OX-+- A

dV

dy

ds dV d*à dV dx dp **” dx* dq

55!2 CHAFITHË XIX.

La différealiclle totale de V est exprimée par

dV, dV dy , dVdp^

dV,r^-j- dx -fdx -+- --Ldx dx dy dx dp dx

/dV dV dV \ .

etc.

la valeur de SV se réduit donc à

dV d\ dV

OX

SV=dV-r- Adx

f/*A dV

• -r- ^ -î- -t- etc.

dy dx dp dx* dq D’un autre côté, eomme on a en général

udv = d(uv) — vdu ,

il en résulte que l’on a aussi , en désignant par — la dérivée

dx dp

seconde de V, totale par rapport à x et partielle par rapport à p,

dV , dV\ i d*V ,

dA = d(^A-j---Adx,

/rfV^Xl d*V dq dx \dq dx J dx dq

,/dVdà\ ./id*V\ i d^V ,

\dq dx) \dx dq dq ^

valeurs qui font prendre à SV la forme suivante :

1 d*V 4 dW 1 d*V 1

dx'*' ^\dy dx dp dx* dq dx» dr ^ )

1 ( /dV d*V i d’V \

^ dx l^^dp dx dq dx* dr )

dA /dV j dx\dq dx dr

CAixiii. i)bs v.iiimioxs. ;>o-<

Si la foiiction V contenait une seconde variable z fonction indéterminée de la variable indépendante x, ainsi (juc les dérivées de : que nous désignerons par p„ q„ en rcprésculaiit par A, la quantité

analogue à A, c’est-à-dire, en faisant

A,, op, = qfiX »q,=^r,'jx etc.,

on trouverait l’expression suivante de la variation totale de T,

rfAdr dà,dV d*SdV

dx dy dz dx dp dx dp, ai* dq

f/*A, dV

-t- -T J 7— etc.

(il* dq,

à laquelle on donnera par des intégrations par parties, comme plus haut, la forme suivante :

[dV 1 d*V

A, — ; ; 1- etc.

dx I dy dx dp ’ j '[ dz dx dp,

■'■Tx‘

dx dq

clc. / •+- A, \ —

dV 1 (i*V

' ( dp, dx dq,

(iAidr 1 (/A, !(/V j

• -7- ! etc. ! X — r— ; etc. J -+- etc.

(ii( dq

dx l dq.

267. Variation d’une inléyrale définie. — Enfin si l’on considère

une intégrale définie de la forme

u = j f{x, y,p,q,r,....)dx = Ydx,

il est évident que des accroissements oi, iy, op, àq,.... donnés aux

variables x, y, p, (/,.... contenues dans 1 , feront prendre à V l’(/x

raccroissement ou la variation suivante

l (T-+- oV)il[x -4- vx) — l Vdx — i j(’ïr(/(x o'x) -4- rJoxj Jx' 'j' 'JC'

CHAriTIlK MX.

OU plutAl’*’

^ {SVdx -4- Vdix),

en négligeant Sx devant x d'après l’esprit du calcul différentiel, variation qui devient, en remplaçant o V par sa valeur trouvée plus haut,

l V dox -4- d l ox -+- A ) ; H -y- —T etc. [ dx

[ ( dy rix dp dx’ dy 1

" " s ('iï - "'•) 0 ■

Uemarqunns que VdSx + dVix est la différentielle du produit VSx cl que par ronsé(iucnl l'iiilégrole déHiiic de ces deux premiers termes

est VSx" — V'iJx' que nous désignerons par • Remarquons

.aussi que la fonction rc|iréscntéc par la dernière accolade dans l’expression qui précède, étant une différentielle totale, a pour intégrale définie, en adoptant cette nouvelle notation.

,dV 1 d«V

\-d^ - lü HT

rdA/dl- 1 d«r \"|a:

"'7Jx' ^

rd*A/dr

(*) On peut faire ici une remarque analogue à celle de la note de la page iiiO. ÿi dans régalité qu’on vient de trouver

= ^ {Sf'dx -i- f'dix).

on remplace dor par idt, il vient

^ j rdr = j HVdr-^VdSr= Jd'dr),

parcp que Ton a d’aprc5 les principes du calcul différenlicl , O (t4»’) = w^t’ -f* vou.

CALCUL DES VARIA riU.NS.

usa

La varintion >lc l’iiilL-gralc définie \ Vi/x prend donc la forme

Jx'

r" Fai

fdv

1 dM’ 1

dx dq dx*

dr

ldx\dr

dl dr

■ etc.

r^' /dv 1 (/*r 1 d’v \ ,

-t- t I , ; 1- -, - -, etc. I àdx.

2ti8. (ms des limiles fixes. Limites variables. — Si les limites x' et x" de l’intégrale définie sont invariables, le premier terme du

second membre on t o'x qui n’csl autre chose que V"aV' — V'oV,

L Jx'

devra disparaître, parce que oV' et oV seront milles. Si au contraire les limites sont variables, ce terme doit être maintenu et il représente raccruissenicnt qui résulte pour l’intégrale, d’une variation dans la valeur des limites x' et x"‘*’.

Dans plusieurs problèmes dépendants de la méthode des variations, la fonction T contient implicitement les coordonnées x', y', x", y", correspondant aux limites de l’intégrulc, ainsi que les dérivées — ,

ux

-’^ctc., ou p',p", </', rj", etc. Quand cela a lieu cl que ces quantités

(*) Il :semble que pour avoir la variation complète de \ y'dx dans le cas de x' et

jx'

x" variables, il iic suffît pas, comme on l’a supposé, de faire croître les variables contenues dans r,ot qu’il faut encore donner aux limites x' et x" de rintcgrale, des accroissements et mais il est à rcman|uor que, du chef de ces accroissements, lu variation de l’intégrale devrait être augmentée aux deux limites d’un élément dilfércnliel, cV.st-ù-dire, de o' ( r"dr") — ( K'dr'), quantité négligeable devant la

variation trouvée plus haut, puisque cette qitantilé est iiilinimcut petite du second ordre.

cim'iriif! MX.

UC sont piis invariables, il futil pour avoir la valeur la plus générale Je lu variation de l'intégrale déOnic, faire prendre à ces quantités des

accroissements ix',Sxf',àp',êp",iq', etc., ce qui produit dans i Vilx un accroissement égal à

— f ^ aV(/x + ( ^ «V'rfx de.

Jx' h'

qu’on peut écrire ainsi

r^"dv dv

Jx' l — dx-v-Ji"i -j-j- dx cXc.,

Jx' Jx'

parce que Jx', Jx" se rapportent h un point déterminé et sont par conséquent des facteurs communs dans ces intégrales, et cette somme

doit être jointe à la variation de i Vdx trouvée plus haut.

Jx'

Si les données de In question établissaicnl entre x', i", y', y", p', etc. une relation

f[x>,xr,y',y'\p\p’\q' ) = 0,

on serait conduit par la dilTérenciatiun à une relation entre les accroissements ou variations de ces quantités, de la forme

.4 Jx' -4- Six" -4- CJ^ O

au moyen de laquelle l’une de ces variations pourrait être éliminée de la somme qu’on vient de trouver.

l'ài remplaçant i, — > de., par leur valeur Jy — pii,

ip — qix, Jy — rii, etc., 1a variation d’une intégrale définie prend

la forme

CALCUL llï» VAHIATIO.AS.

/dV

1 JM’" ^

jÿ' d,,-'

) ''Vjr,"

dx" dr" )

. ■ -U 4'le

1 JM" \