SL

et en passant à la limite, on aura rigoureusement

|■-+- oo __

i fxdx = — -L |/ — 1 .

Prenons pour exemple, la fonction ^ -fTx^ " ^ remplaçant

X par X -t- t/ j/ — 1 , on reconnaît 1°, qu’elle est nulle pour y = <x> ; 2", que le produit xfx ou — xf( — x) est nul jiour x= x , et 3“, que la fonction reste finie et continue pour toute valeur de i comprise entre -t- X et — X , et pour toute valeur de y comprise entre O ctx ; car si pour x = 0 et y = 1 le dénominateur est égal à zéro, il en est de même du numérateur. Il est visible que L est ici nul et l’on a

dx — 0,

d’où l’on tire

1** cos «X -t- j/ — 1 siti ux

f* dx

dx — e“ ’ \ = «

CHAPITnE XVII.

et en séparant la partie réelle de la partie imaginaire, on trouve

cos axilx

sin aidx ^ d X*

^37. Intégrales définies discontinues. — En multipliant par db les deux meinlires des intégrales de la lin du N“ 1229 et intégrant entre les limites 6 = 0 et b = b, on trouve

; bx

dx ■■

S* c' “'di

log

^ e~°‘ sin bx , b

dx == are tang — •

Ces équations étant vraies quelque petite que soit la valeur de a, cl les différentielles restant finies cl continues lorsque a s’évanouit, on ])eul faire converger celle lettre vers zéro et à la limite on est conduit aux intégrales suivantes

sin bx , b , TT

-dx — arc tang- = ± -•

Dans celte seconde intégrale, le signe ■+■ doit être employé quand b est jiosilif cl le signe — quand b est négatif. Si b était nul, aucune de ces deux valeurs ne conviendrait, car si l’on fait à la fois a cl b

nuis, arc tang -se présente sous forme indéterminée. Il est visible

(') Il e.st ù remnrqiior <|uc iIriis les inlrgralos de 1» fin du N*:* on ne potirniit pas faire o = 0 parce (pic les valeurs cos bselx ei sin brdr aux(]uelle> se réduisent les deux difTéreiilielles. ctoiil indélerininé«*s pour j* = x , les sommes des valeurs d(!s dinférentielles ou les iiitd'grnies doivent IVlre également. Otte impossibilité

irexislc plus dans les deux nmi\ elles intégrales, ntteiidu <pic

vcK fi.r sin6x

et sont

nuis pour j =: x ,

CALCUL I.NTltCllAL.

• sili hx

(lu reste que pour b égal à zéro, l’intégrale \ dx devient

O.ilx ,

t c csl-a-dirc qii elle est nulle. Cette intégrale présente donc

Jq X

cette circonstance rcniarquablc que, si l’on fait varier b depuis — ao jusqu’à -t- » , sa valeur sera — ^ tant que b sera négatif, pour devenir brusquement zéro quand b sera nul et passer brusquement à la

TT

voleur — quand b prendra une valeur positive quelconque. Cette intégrale est dite pour ce motif, discontinue.

La nicrac intégrale conduit à la valeur de

f* cos ax sin bx

* cos ax sin bx 1 f* sin (b -t- a) x 1 sin (b — «)x

1 r* sm

et le second membre devient - -t- -- ou -- — -- = 0, ou

enfin que /> — a est positif, négatif ou nul. L’intégrale

cherchée est donc - > j ou 0, selon que b est plus grand, égal ou plus

petit que a. Cette intégrale est discontinue comme la précédente.

2Ô8. Intégrale eulérienne de seconde espèce. — Occupons-nous

encore de T

'intégrale l e~‘ x^~' dx, que l’on peut mettre sous l’une

des formes

en remplaçant X parlog-> par et parp/ÿ, et dans laquelle nous supposerons positif, mais quelconque. Comme cette intégrale est une

CIIAfITnC XVII.

