ti
259. Valeur approchée d'uiie intégrale définie infinitésimale. Formule de Thomas Simpson. — Le calcul des diffcrenccs est utile pour trouver la valeur approchée d’une intégrale définie ordinaire ; supposons en effet (]u’on ne puisse intégrer exactement oxdx dont on veut avoir l’intégrale définie depuis x=a jusqu’à x = a-+-6. On divisera l’intervalle b en un certain nombre de parties égales ^ et l’on sait que l’intégrale chcrcliée est représentée par
j ça -+- f (o -1- a) -♦- Ÿ (a -t- 2a) -t- ç (tt -t- 6 — 4) j i
d’autant plus exactement que A sera plus petit. Or, cette expression
n’est autre chose que le [troduit de A par 2 fx, etsi l’on substitue
à cette intégrale sa valeur donnée à la fin du N° 254, on trouve pour valeur approchée de l’intégrale.
,'0-+-b I/, l,/l, b (b \{b AA»5.a )
CALCUL IMTËGRAL.
expression composée à la vérité d'un nombre illimité de termes, mais qui SC simplifie ordiimircmcnt parce que les différences de la fonction f sont négligeables le plus souvent à partir d’un certain ordre.
On trouve une expression plus exacte de l’intégrale de la manière suivante : dans la formule d’interpolation donnée au N“ iî47, changeons X en a' cl désignons Ax par A; clic deviendra
, , , , A«a' h(h — A) A’so' h{h — A)(A — 2a) A’ya'
Si l’on multiplie les deux membres par dh et qu’on intègre entre les limites zéro et 2A, il vient
I y («' -t- h) dh = A
intégrale que l’on peut changer dans la suivante, en remplaçant a h par x,
<fxdx ~ 2yo'-+-2A.ya' — A’.ya' — — A'.yo'....
Cela posé, divisons l’intervalle 6 entre les deux limites d’une intégrale
fxdx, en un nombre pair de parties égales A et dans a
la formule précédente, faisons successivement a'=a, o' = o-i-2A,
o' = a-A-4A o' = o (n — 2) A = a -A- 6 — 2A; la somme des
valeurs obtenues représentera l’intégrale de fxdx prise depuis x=a jusqu’à X = a -A- 5. On trouve ainsi, toute réduction faite, et en négligeant les différences quatrièmes.
2?o' -A- 2A.yo'-A- A’.ya' — ^ A*.Ÿ“'-+- ClC
0 yu
2^0 -A- 2y (fl -A- 2A) -a- 2y (a -A- 4aJ ■
2? (fl -A- à — 2a)
yl(/x = A ' -A- 2Af0-A- 2Ay(fl-A- 2A) -A- 2A-j(fl -A- 4A).... -A- 2Ay (fl -A- à — 2A) j
A- — A'yfl -A- — A*f (a -A- 2a) -A- - A*y(«-A-4A) -A- - A’y(n-l-à — 2 A)
CIIAPmiF. XVIII.
On sait que l’on a
AyO = f (a A) — sa
As (a 2a) = ÿ {a -4- 5A) — ? (« -*- 2A)
Ay (a -4- 4A) c= y (o -4- ÎJA) — ?{«-+- 4A)
A’ya = Ÿ (a -4- 2A) — 2y (a -4- A) -4- ya
Kn substituant ces valeurs dans l'expression de l'intégrale, celle-ei devient
r» + b il
l fxdx = - j ya -4- 4y (« -+- A) -l- 2y (o -4- 2A) -4- 4y (n -4- 3A) 'h ■ '>(
d’où résulte celle règle : jiotir avoir une valeur approchée de l’intégrale définie de yw/x depitin x = a jusqu’à x=a-t-b, on divisera l'inlervulte h en un nombre pair de parties égales A, on fera
successivement dans fX, x—a, a -4- A, a-4-2A, a -4- ôA a -v- b et
on multipliera le tiers de l'une des divisions A par une somme formée par la première et la dernière valeur de la fonction, c’est-à-dire, ya -4- y (n ù), plus quatre fois les fonctions correspondant à des divisions impaires, plus deux fois les fonctions correspondant à des divisions paires. Celle expression d’une intégrale est connue sous le nom de formule de Thomas Simpson.
