TT TT

intégrale qui, d’après ce qu’on a vu, est égale à - > zéro, — - suivant

que b = x — «est positif, nul ou négatif, ou suivant que i est plus grand que a, égal à a ou inférieur à a. 11 suit d’abord de I& qu’en désignant par g la valeur de l’intégrale , qu’il faut considérer comme une fonction de la lettre x, le lieu géométrique donné par l’équation

sinufx — a) ,

-, dp,

CilAI'ITIIt KS II.

de la forme y =<^x, se compose d’une ligne droite parallèle à l’axe

desXetdistantc d’une quantité - , aussi longtemps quexrestc supérieur

à t. Pour x=a, le lieu géométrique devient un point situé dans l'axe des X, et x continuant à décroître, le lieu devient une seeondc droite

parallèle à l’axe des X et distante de — On voit aussi qu’en posant

f* sin;)(x — a) r* sinp(x — «é) f* sin«(x —

les constantes «, a! en nombre w étant supposées rangées

dans leur ordre de grandeur croissante , celte équation représente

une parallèle à l’axe des X distante de n^pour toute valeur de x supérieure à Pour x = a'""", on trouve y=(» — puis

si X continue à décroître et reste compris entre et la

dernière intégrale devient — ^ et l’on trouve »/=(»»— 2)^, c’est-à-dire que dans cet intervalle des valeurs de x, le lieu géométrique est encore une droite parallèle à X et distante de (n — 2) - et ainsi de

suite. Le lieu géométrique représenté par l’équation est donc une suite de points et de droites parallèles à l’axe des .X.

Multiplions par^ada les deux membres de l’équation

qui suppose a inférieur à x, c’est-à-dire posons

%da —

sin P (x — a)

’ipda.

Comme cette équation subsiste pour toute valeur de « inférieure à x, l’égalité subsistera pour la somme de toutes ces valeurs, c’csl-à-dirc jiour les intégrales prises depuis a = ni jusqu’à a=x, pourvu que m

CALCUL INrÉCIItL.

.’iO'J

soit inférieur ù x; en (iésigiiant donc l’intégrale de yculx par y, a, il viendra, pourvu que ya ne devienne pas infini,

sin i> (x — «)

ya

dp.

Pour des valeurs de a supérieures à x, on sait qu’on a

TT Ç sin

sin;i(x — a)

et en multipliant encore par yxdx et intégrant depuis ri = x jusqu'à a = n> X, limites entre lesquelles i — a reste négatif, il vient, si y» reste fini.

sin/j(x — a)

dp.

Si l’on additionne ces deux intégrales, en observant que pour x z, l’intégrale est nulle, et que, comme x est compris entre »i et n, on doit avoir

on est conduit à nette égalité

— -(y,n-+-y,m) = -\ da\ yx — —dp,

^ Jq '

pourvu que yx reste fini depuis x = m jusqu’à x = n, et eu dérivant les deux membres par rapport à x, on trouve enfin

yx = -l f/xV yxCOSp(x — x)dp....(3)

(|tic l’on peut écrire ainsi

yx = — l t/xl yaCOS/)(.C— x)f/p,

Jm J — X