X OA

Si la fonction /"'"+*’x était conslainmeot croissante ou décroissante, depuis X -+- 0 jusqu’à x -f- A, les quantités A' et h" mentionnées plus haut seraient égales à O et à A, de sorte que le terme limite ou le reste de la série depuis le terme en A’ exclusivement, serait compris entre

En général, le reste de la série de Taylor est compris entre la plus grande et la plus petite valeur par lesquelles passe

tandis que la variable x va en croissant depuis une valeur particulière X jusqu’à X -t- A. Cette remarque suffit le plus souvent pour faire apprécier le degré d’approximation avec lequel les « -t- 1 premiers termes de la série donnent la valeur de /'(x-i-A); ainsi pour la fonction e', on trouve

cl l’erreur commise en prenant les n 1 premiers termes pour valeur de e*+* se trouve limitée entre la plus grande et la plus petite valeur par lesquelles passe

CALCUL ItlFFI^IIENTIbL.

tandis que i augmente jusqu’à x + h, ou plutôt, comme celle fonclion csl toujours croissante, l’erreur est eomprise entre

— pf 0*'^^ .

39. Conséquences relatives à la convergence de la série de Taylor. — Le théorème que l’on vient de démontrer sur les limites de la série de Taylor, conduit à plusieurs conséquences importantes relatives à la convergence de ces séries. D’abord quelle que soit la fonction primitive fx , en prenant h assez petit, on peut faire en sorte que la somme des termes, à partir de celui du rang />, soit aussi petite que l’on veut, pourvu que toutes les dérivées restent finies, c^r le terme limite

qui représente cette somme, se compose de deux facteurs, dont le second peut diminuer évidemment avec ^jusqu’à zéro, tandis que le premier reste fini, attendu que si x reste variable indéterminé, x -F- OA est aussi indéterminé; le reste de la série peut donc être rendu aussi |ictil que l’on veut. Celte proposition n’est plus généralement vraie si on donne à X une valeur particulière, à moins que l'on se soit assuré que (x -F- hh) ne prend pas alors une valeur infinie, ce que l’on rcconnaitcn s’assurant que /' "+'• (x -F- h) reste fini et continu depuis (x -F- o) jusqu’à ^'"+'>(x -f- h).

En second lieu, si on diminue sunisainment la valeur de h, on peut en général faire en sorte que l’un quelconque des termes de rang n suit supérieur à la somme de tous ceux qui le suivent; il suffit en effet pour cela de prendre h de manière que

— ;; > /■i"+'>{x -F- oA) . ■■■■

ce qui aura lieu si , C étant la plus grande valeur comprise entre /’‘*+*’(x -F- o) et (x -F- A), on a

/‘‘"’x > C — - — > d’où A /~‘"’x” ^ ^ •

Il est visible que A aura une valeur numérique supérieure à zéro, toutes les fois que C n’csl ]<as infini, ce dont on sera ccr-

CIIVIMTRE II.

tain si /''"+'>x reste fini et continu depuis (x -t- o) jusqu’à

40. Limite de ta série de Maclaurin. — Si dans le développement de Taylor on fait x =: o cl qu'on y remplace ensuite la lettre h par la lettre X, on trouve

fx — f« f 0 • X f''o ■

0 étant compris entre o et 1. Le dernier ternie de cette suite forme le terme limite de la série de Maclaurin, lequel représente la somme de la série infinie, depuis le terme du rang « -h I, pourvu que /’■+*' (Ox) soit une quantité finie, ce dont on ne peut s’assurer qu’en vériiiaiit que /■'"+‘>x reste fini et continu depuis (o) jusqu’à (x).

Si on applique cette formule aux exemples traites plus haut {N° 33), on trouve, en arrêtant le dévcloppeiiicnt au terme en x’ inelusiveniciit.