Si au lieu de négliger les diiïérences 4'"'*, on avait poussé l’approxiinalion jusqu’aux dilTércnces !>"*'* ou G'"", on aurait trouvé d’autres expressions plus exactes de l’intégrale déGiiie, mais elles se présentent sous des formes moins simples et moins régulières.
Il est visible que les dilTcrenccs quatrièmes et suivantes de la fonction yx, qui ont été négligées, ne sont rigoureusement nulles, que si la fonction est de lu forme a -4-bx-4-fx*-4-ex’. Il suit de là que si l’on conçoit la fonction yi dévelojipée en série sui\unt
CALCUL I.VTÉCKAL.
les puissances ceuissiintcs de x, on ne lienl compte dans la formule de Simpson (jne des quatre premiers termes du développement, en négligeant tous lesuntres. (Iiiand l'intégraledéfinic est destinée à représenter l’aire d’une courbe, la méthode d’intégration précédente revient visiblement à substituer à la courbe donnée y = ^x, des arcs de parabole cubique t/ == a -+- 6x -h ex* -+- ex^ depuis x — a jusqu’à x = o-+-2A, puis, depuis x = a -i- jusqu’à x = u-v-4A et ainsi de suite.
En appliquant cette formule à la recherche de l’intégrale définie
un trouve pour valeur approchée, au lieu de l’expression du N° 14G,
-I. = “ ^ « ’ -fr- — 1 *
()l/l-t-x* •’( *" lOlO 1/ 1040 4^1090
Appliquons encore notre formule au jaugeage des tonneaux. En prenant l’axe du tonneau pour axe des A' et 1/ — fx pour équation de la courbe génératrice, le volume sera exprimé par
a étant la hauteur du tonneau; or, si l’on en mesure la circonférence, 1° aux deux bases, 2" à égale distance de la base et du milieu, 3° au milieu, et si l’on représente les rayons correspondants par r, »■', et r", il est visible que pour
ÿ’ sera égal à r*, r'*, r''*, r'*, et r*; la valeur de l’intégrale définie précédente est donc
CIIAPITilE XVItl.
.•ito
et l’on trouve pour la capacité «lu tonneau,
— (r’ + ir'* r"‘).
2ü0. Intégration des équations implicites aux différences. — On ne s’est occupé jusqu’ici que de l’intégration des fonctions d'une seule variable. Passons à l’intégration des équations implicites h deux variables, équations que l’on représente d’une manière générale par
f(x, y, Ai, Ay)==0,
ou plutôt, par
/•(x,y,Ay) = 0,
attendu qu’on peut toujours faire en sorte que l’accroissement de l’une des deux variables soit égal à l’unité (fin du N° 252). Le cas le plus simple, est celui où la variable dépendante et sa dilTércnee sont à la première puissance, et ne sont pas multipliées cntrc-cllcs. L’équation aux différences est dite alors du prentter degré et du premier ordre. Sa forme est
P et Q étant des fonctions de x seul. Supposons d‘abord, Q égal à zéro. Si l’on remplace y par e” et Ay par e' {e^” — i), il vient
C (e^" — 1) -t- Pe'— 0, d’où e'^'' = 1 — P,
At> = log(l — P), U = Slog(l — P) et par conséquent
Comme P ne contient que la variable x, on voit que la question est ramenée à l’intégration d’une fonction d’une seule variable x.
En désignant par P„ P,M^t les valeurs de P correspondant
à des valeurs x, i — i, x — 2 .... de la variable, S log (1 — P) devient log(l —P,,)-t-log(l— ou logj(l )(f -/*,,){1— P,,)... j
et la valeur de y ou l’intégrale, se réduit à
CAI.CIX I^Tl;GRAL.
Le facteur ! — P. n’est pas inscrit, parce que la somme I ne eomprciid pas le terme final correspondant à la variable x entière.
Si P est constant, tous les facteurs binômes sont égaux et l’on a
n représentant le nombre de ces facteurs, qui est égal au nombre d’accroissements Ax = 1 compris entre une valeur arbitraire x' de la variable et une valeur finale x, c’est-à-dire x — i'; on a donc pour intégrale.
