X -4- »iAx — x
cette équation devient
ol' — |?X = AyX -4- A'?(x -4- Ax) -4- Ay(r -4- 2Ax) -4- Af (x -4- ÔAx)
-4- Ay(x' — AX).
Si l’on intègre les deux membres, on trouve
ïyx' — lyx = OX -4- ^(x -4- Ax) -4- y(x -4- 2Ax) -4- y(x' — Ax).
Le premier membre est ce que nous avons appelé Yintégrale définie de <px prise depuis x jusqu’à a/, intégrale que nous représenterons par x'
2 fx; on voit donc qu’une intégrale définie prise entre deux limi-
tes X et x' représente la somme des valeurs successives de yx depuis k première correspondant à x jusqu'à l’avant-dernière correspondant à x' — Ax.
Il n’a pas été ajouté de constante arbitraire au second membre, parce que celui-ci doit, comme le premier, devenir zéro pour x' = x, ce qui
CIIAI’ITHK XVIII.
a lien en cITct, puisque le nombre de lerines est visiblement égal au nombre d’aeeroissements ix eontenus dans x' — x et que pour x'= x,
ce nombre est nul. Cette signification de l’intégrale définie 2 ^x, fait
donner à ccllc-ei le nom de somme de yx prise entre les limites x et x' — Ax.
2bü. Formule générale d’intégration. — On peut toujours obtenir la somme ou l’intégrale d’une ronction donnée, cx|)rimée par une série contenant les dilTércnccs successives de la fonction; en cfTct on a vu (N» 247) que
ÿ(x -I- H Ai) 1= SX 4- /lAyl 4-
A’yx 4- etc. ;
si donc on fait x 4- «Ax = x', on aura, en intégrant les deux membres et observant que le second ne reçoit pas de constante arbitraire , parce que, pour x égal à x', n est nul et que le second membre doit être nul comme le premier,
ïyx — ïyX ou i ipX=;iŸX4- — AyX4 — ; A*9iX4-CtC.
Comme on a fait
X 4- nAx = x* ou n =
la formule d’intégration prend aussi la forme
/x' — X \ Asx
^ x' — X (x' — x) 2 yx= -?x ‘
Ax
Ai
etc.
Elle est analogue à celle donnée par Jacques Bcrnoully dans le calcul infinitésimal, pour exprimer l’intégrale d’une différentielle et fait connaître l’intégrale définie de sx. Si cette fonction est telle que toutes ses difrérenees soient milles à partir d’un certain rang, le nombre de termes sera limité. Cela n’a lieu que pour des fonctions entières et rationnelles.
2oG. Intégration de quelgues fonctions algébriques. — Appliquons
CALCUL INTKCIUL. 55^
la formule precedente à riiitégration de la fonction x**. On trouve en remplaçant fZ par x"*,
x' — X Ax
■ xf-x/x'-x \ /y-x ,
Ax Y Al y ^ Ax J 1.2.3
dans laquelle ou connaît (N* 244) les valeurs de A(x"), A’(x")
Quand l’exposant m est entier et positif, le nombre de termes du second membre est limité, puisque l’on a vu que A"+‘(x") et toutes les différences supérieures sont nulles. En faisant successivement m <= 0, m = 1, m => 2, on trouve
y — X Ax
J y* — X* x'* — X* (y — x) Ax 3Ax 2 C ’
2 x’ = etc 2 X" = etc.
Si les sommes doivent être prises depuis 0 jusqu’à x, ces expressions deviennent
x’ x’ 3Ax 2
xAx
2 x’ = etc.
qui font connaître les sommes de toutes les valeurs par lesquelles passent x“, x, x*, x’, etc., tandis que x va en croissant par intervalles égaux à Ax depuis 0 jusqu’à x — Ax.
CIIAPITRË XVIII.
Au moyen de ces formules, on peut trouver les sommes de toute fonction entière et rationnelle de la forme
A + lix Cx* -t- etc.
puisqu’on a
s(.l -t- lix -i- Cx* etc.) = .'l:x“ -t- Oix -i- Cix’ etc.
2Î)7. Intégrations de qrielques fonctions transcendantes. — Quelques fonctions peuvent être intégrées sans l’emploi de la formule générale. Prenons pour exemple la fonction a'. On a trouvé que
Aa' = o*(a^' — 1).
On tire de là
Aa'
et en intégrant depuis x' jusqu’à x, et observant que le dénominateur est constant, il vient
On a aussi
A cos X = cos (x -4- Ax) — cos X
d’où l’on lire
- 2 sin - Ax sin | x -i- - Ax I j
(1 \ 1 A cos X
