V=-2-TT

' <2in — At

sin - Ax

ou bien en remplaçant x — Ax par x,

A cos ( X — ^ Ax )

sin X = >

sin - Ax

cl en intégrant depuis x' jusqu’à x,

^ cos ^x — ^ Ax^ ^ cos ^x' — ^ Ax^

E sinx=

sin - Ai

sin - Ax

Si l'an intègre dc|uiis U jusqu’à x, il vient

^ 1 Ax

2 sinx = -cül — 0 ^ -

On trouve de même

2 cos X =

sin

/ 1 \ • / , ' \ /xM-x' — Ax\

( X Ax I — sin ( X Ax I sin I ) cos { )

VW \ J \ -2 J \ ^2 J

2 sin - Ax

sin - Ax

Ces dernières formules font connaître In'suminc des sinus et des cosinus d’une table trigonomètrique culeulès, par exemple, de niinuU^ en minute; car il vient

2 sin X = - eut

et comme cctie intégrale ne donne la somme des valeurs successives de sin X que jusqu’à sin (90" — 1'), la somme totale est

-cot---H^sm

cot-

2a8. Sommation des suites. — On peut, au moyen de ce qui précède, déterminer la soniiuc des n premiers termes d’une suite donnée; il sullit pour cela de calculer, comme on l’a vu (N“ 244), les différences successives Ayx, A’^x.... et de substituer ces valeurs dans lu formule x' x-+-;iAx

du N" 2j4, puisque 2 ?x ou 2 représente la somme

chcrcliée. Il est vrai que pour que cette somme soit exprimée par un nombre limité de termes, il faut que les différences successives soient nullcs à partir d’un certain rang ou du moins qu’elles décroissent assez pour que ce second membre forme une série convergente. C’est ainsi que l’on pourrait calculer lu somme des logarithmes des nombres entiers entre deux nombres donnés.

Si l’on connaissait la loi de la suite, on pourrait également calculer la somme des » premiers termes; en effet, v étant l’indice d’un terme

CHAHITRE Wlll.

quelconque et fv la loi de la suite; coiiiuie il suffit de faire v dgal à

1, 2, 5, 4 n pour reproduire tous les termes, il est visible que

la somme ehercliéc n’est autre chose que la somme des valeurs que

prend /v quand on y rcm|dacc siiecessivcnicnt v par i,2, 5 n,

c’est-à-dire qu’elle est l’intégrale de fv prise depuis v=l jusqu'à V = n -H 1 ; on n donc

S = S fv.

Prenons pour exemple la suite des nombres naturels. La somme des n premiers nombres est, en se rappelant la formule du N“ 254,

tv -H n : -

Si l’on clicrclic la somme des carrés des nombres naturels depuis 1 jusqu’à n inclusivement, on aura