Pour intégrer lorsque le terme Q n’est pas nul, remplaçons y par u.z et Ay par «As -hxAm -a- AmAz. L’équation aux différences se transforme dans la suivante
Z (Au -4- Pu) -1- Az (h -1- Au) = Q
et comme une des deux variables («, z) est indéterminée, on pourra fixer la valeur de u en posant
Au -+- /*u = 0,
qui donne, d’après ce qu’on vient de voir,
Le reste de l’équation aux différences , savoir :
Az(u -+- Au)= Q
donne, en remplaçxint u et Au par leur valeur,
Az :
Az ;
u -f- Au u ■— l‘u u(l — P,)
d’où l’on lire
(1-P,)(1-P,,)(1 -Ps-,)....
Viki ciiAPiTRr: XVIII.
et l’intégi'alc clicrehéc devient
On est conduit à une équation aux dilTércnces du genre de celle dont on vient de s'oceiijicr, en résolvant le problème suivant : trouver le terme général d’une série dans lugueUe chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une fonction fx de son indice x et en ajoutant au produit une fonction yx du même indice.
En désignant par y un terme et par x son indice, le suivant sera d’après ces eonditions, fx,y -s- yx, et comme il est en général représenté par y -h iy, on aura
!/ -+- == ,y/x ou Ay -V- y (I — fx) = r^x.
Pour avoir l’intégrale ou le terme général, il faudra donc remplacer P par 1 — fx cl Q par yx. Si fx ou f est constant ainsi que 7X ou 7, on trouve (N" 237)
" '■= " Ir Y'*' ^ if-'-f-n ;
l’intégrale est donc
et cette valeur de y fuit connaître la loi de la série. Elle contient une constante arbitraire x'.
261. Intégration des équations linéaires aux différences d'un ordre quelconque. — L’intégration d’une équation aux différences est en général d’autant plus difficile que ccllc-ci est d’un ordre plus élevé. Lorsqu’elle est linéaire par rapport à la fonction y et scs différences, on peut, comme l’a fait remarquer Lagrange, faire dépendre son intégration de l’intégration d’une équation linéaire plus simple. Soit en effet
A"y -H .lA"~*y //A"“*i/ -i- (7A**®y /’Ay Qy = R (1)
une équation linéaire de l’ordre >1, A, ü, f.', R étant des fonctions
de X. Supprimons le ternie final R et supposons que l’on parvienne à
CAIXÜL IXT^CRAt. 543
trouver n valeurs de s«lisfaisanl à Icquation
préeédenle priAec du terme final li. En posant
on aura rintégrale générale de la proposée, pourvu que C, C, C",.... soient déterminés par les conditions
{y' + Sy')lC + {y" iy")lC" + etc. = 0,
{^y' -y- Ay)iC' -f- (\y" -H ^’-y") etc. = 0,
{A^y' ■+■ Ay) AC' + ( Ay' A-y") AC" -t- etc. = 0 ,
(A«-'y' -V- \-y')SC (A-- ' y" Ay') AC" -I- = H,
ce qu'on démontre comme on l'a fait au N° i98, pour les équations différentielles linéaires. On prendra pour cela les n différences successives de y et celles-ci, en tenant complc de (3), vérifieront l'équation (1). Les équations (3^ en nombre n serviront à déterminer les « différen-
renccs AC', AC",.... en fonction dey', y' c'est-à-dire en fonction
de X, et des intégrations de fonctions d'une seule variable feront connaître C', C"
Quand les eocflicicnts A,D,.... Q sont constants et que le terme lilial R seul est fonction de x, la reeberelie des intégrales particulières y', y",.... ne présente pas de difficulté. En effet, comme les différences successives de (a -i- 1)' prises avec Ax — i sont (a -v- l)'n,
(« -♦- 1)'a* (a -t- l)'o", en posant y = (n -t- 1)' dans (1) privée du
tenue final R, l'équation sera satisfaite, pourvu que l'on ait
«" -4- .-fa"-' -4- Ru'~* -4- Pa -4- Q = 0
et les « racines a', a", a'" donneront les valeurs
262. liitégratiou des èyualioiis aux différences mêlées. — On est souvent conduit, en résolvant des problèmes de géométrie d’une certaine classe, à des équations qui renferment à la fois les différentielles des variables et leurs différences finies. Les équations de cette espèce sont dites aux différences mêlées. Prenons pour exemple le problème
CUAPI1RE XVIII.
