CHAPITRE XIX
La seconde devient, en remplaçant V" par sa valeur,
et après réduction ,
Quant à la première, il faudrait eu général remplacer dans \
Jx'
y, Z, P et P, par leur voleur en x tirée des deux équations (1) et de leurs intégrales, et elTcctucr l’intégration; mais ici ou transforme plus promptement en remarquant que si l’on effectue par parties l’in-
tcgration de — dx ou — dx, on trouve d abord
l/ 1 -4- /J* -H f pdp
l>,dp,
ou bien en remplaçant dans les deux intégrales |/.c — x' par sa valeur tirée des deux équations(l).
-4- f Cdp -4- C'dp,= -4- Cp -4- C'p, — V’; on a doue pour l’intégrale définie diercbéc , f^"dV
et en remplaçant -—î et par C et C et remarquant que C cl C ont dp dp;
pourvalcurs
(.ALCUL DLS VAHIATIÜNS. ;>».)
lu |ireinièrc équation aux limites ilcvient
Les équations (2) et (3) mises sous la forme suivante, après qu’on a remplacé p" et p," par leur valeur tirée de (1),
l/l (x" — 6"*j 1 ^ ^ x' yx' -1- C y^x"~— i
jointes aux quatre équations qui expriment que les points (x' y' z') et [s!' y" z!') sont situés sur les deux courbes données, serviront à déterminer les valeurs de if, y\ z', jf', y", z". Un plan vertical passant par les deux points qu’on vient de déterminer, contiendra la cycloïdc chcrcbéc.
Les équations (2) et (3) font connaître une propriété importante de la braehystochrône tracée entre deux courbes données. La première exprime qu’elle coupe à angle droit la courbe d’arrivée, puisque
clii" ilz"
'/i" et ij//' ne sont autre chose équations de
cette dernière courbe, tandis que p'' et p," sont les mêmes dérivées tirées de l’équation de la brachystoebrène. La seconde (3) exprime que la tangente à la courbe donnée, au point de départ, fait aussi un angle droit avec la tangente à la cycloïde au point d’arrivée.
279. Lignes maximum et minimum tracées sur une surface. Lignes gèodésiques. — Proposons-nous encore de trouver la ligne la plus longue ou la plus courte qu’on puisse tracer sur une surface entre deux points donnés, u — 0 étant l’équation de la surface, ds un
élément de la courbe, pet», les dérivées et on a
di dx
-t- p* -\-pfdx\ x'
la condition dn minimum est donc
•7 j (/l p* -4- p,* dx = O
c’csl-à-dirc que dans ccl cxciiiple il faut poser
il r }) d i' P,
Comme la courbe est assujellie à être tracée sur une surface (tonnée, les variations <?x, ’hj, àz ne sont pas complèlemcnl arbitraires. Il existe entre elles la même relation qu’entre les {dx, ih/, dz) de l’équation dilTércntiellc de la surface, c’est-à-dire, qu’on a à la fois
du , du ,
- dx -4- —dij dx dy ''
En résolvant donc celle dernière équation par ra|)port à üx, on en conclut que, dans l’équation ox — Aiy -4- litz cmidovéc au N“ 277, les cucfllcients A et li ont les valeurs suivantes :
du
dx
du
du
dx
iju’il faut introduire dans l’éijuation indéfinie
/dV 1 d‘-y \ , /dV I (/M' \ ,
{dij-Tx-di;-*- dF- Txiir, ‘ =■ "•
Elle devient par là,
iL dx 1 pi P ij dy dx ^ pi ^ p i J
et on peut l'écrire ainsi :
dz \dsj dy \d.sj
CAI.CUr I»Ei VAHIATIO.N.5.
