CALCUL UES VAHIATIO.NS
JÜl
d’iinc somme de produits de certains faelciirs par des eoellicienls entièrement indéterminés, ün conclut de là (|ue chaque l'acteur doit être nul séparément**’ c’est-à-dire que A', A", If, 11",..., doivent être égales à zéro ainsi que toutes les valeurs par lesquelles |)asse U entre les deux limites de l’intégrale, ou que l’on doit avoir pour une valeur quelconque de x,
Cette équation différentielle se rapportant à tontes les valeurs de x, comprises entre les deux- extrémités de l’intégrale, est une éfjuation indéfinie, tandis que les premières ne se rapportent qii’à l’une des deux extrémités de l’inlégralc.
272. .iulres conditions relatives aux limites. — Quelquefois les extrémités de l’intégrale sont Oxes; c’est ce qui aurait lieu pour une question de cette nature : mener entre deux points donnés la courbe qui jouit de certaine propriété maximum ou minimum. Dansée cas les variations dx’, ox!', ày', 3\j" sont milles et les termes qui les contiennent disparais.sent de l’équation sans donner lieu à aucune équation de condition. Si l’on donnait la direction lixe du premier élément de la courbe, ou celle des deux ou trois premiers éléments, ce qui revient à donner les valeurs fixes de p, de p et r/, ou de p, q, r pour les
extrémités de la courbe, alors les variations àp', 5p", ir/, Sq",
seraient aussi nullcs. Dans certains cas, les variations extrêmes oV, 3ij', "Ji", 3y",.... ne sont pas entièrement indépendantes. C’est ce qui arriverait si les coordonnées (x'y) cl(x"ÿ") devaient satisfaire à certaines conditions exprimées par des équations entre (l'y') et (jc"y"), si les extrémités étaient assujetties, par exemple, à demeurer sur des courbes données. Il est visible que les accroissements oV et 3y' dépendraient alors de la forme de cette courbe et qu’il existerait entre ecs variations la même relation qu’entre les différentielles de ecs coordonnées prises
(*) Soit CO clfcl l'cqualinn suivante
A n A- Bh A- Ce Dit =0
ilaus laquelle n,h,c,d,... soûl des coctficicuts ciilicrcmcnl arbitraires, et .1, fl, t',.... des i|uiuitilcs iiidcprndantcs de o, ft, r.... .Si l’on fait tous les cocniciciits nuis à l'c\- <'c|ilioii de i'iiii d'eux b, qii’oii laisse arbitraire, ou aura
fl«-=0
et comme 4 reste arbiliaire, celle deruicre équation ii’est possible que si B — tt. On raisoiiucra de la iiiL'ine iiianiêre sur les autres faeteurs .1 , C . ..
CIIAmilE XIX.
ilaiis l’équation de la courbe; si done dy = fX.c/x est celle équation dilTérentielIc, on aura aussi
iif = yx'.oV
et eu rcmpl.açant iif par sa valeur dans la variation générale, le coefiieient total de oV devra être égalé à zéro. En résumé, on voit qu’en général, il faudra supprimer les termes multipliés par les variations des quantités qui sont fixes aux extrémités de la courbe; |iuis, si la question admet des relations entre quelques-unes des autres variations relatives aux limites, se servir de ees relations pour éliminer le plus grand nombre possible de variations et enfin égaler à zéro chacun des cocITieiculs des variations qui restent indéterminées. L’équation difTércntiellc indéfinie = 0, c’est-à-dire
(IV 1 d*r 1 d»V
K--- etc. = ü
dy dx dp f/x’ d(j
donne lu relation qui doit exister entre x et y pour que l Vdx soit
un maximum ou un minimum, n’csl-ù-dire que, étant intégrée, clic donne l’équation de la courbe elicrchéc. Les autres équations qui se rapiiortcnt aux limites, servent comme on le verra dans les applications suivantes, à déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans l’intégrale.
273. Problèmes divers. — Déterminer la ligne la plus courte qu’on puisse tracer entre deux points dans un plan, ds étant l’élément de la courbe elicrcliéc, on a
ils = dx [/ 1 -V- y*
et en représentant par (x”, y') et (x", y"), les coordonnées des points extrêmes donnés, il vient
s = l j/l -H dx ;
Jx'
il faut donc que l |/l -t- p*dx soit un minimum, ou que l’on ait Jx'
Jx'
CALCUL ncs VAilUTIO.NS.
Il est visilile que la fonction T de la forniulc générale représente ici j/ 1 ♦- /)* cl que par conséquent il faut y faire
v = /rT7ï,
dV^ dV P dy ~ ’ dp ~ y/ y ^ pi ’
— = 0, etc.
dq
L'équalîon différenliclle du la courbe est donc
— ■ = consl. ,
et par conséquent p = const. = c.
On tire de là
dy==cdx et i/=cx-l-c',
qui est l'équation de la ligne cherchée. On voit que eette ligne est droite. Les e.xtréinités étant fixes, les variations oV, <Tx", iy', iy", sont nullcs et il n’y a pas d'équations aux limites. Les constantes c et c' SC déterminent ici par la condition que la droite devant passer par les points (x', tf) et (x", ty"), ces coordonnées doivent satisfaire à l’équation de la droite, ce qui fournil, pour déterminer c et </, les relations
y' = ex' c', y" = ex" -i- c'.
Chercher la ligne la plus courte ou la plus longue qu’on puisse mener entre deux courbes données dans un plan.
On aura encore comme précédemment
'i y* dx ~ ü d’où P ~ c
et y = ex -H (/,
c’csl-à-dirc que la ligne est encore droite. Les extrémités (x", tj), (j",y") ne sont pas fixes, puisqu'elles ne sont assujetties qu’à se trouver sur deux courbes connues; les variations Sx!, Sy', Sx!’, Sy" ne sont donc pas milles, mais il existe entre elles la relation
S y' = yx'oV , Sy" = ■^x"Sx" tirée des équations de ces deux courbes.
CIIAI'ITItE XIX.
ÜC,i
Si l’on rciiiplatc ôij’ cl ^ij" par ces valeurs dans la partie de la variation qui sc rapporte aux limites et qu’on égale à zéro les cocfllcicnts des variations àx' et àx" , on trouve
■ yj/ = 0
j/i -H />■'» /i -A- jr-
qui se réduisent à
1 -A- p'yx'= 0 , 1 -A- = 0 ou 1 -A- cyx' = 0, 1 -A- cj>a:" = Ü.
Ces deux dernières équations jointes aux deux équations données des deux courbes et aux deux suivantes
y' = ex' cf , y" = ex" -a- cf
serviront à déterminer les six inconnues c, c', x', y', x", y".
Les équations
