CAI.CUI. DES VAIIIATIONS

DU Lien, en remplaçant A cl A, par leur valeur ^ij-

•])îx et 'Jz —

[■^•"r/dv 1 d‘-v \, /dv 1 r/M'

Jj' L\‘^v ^ ^ ^ \</= '/■T <h>> ^

1 /(/V i (/*V \ /dV i d’-v

11 faut ici (lislin;;ticr deux cas. La nature de la question peut laisser (^x, àij, dz) cuinplètcmenl indéterminés. C’est ce qui arrive lorsque les variables ne sont soumises qu’à la seule condilion de rendre maximum l’intégrale définie. II faut alors, pour satisfaire à l’équation précédente, égaler à zéro les trois eoeflieients, c’est-à-dire, poser

dx dp

/dV 1 (/*!’ \ /dV 1 d*V

P (i^-Tx -df " ^ P' (jü~ Tx -jf,

l d‘ V dx dp,

etc. — O

elc.^ ;

et comme 1a troisième équation est une conséquence des deux autres, il suflil d’avoir égard aux deux premières qui sont des équations indéfinies entre les variables (ac, y, i). Si celles-ci sont des coordonnées, ces deux équations différentielles sont celles de la courbe à double courbure que celte théorie a pour but de déterminer.

Dans certains cas, la courbe est assujettie à de certaines conditions qui ne laissent pas à dx, dij, 3z une entière indétermination. C’est ce qui arriverait si les variables x, y, z devaient satisfaire à une équation donnée, par exemple, si la courbe cherchée devait se trouver sur une surface donnée par son équation. Celte condition établirait entre dx, d>j, dz une relation dépendante de l’équation de la surface, relation qui serait

<»'x = Adtj -A- ndz ,

réquation différentielle de la surl'ace étant

dx = Adij -A- Ddz.

A et U sont des fonctions connues de (x, y, :). fin éliminant alors dx sous le signe d’intégration, l’intégrale devient

dx dp

de.

CHAPITRF. XIX.

el comme les deux variations Jy et Sz ne sont plus soumises à aucune condition, elles sont entièrement arbitraires et il faudra poser

— etc

ax dp

Remarquons que ces deux équations sont identiques; en effet l'cqualion différentielle

dx t= Adtj + Bdz

donne en divisant par dx,

i = Ap Bp,.

Si, à l’aide de celle équation, on élimine i — dp et i — Bp,, elles se réduisent l’une et l’autre à

/dV i d^V \ „ /dV 1 d»V \ ^ „

Celle équation jointe h celle de la surface, ou dx == A dy -e Bdz

sont done les deux équations différentielles de la ligne demandée.

fx"

Lorsque, à la condition du maximum de l’intégrale définie i rdx

Jx/

est jointe la condition qu’une seconde intégrale définie \ V'dx soit

Jx'

égale à une constante l, il suffit, comme au N“ 275 de rendre niaxi-

muni l’inlcgralc ^ (V -t- al ')dx. Enfin si les variables x, y, z, p,p,....

qui entrent dans la fonction V devaient satisfaire à l’équation indé- (inic V' = 0, contenant x, y, z, p, p,, y, q,...., en inultiplianl V' par dx, il est visible que pour toute valeur de x, T'dx serait nul cl

CALCUL DUS VAniATIONS.

par conséquent en prenant la somme de ces valeurs depuis x' jusqu’à 3!' , on aurait aussi

\ V(lx = 0,

Jx'

c’csl-à-dirc que l’intégrale définie t Y’dx serait constante. Il faudrait donc encore égaler à zéro la variation de l’intégrale définie

278. Brachyslochrùne. — Appliquons ces formules à la résolution de quelques problèmes.

1" On demande quelle est la courbe que doit suivre un corps pesant pour descendre d’un point (a/, 1/, 2'), à un autre point (x", y" , 2") dans le moindre temps possible.