Il esta remarquer que si, au lieu d’éliminer ix, ou avait éliminé ’îy ou oz, ou cul été conduit à l’une des deux équations dillércntielles
mais celles-ci sont comprises dans la précédente, comme il est facile de s’en assurer en substituant dans la première la valeur de ^ tirée de l’équation dilTércnticllc totale de la surface, valeur qui est
du du
du dx dy ^
dz ~~ P,
et en remarquant que l’équation
-s- dy* -t- dz* = ds*
conduit par la différenciation à la suivante :
ds \ds J ds \dsj ds \dsj
d’où l'on tire
L’une ou l’autre des trois équations (1) et (2) étant intégrée et combinée avec l’équation de la surface, fera connaître la courbe eberebée qui est connue sous le nom de ligne géodisique. Les constantes arbitraires se déterminent par la condition que la courbe passe jair les points (a/, t/', z!) et (i", y", z"). H n’y a l'as d’équations aux limites. 11 n’en serait plus de même si l’on se proposait de trouver la ligne la plus courte qu’on puisse tracer sur la surface entre deux courbes données. On trouverait sans peine par les équations aux limites, que la ligne cherchée doit être normale aux deux courbes.
Appliquons les formules précédentes à la sphère dont l’équation csl
■)8G CUAPITHK XIX.
L’cqualion indéfinie de la ligne chercliée esl
En inlégranl par parties, on a
qui SC réduit à
Jointe à l’équation de la sphère, elle représente la ligne cherchée; mais on détermine celle-ci plus facilement en remarquant que si l’on avait fait usage de l’équation différentielle de la courbe mise sous l’onc des deux autres formes, on aurait trouvé de la même manière.
dz dx
’ -^ds ^ds~^‘’
d’oi'i l’on tire, en multipliant ces trois équations respectivement par X, y, Z et additionnant membre è membre.
Ci C'y -i- C"z = O
qu’on peut mettre sous 1a forme
: -4- ex -I- c'y = 0.
Cette équation et celle de la sphère sont les deux équations de la courbe cherchée. Les deux constantes c et c' se déterminent au moyen des deux équations de condition
z" -4- Cl" -4- c'y" = 0.
Corainc r('(|uation
r.ALClII. DES VAniAllUNS.
Z ex ify ~ 0
iipparlicnl à un plan passant par l’origine, on en conclut que la ligne la plus courte qu’on puisse tracer sur une sphère entre deux |)oints, est délerniinée par rintcrscclion de celte surface par un plan passant par les deux points et par le centre, c’est-à-dire, que celle ligue esl un arc de grand cercle.
280. Propriété des lif/ites maximum et minimum tracées sur une surface. — L’équation dilTcrcnticlle des courbes maximum ou minimum
fait connailre une propriété générale de ees courbes. On a trouve dans le calcul düTércnticl , pour l’équation du plan osculatcur d’une courbe à double courbure.
(dijd*z — dzd-tj) {x' — J;) (dzd^x — dxd*z) {//' — y)
-t- (dxd*y — dijd^x) {z' — ;) = 0, cl pour l’équation du plan tangent à la surface u =0, du , , du , , . du , ,
Si donc on considère la courbe maximum comme tracée sur la surface, on aura pour l’angle o' formé par le plan oscillateur île la courbe avec le plan tangent à la surface donnée au point (x, y, :),
(dyd^z — (/î(i*y) ^ — dxd^z) ~-t-{dxd*jj — dyd^x) ~
or si l’on divise les deux termes du second membre par du- et qu’on .suppose ds constant, ce qu’on est libre de faire, puisqu’aucunc autre
ciiAi-mu! \i\.
variable n’u été prise eumiiic imlépeiuluntc, lu valeur de cos o' prendra la forme suivante :
eus O
valeur que les équations dilTérentielles (1 ) et (12) de la courbe maximum ou minimum trouvées plus haut, rendent nulle; ce qui apprend que le plan osculatcurà la courbe minimum est partout normal à la surface. Il est visible que cette courbe se confond avec celle qu’affecte un fil tendu sur la surface, entre les deux points donnés. (Voir la statique N” 70.)