:iH
suivant : Trouver une courbe telle que l'aire renfermée entre la courbe et deux ordonnées distantes d'une quantité h, soit dans un rapport constant avec l'aire du trapèze qui a ces deux ordonnées pour bases. En dc’signant par y cl ij -h Ay les deux ordonnées, par x cl x -h /i les deuxabscisses correspondantes et piir(i',y') leseoordonnées d’un point intermédiaire qiicleonquc de la eourbe, l’aire comprise entre la courbe
Sx + h
y'dx' cl l’aire du
trapèze, par^(y -*-y Ay); l’équation du problème est donc -n- A
n j y<ix'= - (y y ày).
Or SI y' == fjf est l’équation inconnue de la eourbe et si l’on désigne par l’intégrale de y'dx! ou fx'dx', l’équation précédente devient
„ [y(x A) — yx] =1 [/i f{x -t- h)],
et en dérivant par rapport à x et observant que la dérivée de yx est fi,
2/1 [f(x ■+■ li) — fx] — h [/’x -V- /■' (x A)],
et cnOn en remplaçant f{x-r-h)--fx par A/x ou Ay, f [x h) par
h par Ax,
Pour intégrer celte équation aux différences mêlées, remarquons que si l’on pose y = e"'*, on trouve
= me”' (e"* — 1).
Comme l’équation trouvée est linéaire à coefficients constants, en y faisant les substitutions de ces valeurs, e"' se trouve être facteur commun cl l’équation est satisfaite idcniiqucment, pourvu que m soit une des racines de l’équntioii
2«(e"* — l) = 2mA -4- mA (e"* — I) ou (2n — mA)c”‘ = 2n mA.
dx
Ay = e"' (e”‘ — 1)
CALCUL I.MÉGRAL.
Si m,tn',m" .... sont les dilTérentes racines, l’int(^grale de l’équation aux différences raclées et par conséquent l’équation de la courbe cherchée est
ij= Ce-' -H C'e"'* -A- C"e-"‘ etc.
C, C, C" étant des constantes arbitraires.
Le problème suivant conduit aussi h une équation aux différences mêlées : Trouver une courbe telle que Taire M.M'N (fig. 30) comprise entre la courbe et une portion .MN d’une abscisse quelconque, d’une longueur constante h, soit proportionnelle à la puissance n‘'”‘<’ de l’abscisse AP.
En désignant par x l’abscisse AP, par y l’ordonnée correspondante MP et par x" et y" les coordonnées d’un autre point quelconque M" compris entre M et M', la distance de ce point à MN sera égale
rx-ï- h
h y" — y, l’aire .MM'N sera donnée par l [y" — y) dx" et l’équa-
tion du problème sera
Sx-*- h fX-*-h fX -*- h
iy" — y)dxT — ax' ou l y"</jc" — l ydi^—ax'.
X Jx Jx
Comme l’intégration se rapporte aux variables (x", y"), x et y restant invariables, si l’on désigne par y" = /x" l’équation de la courbe et par Fx" l’intégrale de fx^'dx", l’équation précédente est l’équivalent de celle-ci
F (x -*- h) — Fx — yh = ox".
Si l’on dérive les deux membres par rapport & x et qu’on remarque que la dérivée de Fx n’est autre que fx, l’équation devient
f(x -*- h) — fx — h^ — fiax"~' ,
c’est-à-dire.
ifx — h nax"
dx
du Av nox"“*
ou = J —
dx ^x h
Pour intégrer, l’on supposera n entier et positif et l’on dérivera n fois par rapport à x, ce qui transforme l’équation du problème dans la suivante
<l"+'y \Ax/
dx"*' dx'
540 CHAPITKE XVIII.
Elle est idenliqiicmcnl satisfaite en posant
y = Cx’',
pourvu que m soit entier, positif et inférieur à n -+- 1 ou, au plus, égal ù n -I- 1 . Comme elle est linéaire elle est aussi satisfaite en égalant y à la somme de ces valeurs; l’intégrale générale est donc
y = Cx"+' C’x' C"x*-‘ C'*>x C<-+».