■I -I- X log o

logj

[l-(Ox)*]’

X x’ 3 (Ox)* — 1

arc tang x = - -t- — —

1 o [1 -t- ((ix)*]*

cos X !

cos Ox ,

X* 5 -I- 12(0x)* [l-(Ox)*]*

41. Conséquences relatives o la convergence de la série de Maclaurin. — Les propositions relatives à la convergence de la série de Taylor démontrées au N" 59, sont aussi applicables à la série de Maclaurin. Ainsi, l“on peut en général, rendre la série aussi convergente que l'on veut en diminuant suflisamnient la valeur de la variable x, c’est-àdire, faire en sorte que la somme des termes à partir d’un certain rang jusqu’à l’iiifiiii soit aussi petite que l’on veut. 2" ün peut, en géiié-

CALCl’I. DIFFÉIIENTIKI..

ral, en prenant x assez petit, faire en sorte que l’on des termes soit supérieur à la somme de tous ceux qui le suivent. Dans l’un et l’autre cas, la fonction est supposée telle que toutes scs dérivées successives restent finies et continues pour toute valeur de la variable comprise entre zéro et x.

Puisque le développement de Taylor ou celui de Maclaurin, quand ils sont convergents, représentent /'(x -h h) et fx d’autant plus exactement que l’on en prend un plus grand nombre de termes, il faut en conclure que les développements entiers ont rigoureusement ces fonctions pour limites, s’ils sont convergents, et peuvent par co.iséquent leur être identiquement substitués. Il n’en serait pas de même si la série était divergente. Comme dans ce cas la somme des termes que l’on néglige ne converge pas vers zéro, mais vers le ternie soinmatoirc, il est évident que la série, quel que .soit le nombre de termes que l’on considère, ne représentera jamais, même d’une manière approchée, la fonction proposée.

En appliquant le théorème de Maclaurin aux fonctions

cl à quelques autres de forme analogue, il se présente une circonstance remarquable. Si l’on en prend les dérivées successives cl que l’on y fasse x nul, pour avoir les valeurs de fo, f'o, f"o, etc., on trouve que tous ces coeftlcicnts se présentent sous la forme f cl on reconnaît que les vraies valeurs sont toutes indéfiniment nullcs; de sorte que les développements entiers de ces fonctions semblent égaux à zéro. Celte anomalie s’explique en observant que rien ne prouve que ces développements, dont tous les termes sont nuis, sont convergents et que par conséquent on ne peut rien conclure de celle circonstanee, pour la valeur de la somme de tous les termes, si ee n’est que ces fonctions ne sont pas développables suivant les puissances positives delà variable, ce qui du reste est évident, puisque pour X inCniraenl petit, le développement de Maclaurin procédant suivant les puissances positives croissantes de la variable, doit représenter un iuGniment petit d’un ordre limité, tandis que la fonction

e devient un infiniment petit d’un ordre infini, puisqu’on a vu

(N” 29) que le rapport — — est nul pour toute valeur de tn, quand un fait X nul ou inGnimcnt petit.

CIIAPIÎRE II.

Il suit (le là (jae Ici fonctions /x -t- e •'* cl /x ont en apparence le même dtiveloppenient qui, s’il est convergent, ne représente que fx. On voit par cet cxeinplc, qu’un développement donné ne représente que la partie de la fonction primitive, qui est susceptible d’être développée suivant les puissances entières et positives de la variable. L’autre partie ne laisse de trace que dans le terme sommatoirc ou dans le terme limite.

