CHAPITRE XVIII
ri'2'2
dont la seule inspection fait connaitre les clilTérciiecs l"*, 2“''% 5“'’ etc. (le celte fonction, différences qui sont 2, 1,0, 0. On aurait pu les obtenir iminédiateiiicnl au moyen de la funnulc démontrée plus haut (N° 245). Ainsi pour (umnailrc on y ferait ii égal à 2, yj égal
à 1, y(x Ax) égal à 3, ÿ(x + 2Ax) égal à 6 cl il viendrnil
^^fX =1 — 2.3 -T- 0 = 1 .
C’est en effet la valeur que donne le tableau.
Les valeurs particulières a, 6, c, d,.... d’une fonction yx correspondant à des valeurs particulières x, x-t- Ax, i -e 2Ar,.... de la variable, valeurs que l’on peut comparer à des ordonnées équidistantes d’une courbe, relatives à des abscisses x, x -4- Ax, x 2Ax, etc., forment ce que l’on appelle une suite dont les termes correspondent à x, x -t- Ax, I -t- 2Ax, etc. Les coefficients 0, 1, 2, 3 n de Ax se nomment in-
dices des différents termes de la suite cl servent à fixer leur rang.
247. Expression générale d'un terme d’une suite en fonction des différences successives. — On peut aussi exprimer un terme quelconque d’une suite en fonction des différences successives cl de l'indice; en effet, en augmentant successivement x de Ax, on a
y (x ■+■ Ax) = yX AyX ,
y(x -I- 2Ax) = y(x ■+■ Ax) -+- Ay(x -+- Ax),
y(x -H ÔAx) = y(x 2Ax) Ay(x -4- 2Ax),
Cl des substitutions successives donnent y (x -4- Ax) = yX -4- AyX, y (x -4- 2Ax) = yX -4- 2AyX -4- A*yX , y (x -4- 3 Al) = yx -4- 3Ayx -4- 3A*yx -4- A’yx ,
et en généralisant comme on l’a fait au N° 245 ,
Ÿ(x-4-«Ax) = yX-4- «AyX H A’yx -I — — AW-4- etc.
CALCUL I.NTLCIIAL.
Celle formule csl niialogtic à celle de Taylor; il esl même facile d’en déduire celle dernière, car en fuisanl
;iAr = /i d ou « = il vienl pour f[x mAx) ou y(x -f- h).
Ax
AyX h {h — Ax) A*yx ‘ ^ Ax 1.2 (Ax)*
Il [Il — Ax) (/l — 2Ax) A’»,<x
Si l’on fait converger Ax vers zéro, h restant invariable, il est visi-
Ayl A*yX . • 1 •• •. 'h^
Lie que > ri etc., deviennent a la liruilc — i , etc., et
Ax (Ax)* (<X (/x* '
on trouve la série de Taylor.
La formule précédente qui, en elfeetuanl les calculs indiqués, peut être mise sous la forme
y(x -4- nAx) = A Jln C;i* 4- etc.,
fait connailrc les valeurs successives de la fonction ^^x, c’est-à-dire les termes de la suite
yX, f(x -t- Ax), y{x -4- 2Ax) y(x -4- nAx).
Il suflil pour cela de donner à n les valeurs des difTérenls indices. Celte expression se nomme pour celte raison Urme général do la suite.
En général, le nombre de termes qui entrent dans l’expression de y(x -¥■ ;iAx) déjiend de la valeur de n et est par conséquent indéfini aussi bien que n; cependant si la fonction ^x est telle que ses différences successives sont nulles à partir d’un certain ordre, ainsi que cela a lieu pour les fonctions entières et rationnelles (N“2V4), le nombre de termes sera limité bien que n reste arbitraire.
Pour appliquer notre formule, eonsidérons la suite
que nous considérerons comme étant les valeurs successives d’une certaine fonction yx, quand un y remplace x par
X, X -4- Ar, T-4-2AX, X4-3Ax, x -t- 4Ax
ou comme représentant les coordonnées équidistantes de la courbe y = yx.
CIIAPITIIE XVlll.
Proposons-nous de déterminer le ternie currespondant à x n\x, c’est-à-dire, le terme (i ■+■ n)''™' ou le terme général. On calculera les différences successives A’^x,.... soit au moyen delà formule
du N° 245, soit en formant le tableau suivant
d’où l’on conclut
yx = 5, Ayx = 4, A*yx==2, A’^x = 0, A‘»i = ü,
et en substituant dans l’expression du terme général, on trouve pour l’ordonnée correspondant à x -+- nAx,
f (x -4- nAx) = 5 -+- 5n -»- n*.