Les cocllicicnts C, C ne sont pas arbitraires, car en substituant
cette valeur de y dans l’équation primitive aux dilTércnces mêlées, on trouve que celle-ci n’est identiquement satisfaite que si l’on pose
C" = etc.
Les constantes C'"’ et <7"+'’ restent seules arbitraires.
La branche d’analyse qui fait l’objet de ce paragraphe, a été peu cultivée jusqu’aujourd’hui et les géomètres qui s’en sont occupés ne lui ont fait faire que peu de progrès; aussi n'cst-ce que dans des r^s peu nombreux et pour des formes très particulières que l’on parvient, dans l’état actuel de la science, à intégrer les équations aux différences mêlées.
CIIAPITRK XIX.
Objpt dr la mvlliodc des varialiuns. Variation d'une fonction d'une seule variable. — Variation des dérivées d'une fonction d'une seule variable. — Variation d'une fonction de deux variables. — Variation d'une foneUou eontenant une variable indépendante, une variable dépendante et scs dérivées. — Variation d'une intégrale définie. — Cas des limites fixes. Limites variables. — Variation d'une intégrale définie contenant plusieurs variables dépendantes. — .Vpplieatious de la méthode des variations à la détermination des maximum et miuiinuin. — Ma.ximum ou minimiini d'une intégrale définie. Conditions relatives aux limites. Cquation indéfinie. — Autres conditions relatives aux limites. — Problèmes divers. — .Surface de moindre résistance. — Maximum relatif. — Applications diverses. — Cas ou l'intégrale contient plusieurs variables dépendantes. — Bracliysloclirône. — Lignes maximum et minimum tracées sur une surface ou lignes géodésiques. — Propriétés de.s ligues maximum et minimum tracées sur une surface. — Courbe de jilus vite descente sur une surface, et courbe de plus grande pente. — Caractère distinctif des maximum et des minimum.
2G3. Objet de la méthode des variatioiis. Variation d'une fonction d’une seule variable. — Le ctilcul differentiel avait parliculièrcment pour objet de déterminer pour une fonction donnée, le rapport de l’accroissement de celle fonction à raccroissement infiniment petit de la variable et de remonter de la valeur de ce rapport, aux propriétés de la fonction ; mais cette recherche peut être envisagée à un point de vue beaucoup plus général. .Au lieu de supposer à la fonction nnc forme invariable, admettons qu'elle passe d’une manière continue par
CIIAPITBK MX.
toutes les formes possibles; alors un ehangement infininient petit dans cette forme joint à un accroisscmenl inGniiucnt petit de la variabla, déterminera dans la fonction un accroissement essentiellement diffiérent de celui que donne le calcul dilTcrcnticl proprement dit et l’on peut se proposer, par exemple, de trouver la forme de la fonction par la condition que ce dernier accroissement jouisse de certaines propriétés données.
L’accroissement que prend la fonction y = fx dans ce nouvel ordre d’idées et qui est dû en partie à un accroissement de la variable x et en partie au ebangement dans la forme de la fonction /x, se nomme vai'ialion de y et se désigne par 3y. L’accroissement infiniment petit donne à x est entièrement arbitraire et se désigne par Sx pour l’uniformité de la notation. Pour déterminer la variation Sy, concevons la fonction fx de forme arbitraire, développée suivant les puissances entières et ascendantes de x -t- a, a étant une constante quelconque; on aura'*’
y =a -t- 6 (x -H a) -t- c (i-4- a)* -i- e (x -H a)* etc.
Comme ce développement peut représenter toutes les fonctions, il est visible que l’on obtiendra toutes les formes possibles de la fonction fx
par le seul changement des coefficients a, 6, e, e Il suit de là que
pour introduire un changement infiniment petit arbitraire dans la forme de cette fonction, il suffit de donner à ces coefficients des accroissements infiniment petits Sa, Sb, Se... entièrement arbitraires et par conséquent indépendants entre eux. La variation de y ne sera autre chose que la différentielle totale de cette série, indiquée avec le signe S et prise aussi bien par rapport à x que par rapport à a, b, e....; on aura par conséquent
Sy = bSx -t- 2c (x a) Sx -h 5e (x -*- a)’ Sx -f- etc.
Jü 4- (x -t- a) -I- Je (x -H a)’ -4- etc.