42. Série de Taylor en défaut. — La série de Taylor est dite en défaut lorsque l’un des coefTicicnts de h dans le développement est infini, ce qui ne peut arriver que si l’une des dérivées successives f'x, f'x,.... est elle-même infinie. Tant que l’on traite x comme variable ou qu’on ne lui donne pas une valeur deterrainée, aucune de ces dérivées ne peut être iiiGiiie, du moins aucune dérivée d’un ordre fini; car en supposant que /"'"’x soit la première qui prenne cette valeur, la précédente, c’est-à-dire, x serait une certaine fonction finie de la variable x dont la dérivée est infinie, (^c qui ne peut arriver, d’après ce qu’on a vu (N° 5); mais quand on donne à x une valeur déterminée, il peut se faire que celle-ci, combinée avec les constantes de la fonction, rende un dénominateur nul, et |>ar suite, la dérivée infinie. Supposons par exemple, que l’une des dérivées

successives renferme un terme de la forme — ^ » X étant qucl-

conque. Il est évident qii’aussi longtemps que x reste arbitraire, le

dénominateur |/x* — a* devra subsister; mais si l’on donne à x la valeur particulière o, x* — a’ deviendra nul et la dérivée sera infinie. On rcconnait aussi par cet exemple que si une des dérivées est infinie pour une certaine valeur de la variable, toutes les suivantes

devront l’élrc aussi; car si l’une d’elles prend la forme — — — ■ - .

on sait que toutes les suivantes renfermeront j/x* — o* au dénorninatcur. Cette proposition peut du reste être démontrée d’une manière générale, et en outre on reconnaît que lorsqu’une dérivée devient infinie, cette circonstance indique qu’il y a impossibilité de développer f{x ■+■ h) suivant les puissances entières de h, cl que, pour (]iic les cocflicicnls cessent d’être infinis, il faut que l’exposant de h devienne fractionnaire à partir du terme où la dérivée devient infinie. Pour le faire voir, reprenons la démonstration de la formule de Taylor, au moyen des coellicieiits indéterminés. Supposons f{x -t- h)

CALCUL DIFFÉRENTIEL. 8i

développé suivant les puissances ascendantes entières ou fractionnaires de h, et posons

f{x -h h) = fx Alt^ Bhi^ +• Ch'^ a- jV/i'' -i- Ph^ -t- etc.

les coclTicienls /I , B, C étant des quantités /înies et inconnues.

Pour déterminer .1, B, C et les exposants «, p, y , remarquons

que les deux membres de cette équation étant identiques pour toute valeur de h, les dérivées d’un onlre quelconque des deux membres doivent aussi être égales pour toute valeur de h et par conséquent pour h = 0. Or, si l’on égale les dérivées premières, en remarquant que la dérivée de f {x It) par rapport à h est /'{x +- h), c’est-à-dire, est la dérivée de fx en y ebangcanl x en x -f- /» (>'“ 53), il vient

f'(x +- h) I- etc.

et comme pour A = 0, le jiremier membre se réduit à f'x, le second devra aussi se réduire à une quantité équivalente. Si celte dérivée f'x n'est ni nulle ni infinie, le second membre, devra donc aussi se réduire H une quantité comprise entre zéro et l’infini, ce qui ne peut avoir lieu que quand a. est entier et égal à l’unité; car s’il était inférieur.

— i serait négatif et le premier terme, mis sous la forme

deviendrait infini pour h nul; tandis que si a était supérieur à l’unité, « — 1 serait positif et ce premier terme serait nul pour h nul, ainsi que tous les termes suivants, a étant donc égal à l’iinité, l'équation précédente devient

f'(x A- A) = /I ■+■ ^Bh?~' -I- etc.

et pour h = 0, il vient

En dérivant une seconde fois par rapport à /i, on trouve

f'[x H- h) = -H etc.

et si on suppose que f'x ait une valeur qui n’est ni nulle ni infinie, on fera voir, comme plus haut, que S ne peut être que 2 et on en conelul, en faisant h => 0,

Sl>

CIIAI'tinF. II.

