CHAPITRE XVII
.lUcndu que la diiïercnticllc restant la même quand on change le signe dc;>, rintcgralc par rapport à cette lettre entre les limites — ao et -+-oo est double de l’intégrale entre O et x .
Telle est la formule connue sous le nom de formule de Fouricr, servant à représenter une fonction quelconque par une certaine intégrale double.
Il est à remarquer que cette équation n'est pas continue et qu’elle n’est vraie que pour des valeurs de x comprises entre m et n; car si X était inférieur à m, en faisant varier a entre les limites x et m ou X et M, X — a serait coiislamincnt négatif, il faudrait faire usage de l’équation (2) cl il viendrait pour les sommes de ces valeurs,
— - (y,m — y,x) = l (la\ f«.
^ . f** , f'* sinpfx— a)
— \ ?» -dp....(li)
Jx Jq I’
cl comme rintcrvallc de m à n est égal à l’intervalle de x à n diminué de rintcrvallc de x à rn, on a
rll rin ftl
Jx Jx Jni
cl par conséquent
JT, ^ 1 r* sin»(x — a) ,
— s(?/« — ?é'i) = \ 7» dp... .(G)
Jm Jq ^
En dérivant les deux membres par rapport à x, il viendrait enfin
O = l d7L\ an. cos P (x — a) dp
Jm J()
pour des valeurs de x plus petites que tn. On est conduit au même résultat quand x est supérieur à n.
Si X converge vers m, les deux membres de (4) tendent vers zéro et en les rctrancbanl de (G), on est conduit à l’équation suivante
r \ f’* 7 l* sinp(x — a)
— — ?--r) = \ dal dp
Jm ^0
CALCUL l.\7l'cnAL.
d’autant plus exacte tpic * est plus rajjproclié de m. En la dérivant par rapport à x et égalant ensuite x n in, on trouve enfin
ym = - 1 oa l yt cos ’P (m — a) dp.
JO
On trouverait de la même manière que pour x = w , l’intégrale double devient
yn =— 1 d%\ yat cos p (n — a) dp.
Jü
11 suit de là que, si dans l’intégrale double de Fouricr on fait croître x depuis — 00 jusqu’à oc, celle-ci sera nulle jusqu’à x = m, deviendra -ym pour x = m, puis représentera ryx pour des valeurs
croissantes entre x = m et x = n , deviendra
yn pour X = I» et sera
de nouveau nulle pour des valeurs de x supérieures à n. En d’autres termes, si l’on considère x et y comme des coordonnées et qu’on pose l’équation
1 rx>
y = - 1 da\ y« cos P (x — a) dp ^Jm >0
dans laquelle le second membre est une certaine fonction de la variable X, cette équation représente la courbe y = yx entre les limites X — m et X = n ; elle ne représente que l’axe des X hors de ces limites et pour x = m ou x = ri son lieu géométrique est un point
ayant pour coordonnées x = m, y=^y»«, ou x = n, y=iy«.
Eu réunissant plusieurs intégrales doubles de même forme, mais dans lesquelles 1a fonction y soit remplacée par des fonctions F, >j<, etc. et les limites m et n par des limites supérieures m' et n', etc., il est visible que le lieu géométrique de la nouvelle équation sera une suite d’arcs de courbes isolés, limités entre les abscisses x = m et x = n, puis entre x = wi' et x = «', etc., ayant pour équations y = yx, y==Fx, etc. et en outre les portions de l’axe des X non comprises entre ces intervalles et enfin des points isolés correspondant à ces limites. On comprend aussi qu’en disposant convenablement des limi-
ciiApniti; XVII.
les m et n, m' et etc. et en donnant aux fonctions y, F, ■]<, des
formes eonvcnables, on pourra faire en sorte que cette équation représente une figure quelconque continue ou discontinue, composée de points isolés, de lignes droites ou de portions limitées de courbes données. Une des applications les plus curieuses niais assurément la moins utile que l'on ait faite de cette équation discontinue, consiste à lui faire représenter un morceau de musique tout entier avec tous scs signes, tels que mesures, blanches, noires, crocbcs, etc. (Voiries Mémoires de l'Académie royale de Bruxelles, savants étrangers, tome .\V).
Lorsque les deux limites m et n se confondent avec — x et x , comme toute valeur réelle de x est comprise entre ces deux limites, on n identiquement
yX = — I da\ y«eosp(x — a
quelle que soit la valeur de x.
241. Applications de la formule de Fourier <i la recherche de (juelgues intégrales. — Appliquons la formule de Fourier à la reclierclic de l’intégrale de l’équation aux dérivées partielles dont nous nous sommes occupés au 225,
dx*
et à laquelle conduit la théorie des cordes vibrantes. Elle est visiblement satisfaite en posant
pour toute valeur de p et de a. L’intégrale générale est donc (>’» 225)
le signe soinmatoirc s’étendant à toutes les valeurs de A, B, p et a. On peut remplacer .1 et B par yadidp, et \fvdxdp, yx et )«t désignant des fonctions arbitraires de a, et substituer au signe soinmatoirc des signes d’intégration s’étendant à tontes les valeurs de p et de «
CALCCI. liXTb'caAL. ^{5
depuis — 00 jusqu’il + « . L’inlégrale générale prend alors la forme
ees intégrales doubles s’étendant à toutes les valeurs de a et dcp. Si l’on remplace les quantités exponentielles par leur valeur trigononiétrique et qu’on remarque que l’intégrale ne comportant pas de valeur imaginaire, le terme multiplié par ^ — 1 doit être écarté, il vient
2=^ \ COS p[x -i- ay — a)dadp
• — oc J — 00
+ \ l {/a cos P (x — atj — n)d<tdp.
i — ao ' — 00
D’après la formule de Foiirier, ces deux intégrales sont égales à 7ry(i-+-a^) et ir^{x — flÿ) OU simplement y(x-i-oy) et ij/(i — oy), en comprenant le facteur ;r dans les fonctions. L’intégrale générale est donc
z = Ÿ(x-vay)-4->(x— ay).
comme on l’avait déjà vu au N" 225.