(’) On développe suivant les puissances de x-t-a au lieu de x, pour embrasser le cas où la ronction ne serait pas développable suivant les puissances entières et positives de la variable x. On pourrait du reste employer le développenicnl suivant les puissances de la simple variable, mais en laissant alors les exposants arbitraires.
C*I.Cl’L DES VABIATIOJIS.
OU bien <*’
(J'y = [6 -A- 2c (i H- *) -+- 3e (i -+- a)’ -A- etc. ] «'x
-A- -A- (x -A- a) àb -A- (x -A- a)’ ic -A- ClC.
Or, il est visible que la fonction comprise entre les parenthèses n’est autre chose que la dérivée ordinaire de la série ou de y, dérivée que
nous désignerons par P reste de la variation de y est la
partie qui est duc au changement de forme de la fonction. Comme elle est arbitraire, nous la désignerons par la lettre A et l’équation précédente deviendra
oy -A- A.
264. Variations des dérivées d’une fonction d’une seule variable.
— Les dérivées ^ etc., que nous représenterons par
p, q, r,... étant elles-mêmes des fonctions de x, a, b, c, etc., ont aussi leur variation, et il existe une dépendance remarquable entre ces variations et celle de y; en effet puisque l’on a
P = 6 -A- 2c (i -A- a) -A- 3e (x -A- ot)* -A- etc. fy = 2c -A- 2.3e (x -a- a) -a- 3.4y (x -a- a)* -a- etc. r = 1 .2.3e -A- 2.3.4.y (x -a- a) -a- etc.,
(') Remarquons que, puisque l’on a
dy = j (M-2c(x-A-a) -A-ôe(x-A-a)*-A- <9 (jc -A- a)’ -A-etc. j dx,
Jy = j 6-A-2e(*-A-a) -A-3e (x -A- a)*-A- 4y (x -A- a)’ -A- etc. j (fx,
-A- (în -A- (x -A- a) (Î6 -A- (x -A- o)’ (Je -A- etc., il en résulte que l'on a aussi
(J (dy) — j 2c -A- 2.0e {x -A- a) -A- 3.4y (x -A- a)* -A- etc. j dx Sx -A- j (J6 -A- 2 (x -A- a) (Je -A- 3 (x -A- “)’ Je -A- etc. [ dx d (Sy) = j 2e -A- 2.3e (x -A- a) -t-S.-lÿ (x -A- a)‘ -A- etc. j Sx dx -A- ) (Ji-t-2{x -A- a) Je H- 3 (x -A- a)* Je -A- etc. jd.r et que par conséquent on a identiquement
JdyxrdJy ou Sdfx — dSfx,
identité qui sert de fondement à l'e.vimsition de la méthode des variations dans la plupart des traités.
o/>=[2c-+-2.3e(a:-i-a) -+-3.4ÿ(x+a)*-t-clc.]a'x-+-(?6-4-l2(n-a) a'c-+-3(i4-a)*a'e-f-ctc. oiy=[2.3e-+- 2.3.4jr(x -<- «) -i- clc.Jax 2a'e 2.3 (x + %) 3e 3.4 (x -4- a)* 3q -4- de. r == de.
valeurs qui revicanent cvidcmincnt aux suivantes : dp
3p =-^3x -4- <?t -4- 2 (x 4- a) -4- 3 (x -4- a)* 3e -4- de.
3q =r 2a'c -+- 2.3 (x -4- a) a'e -4- 3.4 (x -4- a)* 3g -4- de.
3r = de.
Or, si l’on différencie par rapport à x la valcOT de A, en remarquant que o'a, 3b, 3c,.... sont des quantités indépendantes de x, on trouve
A = <fu -4- (x -4- a) 3b -4- (x -4- a)* oC -4- etc., = (f<) -4- 2 (x -4- a) â C
-4- 3 (x -4- al'a'e -4- ctc.,-r-T= 2* -4- 2.3 (x -4- a) (îe -4- etc.
' dx*
Les valeurs de 3p, 3q prennent donc la forme
265. Vorialion d'une fonction de deux variables. — Cela posé, considérons la fonction
dans laquelle x et y sont deux variables indépendantes et f une fonction de forme déterminée. Puisque des accroissements dx et dg font prendre à V raccroisscincnt
dV
dV . dV'
-j-dx -4- —
dx dg
