A- p'yx' =0 cl \ = ü
font connaitre une propriété de la ligne maximum ou minimum. Si aux points où lu ligne ehei'ehée atteint les deux courbes données, on mène à celles-ci des tonebantes, ainsi qu’à la ligne cherchée, les tangentes trigonométriques des angles que ces tonebantes feront avec l’axe des X sont ÿx', 'Jix" cl /)', p"; les deux équations précédentes expriment donc que les tangentes aux extrémités de la ligne eberebée sont perpendiculaires aux tangentes menées aux deux courbes données, c’est-à-dire, que la droite la |ilus courte ou la plus longue est une normale commune aux deux courbes.
274. Surface de moindre résistance. — Trouver l’éijualion de la courbe qui par sa révolution autour d'un axe, engendre lu surface qui éprouve le moins de résistance, en se mouvant dans un fluide, parallèlement à cet axe.
Supposons la courbe AD (fig. 44) assujettie à passer par le point fixe A et à SC terminer dans une parallèle UC à l’axe des X, en un point indéterminé 1). Ou démontre (X“ 20U de la mécanique) que la résis-
CALCUL DES VARIATIO.'IS. ’j(iS
tance R qu'oppose In surface engendrée par la rolntion de la courbe AD autour de l’axe des X est donnée par
l’intégrale étant prise depuis A jusqu’à D ou depuis x = OE = x' jusqu’à X == OA = x", c’est-à-dire qu’on a
R = Sott.u* y Vt-^- — : '/*•
Si la courbe AB était connue, on tirerait de son équation les valeurs de ÿ cl P et une intégration ferait connaitre R; mais si eette courbe est inconnue et qu’on veuille l'assujettir à la condition de rendre R minimum, il est évident qu’il faudra égaler a zéro la variation de R, c’est-à-dire poser
cix = 0,
et par ébnscquent substituer, dans les formules générales, les valeui's suivantes :
P* (/f P* (IV ôp* -4- P*
^1-4- P*’ (ly 1 -4- p^’ dp ■^(l-4-p-)*’
1 (l-V '2pqt/{p* — 3) 3 -4- P* J
(Ix dp (I -4- p’)’ (l-L-p"*)*^
On trouve ainsi pour l’équation dérivée de la courbe,
Pour intégrer, remarquons que
dp dp dy pdp
dx dy dx dy ’
CtlAPIinE \\\,
et en substituant cette valeur de q, l'équation i]e%ient
d'où Ton tire en intégrant.
Si Ton remplace y par celle valeur dans réquation dérivée de la courbe.
cellc-ei devient, en rcincllant^— pour^,
qui a pour intégrale ,
Ap* J
Une élimination de p entre cette dernière équation et la valeur précédente de y, conduira à une relation entre x cl y qui sera l’équation clicrclicc de la courbe.
Pour ce qui est des équations aux limites, remarquons que Sx" et Sy" sont tiuilcs parce que la première extrémité A de la courbe est fixe, et que Sy' est aussi nulle, parce que la seconde extrémité se trouve sur la droite BC dont l’équation est
Les autres variations S£, Sp', Sp" sont entièrement arbitraires et
leurs coeflieients doivent cire égalés à zéro; ou a donc
d’où l’on lire
qui apprend que la courbe est tangente à BC au point D.
Si l’équation de la courbe était connue, on en tirerait la valeur
de~ = p', qu’on égalerait à zéro, ce qui rournirait une première
CALCUL DLS VAlilAllONS.
aC7
(■quation entre C, C et x'; les deux autres ('quations seraient fournies par la condition que la courbe passe par les points A cl D et que, par eonstiqucnl , les coordonnées ÿ"= 0 et x", y' = a cl x' doivent satisfaire à l'équation de la courbe.
La surface dont on vient de déterminer l’équation est connue sous le nom de surface de moindre résistance.
