C.AI.CCL ISTÉCHAL

qui réduisent In valeur précédente de A’yx à

A*yx = y(x + ÜAx) — tJy(x Ax) yX.

On Irouvera de niéinc en difTércnciant cette dernière,

A’yx •-= Ay (x -4- 2Ax) — 2Ay(x -4- Ax) -4- Ayx = y (x -4- 5Ax) — ôy(x -4- 2Ax) -4- 5y(x -4- Ax) — yX,

A‘yX = y (x -4- 4Ax) — 4y(x -4- 3Ax) -4- (iy(x -4- 2Ax) — 4y(x -4- Ax) + yX et en généralisant, on aura pour un ordre entier quelconque n ,

A"yX = y(x -4- nAx) — ily[x -4- (« — I) Ax]

■*- (n — 2)Ax] -4- ±yx,

ou bien en retournant le dcveloppcincnt et coiniiienrant par le dernier terme,

A"yx = ± I yX — «y (x -4- Ai) -4- y (x -4- 2Ax)

^ y(x -4- oAx) ± ÿ(x -4- n\x) I •

Le signe plus doit visiblement être pris quand n est pair et le signe t)ioin.s quand n est impair. Ce développement de A'yx dont la loi est remarquable par sa ressemblance avec celle du développement du binôme de Newton, n’a été trouvé ici que j>ar induclion. Pour le démontrer d’uiic manière eonipicte, nous ferons voir que, s’il est exact pour un indice ;i, il le sera encore pour un indice n -4- i ; en effet, si l’on prend la différence des deux membres de cette équation, en observant que la différence de A*yx est A"+*yx et que les différences des termes du second membre sont données par

Ay(x -4- «Ai) = y[x -4- (n -4- i) Ax] — y(x -4- «Ax)

Ay[x -4- (n — I) Ax] = y(x -4- »lAx) — y [x -4- (?l — 1) Ax],

cette équation devient, en substituant les valeurs ci-dessus,

A*+4yX = ± I yX — (« -4- l)y (x -4- Ax) -4- ^J-^y(x -4- 2Ax)

(rt -4- i)»(;i - i;

y (x -4- 5 Ax) dh y [x -4- [n -4- 1 ) Ax] | »

ClUPITilE XVIII.

ce qui démontre lii proposition, puisque ee développement n’est autre cliosc que le premier, dans lequel n se trouve changé en « -4- 1 ; or, un a reconnu dircelcment rcxactitude de' la loi pour la valeur de A‘yx; la loi est donc également vraie pour Etant vraie pour A*yx, elle le sera pour A*'’yx et ainsi de suite.

Soit par exemple, ox = i", on trouve

. ( , . ” — 1 1 db J I”’ — (x -4- Ax)” -4-

71 {ti — t ) (n — 2)

(x -4- 2Ax)*

(x ÔAx)" ± (x -4- WAx)’

240. Méthode pratique pour calculer les différences successives d’u/ie fo7iction. — L’expression générale de A"yx donne la valeur de la différence d’un ordre quelconque n d’une fonction yx, au moyen d’un nombre n -4- 1 de scs valeurs successives correspondant à des

valeurs x, i -4- Ax, x -4- 2Ax, x -4- ôAx x -4- nAx de la variable.

Ces valeurs des différences successives peuvent aussi s’obtenir par un autre procédé prati([uc très simple. Supposons que yx soit tel qu’en donnant «à x les valeui-s successives

X, X -4- Ax, X -4- 2AX, x -4- 5AI, x -4- 4AX, x -4- ÜAX,....

on trouve pour yx, y (x -4- Ax), y (x -4- 2Ax),... les nombres suivants : «, c, d, e, f,

Si l’on prend les différences b — a, c — b, d — c, e — d, etc., qu’on représentera par

qu’on prenne ensuite les différences b' — a', d — b', d' — </, etc., représentées par

qu’on prenne de nouveau les différences dans le même ordre, représentées par

et ainsi de suite, on formera avec tous ces nombres, le tableau suivant (I b c d e f a' b' d d' d

a'" ir d"

CALCUL INT^GHAL.

et il est facile de reconnaître la signification de ces dilTërentcs lettres. Dans la première ligne, a, 6, c, d, etc., sont les valeurs de ^x, ■j(x-t-Ax), y(x-i-2Ax), y{x-+-3Ax), etc. Pour la seconde ligne, puisque l’on a fait

a' = b — a, b' = c — b, d = d — c, etc.

on a aussi

o' = Ÿ (x -4- Ax) — yx , 6' = y (x H- 2Ax) — ? (x Ax) ,

c' = y (x -t- ÔAl) — y(x -4- 2ax), etc. et par conséquent la signification de a', b’, c', d', etc., est o'=AyX, è'= As(x -H Ax), c'= Ay(x-4- 2Ax), d'= Ay(x -4- ÔAx), ctc. On trouve de même pour la troisième ligne,

a" = A^(x -4- Ax) — Ayx = A[y (x -4- Ax) — <fx] = A.AyX = A*yX, b'' C= Ay(x -4- 2Ax) — Aÿ{x -4- Ax) = A[ij<(x -4- 2Ax) — ?(*-+- Ai)]

= A.Ay(x -4- Ax) = A*ÿ(x -4- Ai), c" ~ A’y (x -4- 2Ax) , d" = etc.

Pour la quatrième, il est visible qu'il vient . o"'==A®çiX, 6'" = A’ÿ (x -4- Ax) , c'" == A’y (x -4- 2Ax)

et ainsi de suite. On voit par Ih, que la suite des nombres a', a'", a"',... de ce tableau représente les différences premières, secondes, etc. de la fonction ?x, dont la forme peut rester inconnue, mais qui est telle que scs n -4- 1 valeurs successives sont a, b, c, d, —

Ainsi, si une certaine fonction prend les valeurs successives 1, 3, C, 10, 13, etc., quand on y fait croitre la variable de Ax, 2Ax, ôAx,.... ou plutèt de 1, 2, 3, 4 on formera le tableau suivant

1 , 3 , 6 , 10, 15 etc.

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