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somtne des différences de chacune des fondions prises avec le signe gui les affecte.

Le proiluit de deux fonctions

yx.'^x

a pour dilTcrcnce

?(i M).'e{x -f- M) — yx.'yX,

et si l’on remarque que lu dclinition d’une dilTcrcnce eonduit aux valeurs suivantes :

SyX — y [x -V- ^x) — yX , Aÿx = -J) (x -4- Sx) ix,

la différence du produit devient, en remplaçant ?(x -t- ix) et •{'(x-t- Ax) par ces valeurs ,

yXA jiX JiXiyX -+- iyX.A j«X.

Cette différence d’un produit se confond avec rcx|ircssioii de la différentielle d’un produit, lorsque les différences Ax deviennent infiniment petites; car alors Ayx et Aix ou dyx et dyx seront ellcs-mèincs infiniment petites et le troisicinc terme sera négligeable devant les deux autres. Si '^x devient une constante a, Ajix sera visiblement nul et la différence de ayx se réduit à

uAyx.

Enfin le quotient

■!fX

a pour différence

y (x -4- Ax) yx ^j.(x-^-Ax) j<x

et en remplaçant, comme plus haut, y(x -+- Ax) cl -^(x -v- Ax) par leur valeur, on trouve, toute réduction faite.

yXAyX — ?XAJ>X

Cette valeur se réduit aussi à celle trouvée pour la différentielle d’une fraction, lorsque les différences sont infiniment petites, puisque, au dénominateur, X'jx sera négligeable devant -J/x.

244. Différences des ordres supérieur». — Ce qui précède suffit

ciiArmiË WIN.

pour trouver la différence de toutes les funclions d'une seule variable. Passons à la reeherclie des différences des ordres supérieurs. A-^i est, en général, une nouvelle l'onetion de x. Si l’on donne à ces x un nouvel aecroisseincnt, AfX prendra un accroissement correspondant qui sera la différence de A^-x, c’cst-îi-dirc, la différence deuxième, et sera par conséquent exprimée par A(Aÿx) que l’on est convenu d’éerirc ainsi A*yx. De même la différence de la fonction A*yx est désignée par A*yx et ainsi de suite.

La rccbcrelic des différences successives d’une fonction donnée n’exigeant que la répétition d’une différenciation ordinaiia;, ne présente rien de nouveau; ainsi pour la fonction x", en supposant n entier et positif, on trouve

A(x") ou (x -f- Ax)" — X"

' Ax

ii(ii — I)

x"“*{Ax)’ h- etc.

A*.x" = « (n — l)x"”’ Ai* etc.

A".x" = n(/i — l)(/i — 2) Ô.2.I (Ax)"

A"^'x"=0, A"**x" = 0 etc.

ün voit que les diff(“renccs successives de x" sont milles ii partir de l’ordre n -t- I. Il en est évidemment de meme de tout polynùiuc entier et rationnel «x" fcx"“* -+■ etc. Celte fonction est la seule qui • jouisse de cette propriété.

mifèrences des ordres supérieurs d’uiie fonction etprimèes au moyen des valeurs successives de celle fonction. — La différence d’un ordre quelconque n d’une fonction yx peut être exprimée au moyen des valeurs successives par Icscpielles passe la fonction, quand on y fait croître x par intervalles égaux à Ax, c’est-à-dire, au moyen de yx, y(x A.t), y(x -H 2Ax) y(x -4- iiAx); on a vu, en effet, que

AyX = y(x -4- Ax) — yX.

Comme les deux membres sont idcnti(|ucs, un accroissement Ax donné à la variable fera prendre aux deux membres des accroissements identiques; il vient donc en différenciant les deux membres,

A’yX = Ax) — Ayx;

mais il résulte de lu définition d’une différence de fonction, que l’on a Ay (x -t- Ax) = y (x -4- 2Ax) — ? (x -4- Ax)

Ayx = y(x -I- Ax) — yX,