Terme snmmaloire de lu série de Taqlur. — Après avoir

CIIAPIIIIK II.

<l(‘leriiiiiu; les « -t- 1 premiers termes de In série de Taylor, on peut trouver une fonction de i cl A qui complète la valeur de f[x h)\

il sulTil pour cela de calculer le terme mmmaloire ( —— ) • — ’

‘ \dA"/

que l’on obtient en dérivant n fois par rapport à A, la valeur de fl,

c'est-à-dire,

„ f{x-ih)-fx = h ’ '

en remplaçant x par x -+- A et en changeant dans le résultat le signe de A, comme on l’a vu (M“ 53).

Eclaircissons ceci par un exemple. Soit la fonction

Il vient

fx -s- A)« — 1 X A

Proposons-nous de développer cette fonction suivant les piiissaiiees croissantes de A, en arrêtant le développement aux cinq premiers termes. On aura

etc.

cl en substituant ces valeurs <lans le développement de Taylor, on trouve

(x a- A)* — 1 X* — 1 X* +- I , A’ A’ A‘ /d‘ft\ A»

^ l‘ X X* x’ X* x“ \rfA*/ 4.2.3.4

Pour calculer le terme soinniatoirc , observons que

(xjh^:^ x*— I

ff *- f>)~ fx ^ ^ *

CALCUL DIFFLIIEMTIEL.

et en dérivant par rapport à h , (l*R dl?

d/i‘ {Il -1- xj‘x

En y faisant les changements indiqués ci-dessus, il vient

on a donc exactement

ou en général ,

hy — 1

— suivant les puissances de h, soit par

Si on développait suivant les puissances de h, soit par

la division, soit au moyen du théorème de Maclaurin, on trouverait les termes en A"+‘, A"+’, etc., qui font suite à la série obtenue plus haut.

58. Limites de la série de Taylor. — La connaissance de la forme du terme sommatoire est utile, parce qu’elle permet souvent d’apprécier le degré d’approximation avec lequel les premiers termes de la série de Taylor donnent la valeur développée de f[x+h) et qu’il fait connaître souvent les conditions de convergence de ce développement. Ainsi dans l’exemple précédent, il y aura convergence pour des valeurs

particulières de x et de A , si ^ 7- ou — ( - 1 , qui re-

(x A)x"+' X h\xj

présente la somme des termes depuis celui du rang »» -F- 1 jusqu'à l’infini, reste fini et converge vers zéro quand n converge vers l’infini, ee qui aura lieu visiblement, quel que soit A, si un donne à x une valeur supérieure à A. Mais le plus souvent les opérations qu’il faut effectuer sont tellement longues et la valeur finale à laquelle on arrive est tellement compliquée, qu’elle ne rcmjdit que fort imparfaitement ce but; aussi se burne-t-on ordinairement à déterminer, ainsi qu’il suit, deux limites entre lesquelles se trouve eomprise la valeur de ce terme som-

inatoirc. étant fonction de A, change de valeur avec lui; si

\dh' )

CIUFITIIE II.

donc on rcprrscnte par C une limite supérieure et par c une limite inférieure des valeurs par lesquelles il passe , tandis que h va en décroissant jusqu’à zéro, on aura pour toute valeur de h ,

/•(X + h)—fx—f'x-h—fx~^ —

/•(X ^ h) -fx^ f'x . h ~ f 'x ■ > c JJ—

Or, pour que la première inégalité subsiste quel que soit h , il suffit que la dérivée du premier membre soit, pour toute valeur de/», plus petite que la dérivée du second membre. Eu effet, pour à = o, les deux membres sont nuis et si la dérivée du premier est toujours plus petite que celle du second, le premier croitrn à jiarlir de zéro, moins rapidement que le second et lui restera par conséquent inférieur. Pour le même motif, il suffit que la dérivée du j»remier membre soit plus grande que celle du second, pour assurer l’existence de la seconde inégalité pour toute valeur de /». Dérivons donc par rapporta/», en observant que fx, f'x, f"x,..., ne renferment pas h, et que, d’après ce qu’on a vu 33), — — est égal

à f'(x + h). C cl c devront satisfaire à ces nouvelles inégalités,

f(jc+h) - f’x - f'x -h /--’x ^ 2 < C (« + ’

On prouvera par un raisonnement semblable, que ces inégalités sont assurées si l’on a les deux suivantes :

En continuant les dérivations, on trouve enfin pour condition finale suffisante,

CALCUL DIFFCnCNTIEL.

d’où l’on tire

conditions qui seront satisfaites, si en désignant par h’ et h" les valeurs de h qui correspondent à la plus petite et à la plus grande valeur que prend /’<"+'’{x -t- h) quand on fait décroître h jusqu’à zéro, un fait

La véritable valeur de

\dh)

est donc toujours comprise entre ces

deux quantités; or si l’on suppose que la fonction {x -t- A) reste finie et continue pour toute valeur de la variable comprise entre x et X -F- A, ce qu’on peut toujours admettre tant que l’on ne donne pas à X une valeur particulière, il résulte du principe de continuité des fonctions, qu’en faisant croître A par degrés insensibles, la fonction ^i.+ii (x passe par toutes les valeurs comprises entre

{x h") et /■'"+*’ (x -F- A"),

pendant que A passe de la valeur A' à la valeur A"; il existe donc une valeur de A comprise entre A' et A" qui rend — (x -f- A)

cette valeur étant comprise elle-même entre 0 et A,

puisque A' et A'' sont compris entre ces limites, elle peut être représentée par OA, 0 désignant un certain facteur inconnu compris entre U et I, de sorte que l’on a l’égalité

La formule de Taylor devient donc

/■(x -F- A) == /-X -F- hf’x -F- f 'x + f " x -F- / <-> X

A» Fl