En faisant successivement
rt = 0, n == I , ;i = 2, « = 3,etc.
on retrouve en effet tous les termes de la suite donnée. Cette valeur de y(x -+- nAx) exprime donc la loi de cette suite de nombres et l’on pourra en faisant croître n, prolonger celle-ci indéfiniment, de manière que les nouveaux termes soient soumis à la même loi que les premiers. Observons que cette équation n’est pas continue en n, puisque la manière dont on y est parvenu exige visiblement que n soit entier; si donc on faisait n égal à un nombre fractionnaire, compris entre deux nombres entiers n' et n", il est visible que cette formule ne reproduirait plus les termes de la suite ou les coordonnées équidistantes, mais donnerait une ordonnée ou un nombre lié à la valeur fractionnaire de n, de la même manière que les termes de la suite cllc-mèmc sont liés aux différents indices entiers. Ainsi, si l’on veut connaître le
nombre ou l’ordonnée qui correspondrait à l’indice 3^ dans la suite
précédente, il suflira de faire n égal à 3 - dans le terme général de
CALCUL I.NTÉCHAL.
ccUc suite et il viendra
. - AxJ = b -f- •> H / 0 ^ 27
248. Application à l'interpolation. — L’opéralion par laquelle on (IctermiDC un semblable terme se nomme interpolation. Il est facile de voir que l’opération de l'interpolation revient en géométrie à chercher l’ordonnée d’une courbe correspondant à une abscisse quelconque, connaissant les ordonnées équidista.'ites qui correspondent aux abscisses x, x Ax, x 2Ax, x -4- .lAx, etc.
On a vu (N” 247) que la suite au moyen de laquelle on cITectue les interpolations, n’est pas toujours limitée et par conséquent l’interpolation au moyen de la formule générale qui précède, n’est possible d’une manière exacte que lorsque toutes les différences successives de la fonction génératrice yx sont nulles à partir d’un certain ordre. Cependant si les différences successives, sans devenir nulles, prennent des valeurs très petites, c’est-à-dire, si In formule d’interpolation est très convergente, on pourra se borner à considérer un certain nombre des premiers termes, en négligeant les suivants. Prenons pour exemple la détermination du logarithme d’tiîi nombre 2718,281828 gui sort des limites des tables. — Aux nombres entiers suivants :
qui ici représentent les valeurs successives de x , savoir x , i -4- 1 , a: -4- 2, X -4- 3, correspondent les logarithmes ou les valeurs suc-
cessives de la fonction iiix = Logx,
3,{ô29(i!l3, 3,<3i:i««lt, 3,{3(îl(i2l!, 3,4377:;tMf, 3,iô!l3327.
En formant le tableau suivant des différences successives,
-0,0000050 — 0,0000037 - 0,(KX)0030
- 0,00(K)(Xtl
on voit que les différences troisièmes qui n’ont un chiffre signilicalif
CIIAPITIIË XVIII.
qu’à la SPplième décimale, peuvent être négligées et en substituant les valeurs des autres différences dans la furtnulc d'inlcrpolutioii et faisant n égal à 0,281828, il vient
Log 2718,281828 = 5,452%!)â -v- 0,281 828.0,001 59!l(i
o,oooüOj;».
Le deuxième terme de celte valeur forme la différence proportionnelle à la(|iielle on s’arrête ordinairement, quand on fait usage des tables de logarithmes.
24!). Formule d’interpolation de Lagrange. — La formule précédente d’inter|)olation .suppose connues les valeurs équidistantes de la fonction, c’est-à-dire, les valeurs correspondant à des aecroisseinents égaux entre eux, donnés successivement à la variable. Lagrange a proposé une formule très simple, empirique il est vrai, au moyen de laquelle un effectue une interpolation, connaissant des valeurs de lu fonction qui correspondent à des valeurs quelconques de la variable. Soient
les valeurs de yx quand on y fait successivement x égal à /), g, r, e, t,....
En désignant par o, h, c, d,.... des coefficients indéterminés fotictions de X, Lagrange admet que pour une valeur quelconque x de la variable on a
yx = aP -+- bQ cR dS -t- eT etc.
et il détermine a, b, c, .. par la condition que yx prenne les valeurs P, Q, R, S, T,... quand on y remplace x parp, g, r, n, t. Celte condition peut être remplie d’une inrinité de manières. Elle le sera visiblement, par exemple, si les coefficients o, b, c,... sont tels que la supposition dex=p, puis X = g, puisx = r, etc., leur fait prendre les valeurs suivantes :
CAI.Cl'L I.ATÉC.IUI..