281 . Courbe de plus vite descente sur une surface, et courbe de plus grande pente. Proposons-nous encore de trouver la ligne que doit suivre un point matériel pesant pour glisser sur une surface, dans le moindre temps possible, d’un point donné Jusqu’à un niveau donné, jusqu’au plan horizontal des YZ, par exemple. On trouve, comme dans le problème de la brachystoehrène (N° 278), que l’intégrale définie
h l/lf—x
dans laquelle h est l’x du point de départ, doit être rendue minimum. A cette condition du minimum , doit être jointe la condition que les coordonnées satisfont à l’équation de la surface ou à son équation différentielle que nous mettrons sous la forme
dx = .idg Ddz,
ccqui conduit, comme dans le problème précédent, à l'équation différentielle indéfinie
Vj/ 1 -t- P* -I- pf j//l — X/
CALCUL DES VABUTIO.'IS. ü8'J
OU, en tenant compte de la valeur de ds ainsi que des vaicurs de d et £ données au N” i79,
ii±,( ^ 1 ±X,iJ ] „
que l'on peut mettre sous la forme
\’^dChL
1 dx / dy du
dz du\
( dz \^ds
J dy \ df
)]'*' 'i(h — x) \ds dz
ds dy J
Cette équation diiïércnlicllc de la courbe de plus vile descente sur la surface « = 0, diffère de celle de la ligne la plus courte, puisque celle-ci s’obtient en égalant h zéro la première parenthèse de celte équation. (Voir le numéro précédent.) Elle diffère aussi de l’équation de la ligne de plus grande pente '*’ qui est représentée par la seconde parenthèse égalée à zéro. Enfin elle diffère de l’équation de la courbe que suivrait un point matériel pesant, glissant librement sur la surface
(•) On ap|)cllc ainsi la courbe tracée sur une surface donnée, qui jouit de cette liro|iricté qu’eu chaque point sa taii);enle est celle de toutes les tangentes en ce point, i|ui fait avec le plan des Y/ supposé horizontal, le plus grand angle |K>ssible, angle qui mesure la pente de la courbe en cbai|uc point. Si (a, y) sont les angles formés avec les axes par la tangente n une des courbes tracées sur une surfaei- et passant par le point (x y 2) et si y et y' désignent les dérivées partielles
rfx rfx , ,
— et — tirées de thj dz
les relations
l'équation de la surface, on a vu (.N“ 1 10) qu’il existe entre a, fl, '/
cos a = y cos P -t- y' cos 7, eos -t- cos cos *7 = I .
Le maximum de a répond à
y cos 7 = y' cos p,
équation qui détermine la ligne de plus grande pente, ti^ü étant l'équation
du du
, , . , dr dr , du dz
de la surface, on sait que y et y ou — et — sont donnes par et
rfy dz du du
dz dr
dy dz
et comme cos 7 et eus 3 sont représentes par -y- et — , I équation précédente se confond avec celle que nous avons indiquée plus haut.
CIIAI'ITIIK MX.
(voir le traité de mécanique rationnelle lô5), équation que l’on obtient en changeant le signe de In seconde parenthèse. On voit donc que ces quatre courbes tracées sur une même surface ù partir d’un même point et terminées à un même plan horizontal, sont en général très distinctes, mais que si deux d’entre elles se coofoudent, elles se confondront toutes les quatre.
28Ü. Caractères distinctifs des maximum et des minimum. — Pour compléter la théorie des maximum et minimum exposée dans les numéros précédents, il nous reste encore à chercher les caractères par les-
quels on les distingue. A cet eflet, remarquons que si dans i Vdx, on
Jx'
donne à x,y,p, q... qui entrent dans V, des accroissements finis ou infiniment petits quelconques désignés par d'x, $y, a'/)..., il résulte du théorème de Taylor généralisé, que cette intégrale prendra iin accroissement représenté par
Supposons que l’on ait attribué à y, p, q... les valeurs en x qui rendent maximum ou minimum l’intégrale proposée et que les accroissements o'i, ti'i/ , soient les variations de x,y,p,q...; la première des intégrales précédentes sera nulle, puisqu’elle est
visiblement la variation de l Ydx et on reconnaît sans peine en
Jx'
se rappelant la théorie des inaxiinum et iiiiiiiuium dans les fonctions de plusieurs variables, que si les termes de seconde puissance en
ix,iy , c’cst-à-dirc, la seconde intégrale ci-dessus, conserve le
même signe pour toutes les valeurs de o'x, 3y...., il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe sera négatif ou positif. Ces termes de seconde puissance en Sx, Sy.... sont placés sous un signe d’intégration et coiiiprcuncut toutes les valeurs de la fonction; ils sont donc en nombre inlini et représentés par la somme de toutes les valeurs du polynèinc depuis x’ jusqu’à x". De [dus, cette soiniuc de valeurs où l’intégrale sera positive ou négative suivant ijuc le polynôme, ijui
CALCIII, ÜES VAUIATIOMS.