11 est ù observer (|uc lorsque la fonction V ne contient que y et p, l’intégrale première de l’équation iudcllnie
dij dx \dpj
s’obtient immédiatement et d’une manière generale; car la différentielle totale de K sera égale à
(/V == -T- du -t- -7- dp dij dp '
dV
et en éliminant -7—1 on transforme la première dans la suivante dy
dV:
qui a pour intégrale
dp
"cite remarque peut du reste être généralisée, pourvu que V ne contienne pas la variable indépendante x; car des intégrations successives par parties font prendre à l’équation indéfinie générale, après qu’on l’a multipliée par dy, la forme suivante :
En tenant compte de la différentielle totale de V
... <iy , àV dV
d V = -7- du — dp -L- dq -rdy ^ dp dq '
la précédente devient
CIIAI'ITnE XIV.
, {dV i ./'dV\ \ ,,/dV\
IdV I ,/dV dif dx \ dr
elc.j-
\dV
-n^-ete.
\dV )
qui est l’intégrale première de l’équotion indéfinie.
dV
Si y n’entrait pas dans serait nul dans l’équatiuii indéfinie
qui devient visiblement une diirérenticlle exacte ayant pour intégrale
dV 1 JM’ dp dx dq
etc. = C.
27a. Maximum relatif. — Dans les problèmes précédents, les variables qui entrent dans la fonction V ne sont assujetties qu’à la seule condition de rendre l’intégrale définie, la plus grande ou la plus petite possible; mais dans un grand nombre d’applications, ces variables et leurs dérivées doivent satisfaire à d’autres conditions, comme cela aurait lieu si l’on demandait de trouver la relation entre x et 1/ qui
rend maximum l’intégrale définie l Vdx en y joignant la condition
Jx'
qu’une autre intégrale définie ^ V’dx, que nous supposerons prise
entre les mêmes limites, ait une valeur constante donnée. Le maximum ou minimum ainsi trouvé, n’étant idus absolu mais relatif à la valeur fixée pour la seconde intégrale définie, prend le nom de maximum relatif.
Pour trouver cette relation entre x et y, remarquons que comme l’Info'
tegralc \ Vdx doit être un maximum, sa variation doit être nulle, ce Jx'
qui conduit à une équation de la forme suivante
doV -I HCx” ■*- C'UJ + D'hj" +
l X.lJdx = Jx'
CALCUL DES VABIATIONS.
D’un autre C(Uc, comme l’intégrale (liTiiiic i V'dx est égale à une
Jx'
constante /, sa variation est aussi nulle, ce qui donne lieu ù une autre équation de la rornie
fï"
/l'av -+- irsx" -4- ühj' -*■ iyoy'-A- \ ^.u'dx = o.
Jy
Si le maximum était absolu, on n’aurait qu’à satisfaire à la première des deux équations précédentes, et l’on sait qu’après avoir éliminé le plus grand nombre possible de variations au moyen des équations de condition qui se rapportent aux limites, il faudrait égaler à zéro les cocflicients des variations restantes Sy', 3y" A qui sont arbitrai-
res; mais si l’on doit tenir compte de la seconde de ces équations, celle-ci devient une nouvelle équation de condition, au moyen de laquelle il faudra éliminer encore l’une des variations arbitraires 3y\ par exemple, ce qui conduit à l’équation suivante, en observant que les coclTicicnts Cet C sont deux constantes, et peuvent par conséquent entrer sous les signes d’intégration ,
(^A-~ .l'^oV-H fl') oV'-A- 1 D')oy' (^E- ^ E' . .
Comme les variations restantes Sx!, Sx!', Sy", Sp'....i sont toutes indéterminées, on posera
d-^d'=0, fl£fl'=0, =
dont la dernière est une équation indéfinie qui fait connaître la relation cbcrchéc entre x et y.
Si, au lieu d'éliminer Sy', on avait éliminé une antre variation Sy", par exemple, on aurait trouvé
Î)7Ü ciLU'miE XIX.
et en ëgalant ù zéro tous les eocllicients ,
On trouverait de la même manière pour équations de condition et pour équation indéfinie,
Il est à remarquer que ces dilTérenls systèmes d’équations sont identiques; car elles se ramènent toutes aux suivantes ;
L’élimination de l’une des variations peut se faire d’une manière plus générale, en réunissant les deux équations, après avoir multiplié les deux membres de l’une d'elles par une constante indéterminée a, ce qui donne
et en égalant à zéro le coelficient de chaque variation oV, Jx" A,
ce qui donne
A-\-aA'^0, = C-^aC' = 0 U+aU'=(\
cl il est visible que l’élimination de a entre ces équations conduit au même résultat que plus haut. Si les variables sont les coordonnées d’une certaine courbe, les premières de ces équations se rapportent à scs deux extrémités cl la dernière est l’équation indéfinie de la courbe ellc-méme.