242. Extension du théorème de Fourier. — La formule de Fourier est rendue plus générale de la manière suivante : soit /y une fonction qui change de signe quand y devient négatif et qui est nulle avec y;
désignons par rj l’intégrale définie
, que l’on suppose n’ètrc
ni nulle ni infinie. Si l’on remplace y par;>(x — a), p étant la nouvelle variable, comme p==0 et p — ao rendent y nul ou infini pourvu que x — « ne soit pas nul , il en résulte que l’on a aussi
CHAPITUE XVM.
Désignons par une fonction quelconque assujettie à la seule condition de rester continue pour toute valeur de « et multiplions par fada. En intégrant de part et d’autre depuis « = m plus petit que x, jusqu’il a == X, X — a restera positif pour toute valeur de a, la différentielle s’évanouira pour a = x, et il viendra
( yada f Ù!^ ^ dp = n[fpc — f,m]
■im ^
dans laquelle fpc est l’intégrale de fxdx. Intégrons encore entre «=x et a = « plus grand que x. x — a sera constainnient négatif, la fonction fp{x — a) changera de signe ainsi que la valeur de n et il viendra
Si l’on additionne ecs deux intégrales doubles en remarquant que l’on a
Sx rn ftl
•lin •'x Jm
on est conduit à cette équation
f rfida [ ^ dp = /) (2y,x — f,m — f,u),
hn Jo P
dans laquelle x est nécessairement compris entre m et n. En dérivant les deux membres par rapport à x et désignant par f la dérivée de f, il vient
qui sera vraie pour toute valeur de i, si m et 11 représentent — ac et 00 .
Quand fy est remplacé par sin 1/, on retrouve la formule ordinaire de Fourier.
CIIAIMTIIK XVlll.
Calcul des différonecs. DifTérenre d’une vorialdc cl d’une fonction. ÜifTcrnnce de la suuime, du produit et du <|uo(ient de fonrlions d'une seule variable. >- Uiflfé' rences des ordres supérieurs. — IHfTtTcnees des ordres su|M*rie*urs d'une fonelion, exprimées au iiioyeii des valeurs successives de cette fonction. — Méthode pratii|uc pour eniculer les dilTércnces successives d'une foucliun. — Expression générale d’un terme d'une suite en fonction des dilTérenccs successives. — A}>plieation à rinlerpolalion. — rorinutc d’interpolation de Lagrange. — Signiliealion géomélriffue d’une iiilerpolalioii. — Formule d’interpolation inverse. •— Différeneiation d’une éjpialinn implicite. — Calcul inverse des dilTérenees. - Signiiication d'une intégrale définie. — Formule générale d'intégration. — lnté> gration de <|uehjues fonctions algébriques. — Intégration de quelque-, fonciion«. transcendantes. — Somnialion des suites. — Valeur approchée d'une intégrale définie intinilésimnie. Formule de Thomas Simpson. — Intégration des équations implicites aux dilférences. Intégration des équations linéaires aux différences d'un ordre qiieleonqiie. — Intégration des équations aux différences oiélcTS.
243. Calcul des différences. Différence d'une variable et d’une fonction. Différence île la somme, du produit et du quotient de fonctions d’une seule variable. — On appelle différence d’une variable x l’accroissement lini Ax que l’on donne à celte variable. La différenec d’une fonction de x est raccroissement que prend ectle fonction quand on donne il X un acrroissemcnl Ax.La différence de yx sc désigne parAyx et l’opération par laquelle on la détermine sc nomme différenciation.
Lorsque l’oii eonnait la forme d’une fonction d’une seule variable ox, la valeur de Ayx peut s’obtenir au moyen du tliéorcnic de Taylor, puisque l’on a
Ayx OU
y(x -+- Ax) —
(/>(/ (Ax)* d\i/ (Axp
dx* T.2~ d?
ciiAmiit: xviii.
CcUo furinulc donne la valcnr de A^x développée en série, suivant les puissances ascendantes de Ax et ordinairement exprimée par un nombre illimité de termes. Lorsqu’on ne lient pas à avoir la différence d’une ronclion développée sous cette forme, on peut en obtenir une expression plus simple et exacte, tandis que celle que donne la série n’est qu’approchée; ainsi pour
il est visible que l’on a exactement
AyXî
Pour
(x + Ax)* — O* X* — n* (a* ■+■ x*) Ax -i- x (Ai)* X -f- Ax X x(x Ax)
?x= logx.
un a de même
Ayx = log (i -4- Ax) — log I — log ^
tandis que la série de Taylor donne
/ Ax\* / Ax
Ax \ X / V X ^ X :2 5
Enlin pour
— etc.
yx = a’ et fX = cos X ,
un trouverait
Aa' = a*(a^*— I)
A. cos X = cos(x -4- Ax) — cos X = — sin x siii Ax -4- cos x icos Ax — I ).
La recherche de la différence de fonctions compliquées peut être rendue plus facile an moyen de quel({iics remarques sur lu composition de lu différence d’une somme, d’un produit cl d’un quotient de fonctions. Remarquons d’abord que si l’on a une fonction de la forme
î>x -4- )<x — /’x , la différence est évidemment
c’csl-ù-dirc (jiie la di/jérencc d'une somme de fonctions est étjale d ta