est un clément de l’intégrale, sera lui-inémc conslninnicnt positif ou constamment négatif pour toute valeur de ox, 'hj... et pour toute valeur des variables comprises entre a/ etx". Il suit de là que le maximum ou minimum de rintégralc définie proposée se distingue par le signe du jmlynéme ci-dessus, pourvu que ce signe reste le même pour toutes les valeurs de x comprises entre x' et x" et pour toute valeur infiniment petite de o'x, o'y
Appliquons cette règle à un cas particulier et supposons que V ne contienne que x, y et p. Les termes du second ordre seront
-t- 2- — r- iX'jp -+- 2-
dxtlp
dydp
oyrtp
que l'on peut encore réduire par 1a remarque que la variation ox de la variable indépciiduiite étant entièrement arbitraire, un peut supposer ix nul. Dans ce cas ce polynôme devient
dM'
ir-r
dydp
oyop
On a vu (N° 105) que pour que ce Irinèmc conserve le même signe
rfi l' d* V"
pour toute valeur de a'// et ■îu, il faut que et — ; — soient de même
dy^ dp*
signe et que l’on ait
d-J' (M’ ^ /d*V Y dy* dp* ^ \dydp )
Si ces deux conditions sont remplies pour toute valeur de x comprise
entre x' et x", le signe commun de-^ et —r-i servira à distinguer le
dy* dp*
maximum du minimum. Il est bien entendu que pour comparer ces différentes dérivées et s’assurer que ces conditions sont remplies, il faudra faire usage de la relation entre x cl y donnée pur l’équation indéCnic ou par son intégrale.
CHAPITRR XX.
Application de la inêthodo des variations aux intégrales doubles. Variation d\ine fonction do deux variables indéfHUidantes. — Variation des dérivées partielles. — Variation d'une fonction conieiianl deux variables indépendantes, une vurialde dépendante el ses dérivées partielles. — Variation d’une intégrale délini<’ double. — .Maximum et minimum d’une intégrale définie double. — Kquatioiis aux limites. Problème de la moindre surface pour un contour donné. Maximum cl iniüimuiii relatifs.
28.5. Application de la méthode des variations aux intégrales doubles. Variation d’une fonction de deux variables indépendantes. — Lii iiinrchc suivie aux N"* 2(i4 et suivants conduit à l'expression de la variation d’une intégrale définie double. Soit en ciTet
X cl y étant deux variables indépendantes. On peut toujours coneevoir celle fonction développée suivant les puissances ascendantes entières cl positives de i ou plutôt, de x — a cl poser
z = a b[x — a) -f- e (x — a)’ e (x — *)’ -4- etc.
a, b, c, e.... étant des fonctions de g dont la forme dépend de la forme de la fonction f(i, g) et a une constante quelconque. Pour oblc- Icnir la variation de z ou de f{x, g), il faut donner à x l’accroissemenl ix et donner aux cocnieiciits a, b, c.... des accroissements représentés par leurs variations; ou trouve ainsi
dz
iz = — ix ia -I- (x •
1) ob (x —
CAIXfI. DES VADIATIONS.
mais les variations des fmieliuns a, h, e et de leurs dérivées (Ib il-a
— » -—sont renrescnlecs par
<iy ,ly*
da
da . db . ,