L’emploi de ce eoeflicient indéterminé présente cet avantage qu’au
lieu de développer séparément les variations de l Vdx et l V'dx
Jx' Jx’
pour éliminer ensuite ox' ou ^x", etc., il sullit de multiplier la seconde
CALCUL DES VAIIUTIONS. 571
intégrale par un roeflicient constant indéterminé a, de prendre ensuite
la variation de la soninic l ( V -t- oV")(/x, et d’égaler à zéro les coef- Jx’
ficients de tontes les variations arbitraires, ce qui conduira visiblement au même résultat que plus haut.
270. Applications diverses. — Appliquons cette théorie à la solution de quelques |)roblcmcs.
1” Trouver entre toutes les courbes planes de meme longueur, passant entre deux points fixes, celle qui renferme la plus grande aire. En désignant par (i*, g') cl (x", y") les coordonnées des deux points
fixes, la surface est représentée par 1 gdx et la longueur de la courbe
par
Dans les formules précédentes, il faut donc poser
V' = y et = -H ;i-, d’où l’on tire pour la première,
dV , </V’ ,
-r- = I , -J- = 0, etc.
dg dp
et pour la seconde ,
dV dV P dV
= 0, — = — = 0,etc.;
l’équation dérivée de la courbe oa U a U' = 0 est doue
d’où l’on tire
x= — p= et (y — c)*-A-(x — ù|* = a*.
j/o* — {x — by
On voit que la courbe cherchée est un cercle.
Comme les deux extrémités sont fixes, il n’y a pas d’équations aux limites. Les constantes 6, c et a se déterminent au moyen de trois
CilAPITItK XIX.
équations de condition qui cx|irinicnl que la courbe trouvée passe par les points (x', y') et (x", »/') et que la longueur de la courbe est égale à l. Pour trouver cette dernière, on remplacera p par sa valeur précédente en X dans
p*dx = l
et il vient
rx"
adx
Ix' i/o} — (x — b)’
«t d ou a{urc$in arcsin —
2” Parmi les courbes isopérimUres, c'esl-d-dire de même longueur, menées entre deux droites données, quelle est celle qui jouit de cette propriété que l'aire renfermée entre la courbe et les deux droites est un maximum?
En prenant l'une des deux droites OA (tig. 45) pour axe des Y cl l’intersection O pour origine, l’équation de la seconde droite OB sera en désignant par a l'angle qu’elle forme avec la première.
y = X cot a ;
on a donc la relation suivante entre les variations des coordonnées (x'j y) de rcxlrémilé B,
oy' = cot a.i'x'
et à l'autre extrémité A, comme on a x" = 0, <fx" est nul. L'aire AOB comprise entre la courbe et les deux droites est donnée par ABPO — OBP, fX' ,x'
c’cbl-è-dirc, \ ydx — l cot a. xdx ou bien
Jo Jo
(y — X col a) dx
cl la longueur de l’arc AB est égale à /1-H P* dx. La première de
CCS intégrales devant être un maximum et la seconde devant être coMSIantc, on a vu qu’il fallait égaler à zéro la variation de l’intégrale délinic
l (y — X cot oL a [/ i P*) dx.
CAIXUL UEi VAHUTIONj.
Ou trouve pour équatious aux limites,
0, y — x'cot* +;/* 1-
(ip'eola
qui se réduisent aux suivantes ,
p" = 0, 1 p' cot « = 0.
L’équation indéfînic est
qui a pour intégrale
La courbe cherchée est donc un cercle dont m et n sont les coordonnées du centre. En dérivant, puis se plaçant aux deux extrémités de l’are, en tenant compte de p" et p' et observant que y' = x' cot a, on trouve que m et n sont nuis, c’est-à-dire que l’are de cercle a son centre placé à l’intcrseclion des deux droites. On détermine a comme dans le problème précédent.
3” Parmi les courbes isopérimètres planes jiassanl par deux points fixes, quelle est celle qui par sa révolution autour de l'axe des A' engendre la plus grande ou la plus petite surface?