Comme la vitesse du corps à une époque quelconque est celle qui est due à la hauteur de la chute verticale, (voir la mécanique N“ 129) quelle que soit la courbe décrite, on a à une époque quelconque, en prenant l’axe des X vertical et dirigé vers le bas,

U* = 2ç (x — x') , ou ^ =» |/ 2ÿ (/x — x'

dt =

|/ 2ÿ (/x — x' \/'2g |/x — a' d’où l’on tire la valeur suivante du temps t de la descente, temps qui

doit être roiiiiinum ,

l/igJx'

1 f^Vl +p* -t-pr

dx.

On voit que dans les formules générales il faut faire

) -f- — 0> de.

‘l'J ‘Ip [/ X — x' [/i-h p‘-*-pi^

dz ’ dp, |/x — x'|/ 1 P,* 'l'Ii

dV „

, ==0, etc.

ClIAMTIie MX.

Cuininc les dilTércnts points de In courbe ne sont soumis à aucune couditiou autre que celle du minimum, les variations êy, 3z sont arbitraires; il faut donc poser les deux équations

dV \ d^V

01/ dx dp

dV 1 d*r

; — ; h etc. = 0

dz dx dp,

qui se réduisent aux suivantes

= 0, ; — =0 d nu

dx dp dx dp,

c’est-à-dire,

Ces équations se simplifient, car on en tire

- = ^, don dy = ~dz cl y = -z + D.

Cette dernière équation fait voir que la projection borizonUilc de la ligne cberchéc est droite, c’csl-à-dirc que la courbe est renfermée dans un plan vertical. Si l’on prend ce plan pour celui des XY, il

faudra égaler à zéro z et par conséquent^ ou p,. Les deux équations

de la courbe se réduisent ainsi a la suivante :

^ — = C\/x — x', d’où P ou ^ = ±

y \ -t-p* dx

Comme le corps descend, les x vont en augmentant et dx est positif; il faut donc prendre le signe -h et poser

|/x — x' dx

(x — x') dx I (x — x”) — (x — y)-

CAIXl'I. DES VARIAT lO.XS.

'iKI

On rccuniinil dans wtle cqualion, une cycloïdc verticale, qui com-

mcnce au point de départ. Le rayon du cercle générateur

La constante C et celle qui sera introduite par l’intégration de cette équation, sont détcriuinées par la condition que la eourlte passe par les points (x*, y') et (x", i/'J. Cette courbe, de plus vile deseente, est connue sous le nom de briichyslochrùne.

Les équations aux limites ne fournissent aucune autre condition, tant que les points extrêmes sont fixes. Il n’en est pas de même quand ces points sont seulement assujettis à se trouver sur deux courbes données', car les variations Sx', Sx", Sz', Sz", S\f, Sy" devront alors satisfaire aux équations différentielles de ecs courbes. Ainsi, en rapportant de nouveau la brachv'slocbrône à trois axes rectangulaires et en posant

dij' = yx'i/x' 1 I dy" = <f,x"dx"

dz’ = 'yiddx' 1 ( dz" = -;./'(/x"

pour équations (lifTérenticlles des deux courbes données, on devra avoir entre les variations Sx', Sy', S^, d’une part, et les variations <fx", Sy", dz!', d’autre part, les relations

Sy' ~ yjdSx! j I Sy" tf,i"Sx''

Sz' = -^ifSsI j I Sz!' = -\,x!'Sx".

De plus, comme l’ordonnée verticale x' du premier point, entre dans la valeur de V, on doit ajouter à la variation de l’intégrale définie d!

(N'* 268) le terme Sx' j — dx. Si l’on rcmplacq SiJ, Sz!, Sy", Sz!', i>ar

les valeurs précédentes et qu’on égale à zéro les coeflicients de Sx!, Sx", on est conduit aux équations de condition

— \ -*• P -Jl Pi ~!~i '

' dp' ' dp, dp' dp,

Ç^'dV ,

dV" dV"

' dp" ^ ' dp,"