Vi'll
On remplit toutes ecs eoiulitions en posiinl
c== etc., (/ = clc.
La formule (l’interpuliitioD devient ainsi
2Î)0. Significaiion gmmélri(fue d'une iulerpolation. — En rcniplaeant yx par y, et considérant /', Q, etc., comme des ordonnées DE, aa', hb\ cc',... (fig. 51) corres[iondanl aux abscisses p, q,r, etc., nu AE, Ao, Ah, Ac,..., il est visible que toute foi-mule d’interpolation a pour objet de trouver rc(|uatiun d’une courbe passant par les n
points I), o', //, d, d', e', problème entièrement indéterminé, si la
nature de 1a courbe reste arbitraire, mais qui n’aura qu’une solution unique, quand on met pour condition que la courbe aura une équation de la forme
y = A -+- /?x -t- Cx* Dx^ ■+■ A'x"’ ' ,
e’cst-à-dirc, quand elle sera de forme parabolique. Alors tout se réduit
à trouver les valeurs de A, B, C, de manière que les coordonnées
(P, p), <i) satisfassent à cette équation qui devra contenir un
nombre de termes ou un nombre d’inconnues .1, B, C,... égal au
nombre de points D, o', h', d Or, cc mode d’interiiolation est pré-
ciséincnt celui auquel conduit la formule de Lagrange, puisque ccllc-ci suppose visiblement la valeur de yx exprimée par une fonction entière et rationnelle de x.
251. Formule d'interpolation inverxe. — Le problème inverse de l’interpolation précédente consiste à déterminer la valeur de l’indice, connaissant la valeur de la fonction, ou, en d’autres termes, il eonsistc <à trouver x connaissant »x. Il faudrait pour cela résoudre par rajqiort à X, l’équation précédente de Lagrange; mais la valeur de x s’obtient immédiatement en reprenant tous les raisonnements qui nous ont conduits à celte formule et l’on trouve
(yX-Q}(fX-n}(yX-S)... {yx-r)(yx-ji)(yx-s}... ^
CiUriIRE XVIII.
:it>8
Ainsi , si l'un demande à que) nombre correspond le lognritlime 3,4334208, comme ce nombre est compris entre 2718 et 2719, on prendra pour p, q, r, s, t la suite des nombres — 2, — 1,0, 1 , 2, pour P, Q, R, S, T, les logurilbmes de 2716, 2717, 2718, 2719, 2720, pour <fX le logarithme donné 3,4354208. On trouvera ainsi a; = 0,28 1828, c’est-à-dire, que le nombre cbcrclié est 2718,281828.
Celte formule peut aussi servir à calculer la valeur d’une racine d’une équation sj: = 0. En désignant par p, q, r,.. des valeurs approebées de la racine et par P, Q, R,., les valeurs que prend ^x, lorsqu’on y remplace x par p, q, r,.. comme la racine x correspond ùya = 0, il faudra dans la fonnulc précédente faire <fx nul, et on aura pour valeur de la racine.
pQRS...
PqRS...
etc.
Les formules d'interpolation servent surtout à découvrir la loi d'un phénomène, au moyen de rcsiillals déduits d'un certain nombre d’observations.
252. Différenciation d’une équation implicite. — Jusqu’ici nous n’avons différencié au point de vue du calcul des différences, que des fonctions d'une seule variable yx, ou des équations explicites telles que y = yx. Si l’équation était implicite et de la forme f(x, y) =>0, en désignant par Ax un accroissement donne à x et par Sy l'accroissement correspondant de y, on devrait avoir
f{x -4- Ax , y Ay) = 0.
Or, ce résultat d’un double accroissement donné siiuultanémcnl à X et à y peut être obtenu par deux opérations successives, ainsi qu’on l’a déjà dit au N“ 20. En donnant aux x seuls l’accroissement Ax, la
fonction que nous désignerons par f, devient f — - Ax, dans laquelle
Ax
A/* désigne l'accroissement ou la différence de la fonction f, duc à un accroissement donné à la seule variable x. Si dans ce résultat on donne
ensuite à tous les y raccroisscmcnl Ai/, /'devient f-*-~Sy
devient — -H Ax
Aiy, en désignanl ày raccroisscmcnl
CALCUl. l.MLÜKAL.
de /*, provenant du seul nccroisscnicDt de y et par*
Ci
Ajy l’ac-
croisseincnt dû au seul accroisseoienl de y, delà fonelion — ; de
sorte qu’après le double accroissement, la fonction jircnd la valeur 'M
Ai H ^ J ^y ® par conséquent,
en remarquant que f est nul et que f{x -+- Ax, y Ai/) l’est égalenieni,
A/" \C^xJ
— Al H Î-Al/ H — ^-AvAl=0.