L’aire d’une surface de révolution et la longueur d’une courbe étant exprimées par
jft jJt
2tt l H l/l -I- n*rfx et l ]/\ +p‘‘ dx = l,
Jxf Jx'
on a
V=y/r"-HpS V’'=(/l+p‘ et on trouve pour équation de la courbe,
dx
qui appartient à la ebainette. Les constantes se détermineront comme dans le problème 1".
CtUrlTHE XIX.
Si le volume engendré devnil être un maximum, la fonctiun K serait y* et l’équation düTércnlielle de la courbe deviendrait
tlx =
(ft — y'Kv .
Cette équation est celle de In lame élastique.
4" Parmi tes courbes planes uniformément pesantes de même longueur, passant par deux points fixes, guelle est celle dont le centre de gravité est le plus bas ?
L’ordonnée du centre de gravité d’un arc de courbe l compris entre les points (x’, y') et (x", y") est
Oii a aussi
^ yds V ijdx i/Th- ;<»
jcf • xf
^^|/ï -t- p^dx;
l’intégrale définie qu'il faut rendre maximum est donc
-+- /)* -H « |/l -4- P*) dx.
On trouve pour solution, la cliuiuettc comme dans le problème troisième; ce qui, du reste, résulte aussi de ce que la surface d’un corps de révolution étant donné par le produit de la longueur de la courbe, et de la circonférence décrite par son centre de gravité, le maximum de la surface du 3"'" problème doit coïncider avec le maximum de l’ordonnée de ce point.
Si l’aire comprise entre la courbe et l’axe des X restant constante, devait avoir son centre de gravité le plus bas possible, cette dernière intégrale serait remplacée par la suivante :
oy) dx ,
CAIXUI, DES VABI.UIONS.
et l’on trouverait que la ligne cliercliée est une droite liorizunlale. Enfin si l’on demandnit quelle est,par7iii les courbes de même longueur tracées entre deux points fixes, celle qui jouit de la propriété d’avoir le centre de gravité de l’aire comprise entre la courbe et l'axe des X le plus bas jyossible, en désignant par y, l'ordonnée de ce point et par l la longueur constante, on aurait à la fois
! Ja/
,JVr
p*dx.
Or, si l’on se rappelle la forme de la dilTérenlielle d’une fraelion, il est
visible que la variation de - est —
U vau — mv
et que par eonsequent,
Jy, = O conduit à l’équation
j ydxJ J y’(/x — j y*rfx.t? j ydx = O
qu’on peut rciiiplacer par
fX fX ex"
y’(/x — îiyjo'j ydx — t), ou plutôt, u" ^ (y* — 2y,y)(/.r = 0,
parce que y, est une constante inconnue. D’un autre côté on a x"
^ p^dx = 0.
En multipliant l’une des deux variations par un coeflicient arbitraire a et en les réunissant un est conduit à l'équation de condition
^ \ iv* — -yUf " /* P')
On trouve pour équation indéfinie,
!S7C CIUNTHE XIX.
qu’on peut mettre sous la forme suivante, en substituant à dx sa
Si l’on effectue la différenciation indiquée, on trouve pour intégrale première ,
,1^ Qy* — 2.y,y- C)(/y
et l’intcgrale finale s’obtient par une quadrature. Cette équation appartient à la lame élastique. Les deux constantes arbitraires introduites par l’intégration, le facteur a et l’ordonnée minimum y,, se déterminent en exprimant que la courbe passe par les deux points extrêmes et en effectuant les intégrations dans les équations suivantes :
apres avoir remplacé y cl-^oup par leur valeur en x tirée de l’équa-
tion finie et de l’équation différentielle de la courbe.
'277. Cas où l’intégrale définie contient plusieurs variables dépen-
dantes, — Si dans Tinlegrale l Vdxy la fonction V renfermait une
Ja/
(Iz n*"
seconde variable z fonction de x, et scs dérivées ^ il est
dx dx*
visible qu’il faudrait encore égaler à zéro tous les coefficients des variations qui ont une indétermination absolue, ainsi que l’intégrale
définie qui entre dans l’expression de la variation de l Vdx. Cette
dernière équation
est, en représentant
dx’
etc., par/),, etc.,
dx
1 d*V dx dp,
-t- ctc.^
dx= (I,
