intégrer
l e~‘'e°’dx,
J — ao
on remplacera e" par cos {o|/ — l)x — |/— 1 sin (a j/ — l)x, cl l’on aura à chercher les intégrales
$00 /«oo
c“*’cos (o (/ — i)xdx — ÿ' — il e“'’sin (a |/ — ijidi.
Or, en remplaçant h par a (/— î , on a trouvé (N“ 232)
e'*’cos(ai/ — i)x(/x = j/rc* , l f-'’sin(aj/ — i)x<Yx=0;
oo .J— o:
Ctl\l>ITIlE XVII.
on a donc
e”* Jx = ^jrc
Il est à remarquer que ce moyen ne peut être employé qu’avec circonspcclion, parce qu’il est souvent en defaut, ce qui arrive toutes les fois que la transformation a pour elTct d’altérer la conlinuilc de la fonction.
255. Formule de Cauchy. — On trouve encore un grand nombre d’intégrales définies au moyen de la formule suivante due à Cauchy :
laquelle représente toute fonction fa au moyen d’une intégrale définie d’une forme déterminée. On la démontre facilement en développant
. . ^ ±yl/ITÏ .
en série f{a-r- re ), ce qui donne
fa + re fa-^ — /^'o + ctc.,
série dont la convergence est assurée si r est tel que f[a-hr) est développable en série convergente, car on peut mettre celle-ci sous la forme
[S + r/ a cos y h — -- cos 2y + etc.
^ /- -, / „ . rY"« . , \
± f/ — 1 ( r/'a sin y -t- sm 2ÿ etc. j
qui se compose de deux séries convergentes (N- 230) si le développement de /"(a -V- r), c’est-à-dire,
fa -H rfa ■+■
est lui-même convergent. Ceci posé, on a identiquement
r, =ty^/zri ±y|/~i r*r'o ±2yl/^
f{a-^re '' ) = fn + rfue '*■ -t- etc.
CALCUL I.XTLCnAL.
4!lli
et si l’on multiplie \>arily cl qu'un intègre les deux membres par rapport à y entre les limites 0 cl en observant, comme au N“ 23ü, que
est nul pour toute valeur entière de n dej)uis n = I , on est conduit à l’équation suivante
î f[a ■+■ re *) dy = 2-fa
qui est la formule indiquée. Kllc serait encore vraie si r était imaginaire et de la forme a ,6 j/ — I , pourvu que le module [/ od -¥■ fût inférieur à la limite que nous avons assignée plus haut à la valeur de r. Si l’on suppose fa => log a, il vient
( log(o ’) (/y = 2r log o.
On déduit de là
r log (a re^^~*)dy -s- r log(a-t-re ')rfy ou
log
(o -I- re
) (u re
-yV-K
(/y == 4- log U
et en effectuant la multiplication , on est conduit à l’iiilégralc définie trouvée déjà plus haut.
l log (a’ + 2(ir coS y r*) dij = 4jr log a ,
pourvu que log (a -f- r) soit développable en série eonvergente, c’est-àdire, pourvu que r soit plus petit que a (N' 36).
236. Autre formule de Cauchy. — Cauchy a encore démontré une seconde formule qui conduit à la plupart des intégrales définies connues. Supposons que l’on ail
,/' f'dz = yz C ;
CIIAPITKK XVII.
ÜOO
on aura encore, eu remplaçant s par x -h y j/ — 1 ,
//•(x-i-y/^l)J(x-t-yi/^) = ?(x-t-y|/— l)-4- C.
Si l’on suppose x variable et y constant, le premier membre se réduit à f f[x -V- y ^/— l)dx, et dans le second membre C sera une fonction de y , tandis qu’en sujiposant x constant et y variable, le premier membre devient j/ — 1 — l)dyct dans le second,
C sera une fonction y de x. En égalant les deux valeurs de l’intégrale 7 prises entre des limites quelconques, il vient donc
V'— * + y |/— =/A* V — 'rj-
Pour prendre l’intégrale définie par rapport à y , entre les limites 0 et ao , il faut dans la valeur de l'intégrale indéOnic faire successivement y égal à chacune de ces valeurs extrêmes et prendre la différence des deux résultats; il vient ainsi
|/^ ( /■(x-v-yj/— l)(/y=/[/'(x-v-x|/^j— /•x]«/x — {-X
Supposons la fonction / (x + y — 1) telle qu’elle s’évanouisse pour y = ao , l’équation précédente devient alors
ffxdx = — |/— 1 { f[x-^ y |/— 1) dy — •;-» '-fi-
Prenons maintenant l’intégrale du premier membre se rapportant à x, entre deux limites A' et — A'. On trouvera de même, pourvu qu’entre
ces limites f[x -v- y j/ — 1) reste fini et continu ,
\ fxdx = ■ •'—A'
= - p"- 1 Jo j y 1 ) - A— 1 ) j •
Soit L la limite vers laquelle converge x.fx ou — xf{ — x) quand x converge vers l’infini. L sera aussi la limite de (x-t-yj/ — — 1)>
puisqu’on peut l’écrire ainsi x (1 — l)/"|x(l-v-'^j/ — l)|>
CtLClM. INTt&llAI..
fonction qui, à la limite, devient xfx = oc f » . Les fonctions — I) cl — A'-hi/j/ — I) convergeront donc vers
— et , quand A' convergera vers l’infiui et
l'équation prcccdcnlc convergera vers la suivante
c’est-à-dirc,
2A'dy
^ fxdx= — '2f- 1/-
I arc tang — =