fonction de p, nous la désignerons par r (p). En intégrant par jiartics entre les limites indiquées, on trouve

tandis que pour p négatif, le mémo procédé aurait conduit ii une valeur infinie. Comme l’intégrale du second membre est semblable à la première en remplaeanlp par /)-h 1, on pourra représenter celle-ci par r (p -t- 1)' et l’équation précédente apprend que l’on a

ou en changeant P en p — 1,

Cette relation subsiste pour toute valeur de p; ou peut donc poser

cl par conséquent eu substituant,

Si n est le plus grand nombre entier eontenu dans p, et t le reste, T {p — n) répondra à un exposant de x fractionnaire et négatif s — 1 dans e~'xi‘~'dT, cl la valeur de r(p) prendra la forme

qui fait dépendre la valeur de l’intégrale définie cherchée, d’une, intégrale toute semblable le, mais dans laquelle p est compris entre zéro et l’unité. Celle dernière intégrale doit se calculer par les méthodes d’approximation , pour toute valeur fractionnaire de e et les résultats consignés dans des tables servent à détcrniiiicr r (p)

pour une valeur quelconque de p. Si g est égal à l’intégrale r représente 2\ (/y=j/r. Pour e=1, clic prend la forme

f g-xj-;.-l ,/j. i f

CAi.Cdl, I^TMinAI,.

r(l) = 2 l e tjdy—i ; on voit <lonc que, pour toute valeur entière •'()

et positive de p, on a

f e *xe“'</a: = i.2.ô (p — t),

ce qui s’accorde avec ce qu’on a vu au N“ 227. L’inlcgralc dont on vient de s’occuper est connue sous le nom d'intégrale eulérienne de seconde espèce ou fonction gamma.

25‘J. Intégrale eulérienne de première espèce. — Considérons encore les intégrales définies suivantes connues sous le nom d' intégrales Eulériennes de première espèce.

dont la première rentre dans la seconde en changeant x en j--

Il résulte de ce qu’on a vu au numéro précédent, que l’on a, p cl g étant positifs,

i-x rx

< dx , r ((/) = 2 l e-^^y*i~' dy.

Si dans la seconde, on change, eomme au N” 251 , y en xy, on aura aussi pour toute valeur positive de x,

Sx

et par conséquent, en multipliant les deux intégrales et remplaçant leur produit par une intégrale définie double, ce qui est permis parce que les variables x et y sont indépendantes,

r(p)r(y) = 4\ l e'‘‘’'''*»’’x*'’+’’~'y*»~Mxrfy

f * fX

CUArilHE XVII.

Or, si dans la valeur de on rcinplace j> par p q, et 3C |Mir on a, quelle que soit la valeur de y,

r(p-4-(/)=2l (1 +y*)p+uh,

ou bien

r(p -t- q)t= 2(1 4- y^Y^’’ i tr‘

ce qui fait prendre à l’inUSgralc double la forme suivante :

On tire de là

f” .V«r-,/y lr(p)r(r/)

ou, en remplaçant ÿ* par x,

xi->dx T(p)T{q)

Si l’on remplace x par » les limites O et oo de eeltc dernière

intégrale se changent en 1 cl zéro, et cette équation devient

La valeur de Xp a été donnée au numéro précédent.

En supposant q compris entre O cl 1 , et posant p = 1 — </, on trouve, à cause de r 1 = 1 (N“ 238),

CALCUL I^TLGIUL.

Mais on a vu au N'' 144 que Ton n

J,, x-i-l sili

il vient donc

IV/ r(l — 7) = -^-^ — ,

' ' ' sin qT7

pourvu que q soit une fraction proprement dite.

Cette formule permet de calculer I'(l — q) quand on connaît Tq, et

par consu(|uent donne rp pour des valeurs comprises entre - et 1 ,

quand on la connaît pour des valeurs comprises entre O et--

240. Expression des fonctions par des intégrales définies doubles.— Il existe une formule très générale et fort remarquable due à Fouricr, servant à représenter par une intégrale définie double une fonction arbitraire donnée continue ou discontinue d’une seule variable. Quoique ce soit dans la physique mathématique et dans la mécanique analytique que cette formule trouve ses principales applications, cependant nous la démontrerons ici , parce que l’on verra plus loin le secours qu’un peut en tirer pour 1a recherche des intégrales définies et pour l’Intégration des équations linéaires aux dérivées partielles.

J f* sin bx

Si dans l — ^ — dx, dont on s’est occupe au N” 2ô7, on remplace x

par p, et b par x — a, elle devient

Jo P