Al Ay ■' Ay
Cette équation est dite Viquulion aux différences de la proposée.
lion f, effectuée d’abord par rapport à i cl ensuite par rapport à y,
ay
qui est le résultat d’une double difTéreneiation de la fonc-
se désigne aussi par
AiAy
cl l’équation aux différences prend la forme
— ' Ai — Al/ H AxAi/ ;
Ax Ay ^^y
— AxAi/ = 0.
A/ if
Connue — Ai et Ay sont les différences d’une fonction prises jiar rap-
port à une seule variable et comme
AY
AiAy
représente le résultat d’une
double différenciation effectuée successivement par rapport à chaque variable x et y, on voit que la différenciation d’une équation implicite à deux variables est ramenée à des différenciations de fonctions d’une seule variable et peut par conséquAt être déduite des théories précédentes.
Celte équation, que l’on peut combiner d’une manière quelconque avec l'équation primitive, sans changer sa signiGealion et par coiiséqucnl sans qu'elle cesse d’être l’équation aux différences de celte dernière, sert à déterminer la valeur de Aiy correspondant à chaque
CIIAPITRE XVIIl.
valeur dcxctdc Ax; il sulTit pour cela d’éliminer y entre ces deux équations, ce qui conduira à une équation en x, Ax et A^ qu’il faudra résoudre par rapport à Ay.
Observons qu’une équation f{x, t/) = 0, ou y = fx peut toujours être transformée de manière que, quel que soit l’aecroisscment constant Ax que l’on attribue à la variable x, il suflisc de donner à la nouvelle variable indépendante qui tient lieu de x, un accroissement égal à l’unité. 11 faut évidemment pour cela remplacer x par x'Ax; car il est visible qu’un accroissement Ax donné à x, répond a un accroissement égal k l’uiiité donné è x'.
253. Calcul inverse des dilférences. — Le calcul inverse des différences est pour le calcul direct ce qu’est le calcul intégral pour le calcul différentiel. Il a pour but de déterminer la forme d’une fonction connaissant sa différence. Si u représente une différence, la fonction s’indique par le signe Xu cl se nomme l’intégrale de la différence u. L’opération par laquelle on détermine cette intégrale se nomme encore intégration. Comme les signes A cl 2 indiquent deux opérations contraires, il est visible que l’on doit avoir
2Ax = X, 2Ayx — 'j>x, Aïx = x, A2^,)X = fX.
On voit aussi que, puisque
A (yx -t- ’^X — Fx) = AyX -V- A ^X — AFx,
on doit avoir
2(AyX -r- A J(X — Af’x) = yX i]/X — Fx ,
e’csl-à-dirc, que l’jîiféyrafe d’une somme de plusieurs différences est égale (i la somme des intégrales de cliague différence prise avec sou signe. De meme, puisque
A(nyx) = aAyX,
on a aussi
2ayX0= (i2yx;
on voit donc qu’un facteur constant peut sortir du signe d'intégration.
Pour avoir l’intégrale la plus générale, il faut la compléter en y ajoutant une constante arbitraire, parce que lu différence il’unc constante arbitraire est nulle, ou plus généralement, il faut .ajouter une lonction dont la différence soit nulle, comme cela a lieu pour ccrluincs
CALCUL INTÉGRAL. UÔi-:
fonctions trigoiioinvlri(|iics, qui reprennent k même valeur quand on fait croître Tare d’une ou plusieurs circonfc'rences.
21)4. Signification d'une intégrale définie. — Dans le calcul inverse des différences, comme dans le calcul intégral proprement dit, Syx' — ï?x se nomme intégrale définie de ■yx, prise depuis x jusqu’à x' et cette quantité a une signification analogue; en effet un sait que
AyX = y (x -H ix) — fX ,
Aylx -4- Ax) = f (x -H 2Ai) — o(x -t- Ax),
Ay [x -H (n — 1) Ax] = y {x mAx) — y [x (n — 1 ) Ax]. Additionnant inciubrc à membre^ il vient
f{x -4- »lAx) — yX — AfX -t- Ay (x -4- Ax) -4- Ay (x -4- 2Ax) -4- A-;)(x -4- ÔAx) -4- Ay[x -4- (» — 1) Ax],
et en faisant
