de

dx' d(f'

) ‘ V dr/'

Jx' dd )

dV

i V' - Ü7' i - i 7/7 - rf7>

dV" 1 (/*»•” ) „ ^dV' 1 d*r

/ </</" ~ ./y- 7r^ \ I dr,' dx' (/»■'

etc. l 'j/t'

{7 fdv \ </*r 1 <i’i' . \

Jy \dy dx dp (/x* di/ J

r*" dV dV

et pour y ajouter les termes o/ ^ ~dx''^^ oV' ^ , rfx-i- ete.,

l>rovennnt de la variation des limites, il suffira d’ajouter aux cocnicients

, . C^'dV , C^'dV ,

préct*deiilsdeox',?aV', oÿ', etc., les intégrales^ ^

(•) CcUo oxpn^ssion de la variation dVinr intégralo dtdinie ocrait encore vraie pour

une integraie Indéniiic; il suHirait de rcmplaeer x*\ y", p", q" par x, y, p, q..,.

Sous celle nouvelle forme, elle peut servir à démontrer, d’une manière indirecte ù la vérité, un ihéurctne important du calcul intégral. Si Tdx, c'est-à-dire,

fl^ J. !LÆ...^.\dr était la difTér-enlieJlc cx.ac.le d'une fonction /' de la \ ’ dx dx* /

forme f(x, y, ^ varialion de l'intégrale y l'rfx se confon-

lirait avec la variation de l\ Or, on a vu an .N" 2(>0, que la variation de

v(x,ij, —, ) ne contient aucun terme sous forme d’inicgralc; il faut

\ ïLt dj-* /

donc, quand Vdr est une dilicrentiellc exacte, que l'intégrale qui entre danx l'expression de la variation <le f l'rfr. disparaisse également, ce qui ii’arrise que

cti^pirnE xix.

2C9. f 'ariation d'une intégrale définie contenant plusieurs variables dépendantes. — Si la fonction V, outre la variable dépendante y

et ses dérivées — » *-7-^;» etc., contenait une seconde variable dépendx dx^

dz d*z

d.mtc Z fonction indéterminée de x, ainsi que .scs dérivées -r-> >

dx rfx*

etc., ou r„ la variation de l'intégrale déGnic deviendrait,

d’après ce qu’on a vu au N‘ 200,

â || Ydx = V"ox" — Vix' -h i" — etc.^ — A' — elc.^

di!' /dV" \ dl' /dV \

r^" . /dv 1 d*v \

]jj^'^\d<J dxdp'^^^^'J

„/'dV" \ ,/dV \

d^" /dV' \ dlf/dV \

dx'\d;ir ‘■‘“^7“^ U// “"“"y

r ‘" , /dv i dM' \

si Ton a idriitiqiiPiuc'nl

fit' I f/*r ! f/'V

— etc. = 0.

</// f/o* dp <i.v* dq

{Mii«>qiic A plarê SOUS Ir signr d'intôgralion rsl urMM|iiaii(ile qui doit rester arbitraire et (juc par conséquent rinlégmtioii indiquée est impossible sans cctle c<|ualion. Telle est donc la condition uéces>airc pcnir que Vdr soit une dilîéiviitiellc exacte. Celle condition est aussi sulTisante, cor elle rend la variation J Tiijr indé|)cndanle de toute inlégrale, ce qui, visiblement, n'a jamais lieu lorsque J* Tf/r

uVsl na> une fonction de la forme F (x. w, — , \-

\ dr df' /

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CAJXUI. VAIIIATIÜ.NS.

qui, apres que I iiii aura reinpiacc A, — i A„ — > etc., par leur

dx dx

\aleur Ji/ — ip — fjox âz — Pi'^x, op, — <j,^x, , prendra

la forme

U» ~Tx" Tf V ^ U" “ '‘'7

/d\" 1 //M"' \ , „ /dV" \ „

Afr 1 d^-y /f/v'

CeA .c' ^ Æ - ce A

\dp; dx' dij, J \dq, J ‘

« d'-y \ , /dv 1 </n' , \ ,

'270. Applications de la méthode des variations à la détermination des maximum et minimum. — La lliéocie des maximum et minimum exposée dans le ealcul différenlitl , a pour Inil de trouver la valeur de SC qui rend i/ maximum ou minimum dans une équation de forme déterminée en x et i/. La niétliode employée pour eette rcclierclic est fondée sur ee que, au moment du passage de la fonction ÿ par le maximum ou le mininiuin, un accroissement iuiiniinent petit donne à la variaLile indépendante x ne produit pas d’accroissement dans la

CHAIMTIIB MX.

ronction i/, c’esl-à-dirc sur cc que la diirércnlielle de la ronclion y est nulle. Le calcul des variations a parliculièrement pour but de traiter lu question des niuximuin à un autre point de vue; ici la relation entre x et y est indéterminée et on se propose de la déterininer par la condition qu’une certaine quantité exprimée par une fonction donnée , . du (/*(/

de (x, 1/1 et des denvees -r4 soit un maximum ou un mini-

' dx dx*

nuim. Par un raisonnement semblable à celui employé dans le calcul dillérentiel, on rcconnuit que si l’on donne à x un accroissement dilTcrcntiel et qu’on introduise dans la relation entre x cly un ebangement inriniinent petit entièrement arbitraire, il en résulte dans la fonction donnée un certain accroissement i|ui doit être nul au niomcnt du maximum ou du minimum. Or, introduire un ebangement inriniinent petit dans la valeur de x et dans la relation entre x et y, c’est faire croître ces quantités de leur variation, et raccroissenicnt qui en résultera dans la fonction donnée de x, y, p, 7,.... n’est par conséquent autre chose que la variation de cette fonction; c’est donc cette variation qui doit être nulle pour que la fonction soit maximum ou minimum.

271. Maximum ou miuimum d'u/ie inU'yrale définie. Conditions relaliees aux limiles. F.qualion indéfinie. — Cela jiosé, représentons par V une fonction donnée de x, y,p, 7, r,.... et proposons-nous de trouver, parmi toutes les relations possibles entre x cl y , celle qui

rend la fonction l Vdx maximum ou minimum. Il résulte de ce qui

précède qu’il faut pour cela, égaler à zéro la variation de cette intégrale dérinie, variation que nous re[iréscnterons |)our abréger par

,1'oV -O -t- H’iy' 4- n">hj" + C'ip'-i- C"ip"

et qui SC compose d'une suite de termes multipliés respectivement par les variations de x, ty, p, 7,.... prises aux deux extrémités de l’intégrale et d’une intégrale définie. Si les extrémités de l’intégrale ne sont soumises è aucune condition particulière, les variations

oV, Jx", StJ, ây", âp', sont entièrement arbitraires, et coiuine

l’intégrale délinic qui entre dans l’expression de la variation représente ellc-mcmela somme des valeurs de Cils mullipliécs respectivement jiar A, qui est un coellicient entièrement arbitraire pour chaque élément de l'intégrale, on voit que la variation d’une intégrale définie sceonipose