On Irmivcni île In iiiènic iiiniiière

Ce raisoniiemeiil , qui fuit cniinaitrc les dilTéi'Ciils lerincs iJe la série (le Taylor, pourra être conliiiiic iml(Tiniinenl, tant (|uc les dérivées successives ('■''x conserveront des valeurs comprises entre zéro et l’infini; mais supposons que pour une certaine valeur allribuéc à x, la dérivée X devienne infinie; alors le raisunnemciii précédent se trouve i-n défaut, lorsqu'on arrive à I équaliun

^■'•+''(x h) = xr(- — 1) {- — 2) /’/i’'“"“* -I- etc.;

en effel, pour A = 0, le premier membre se l•(■duit par hypothèse à une qoanlilé infinie /’‘'+"x. Or, si r était un nombre entier, le second membre ne pourrait pas devenir infini comme le premier; car l'exposant -n étant plus ^raiid que l’exposant « du terme précédent, jr — n — 1 ne pourrait être que zéro ou un nombre entier positif et pour h — 0 le second membre sc réduirait, dans le premier cas, à la valeur finie

et dans le second , à zéro; tandis que si a- est fractionnaire et compris entre n et n -4- I , r — n — 1 sera négatif et ce terme mis sons la forme

deviendra infini pour h =0 comme le premier memfirc. On voit donc que, lorsque la dérivée de l’ordre « -t- 1 devient infinie pour une certaine valeur de la variable, le développement de f{x -+- h) contient nécessaireiiicnt h avec un exposant fractionnaire eoinjiris entre n et « -4-1, dans le terme qui suit /i". Iti-eiproqiiciiieiit, si dans le developpeineiit de f(x -4- h) obtenu d’une inanière (pieleuiiquc, il se trouve un exposant fractionnaire compris entre les nombres entiers n et n -4- 1 , on recunnait que la dérivée doit être infinie, puisque

en faisant h nul dans l’équation

(x -4- A) = Jr(rr — 1) (;r — 2) -4- Ctc.,

C»LCÜI. D1FFÉRE>TIF.L.

Miisn sous lii forme

H- A) = T(îr — 1)(7T— 2) > etc.,

le second meinl)re devient inrini. On conclut aussi de là que toutes les dérivées suivantes sont iiiGnies; car on a

/■'"+»’ (x -s- h) = 7r(jT - l)(a- — 2) (a- — « — l)/»A"-"-’ -t- ele.

/■<-+”(x -t- A) = a(a - l)(a - 2) (a - n — -t- etc.

dont les premiers membres deviennent /"'"*■*' x, /’‘"+*'x quand on fuit A — 0 et dont les seconds membres sont tons infinis, puisque a — n — 2, a — Il — ■ 3, etc., sont des exposants négatifs.

Si /^'"’x est la dernière dérivée qui conserve une valeur linie pour une valeur particulière de x, la série de Tavlor pourra être employée jusqn’A ce terme; mais comme tous les suivants deviennent infinis quand on conserve pour A des exposants entiers, il serait inutile de pousser le développement plus loin, à moins d'employer des exposants fractionnaires, et fou se borne alors à déterminer le terme sommaloirc qui suit f'*' i. C'est pour ce motif que la série est dite en défaut. Dans l’exemple suivant

fx ~ x’ (x — 6) (x — u)

on trouve

» îi î

On voit que pour x égal A o, f"'x devient infini ainsi que tontes les dérivées suivantes; il faut donc se borner aux trois premiers termes de la série et employer le terme sommaloire pour le reste. En le développant ensuite, on trouve

f[a -t- A) = (I* 3n’A -i- 3aA^ (a — 6) A ' A’ -i- A ' .

Si au lieu d'employer le terme sommatoire, on emploie le terme limite, en siijiposant que f'“*'’x soit la première dérivée qui devienne

cuÀPirnE II.

infinie, on ne pourra pas représenter en général le reste de la série par

. — . ... /■<'-"> (a -I- fj/i],

paree que (a O/i) n’csl plus fini cl continu depuis *=a jusqu’à X = a -t- h, attendu que est infini. Il faut dans ce cas

SC borner à développer / (i -t- h) jusqu'à la dérivée /""x el prendre