Il

pour terme limite. Ainsi, dans l'exemple précédent, il vient /"(a i A) = a’ t-âa’/n- ~ 6(GA)-+- ^ (ihy

45. Développement d'une fonction suivant les puissances entières d'une fonction donnée de la variable. — Au lieu de développer une fonction donnée fx suivant les puissances entières et positives de la variable x, on peut se proposer de la développer suivant les puissances entières et positives d’une fonction donnée yx de cette variable , c’est-à-dire, de manière à avoir

Fx ■= ,-1 -t- /?{?x) -I- C(fx)* -h D(?x)* -I- F(yx)* -+■ etc.

.1, B, C,.... étant des cocfiicicnts constants à déterminer. Pour cola, prenons les dérivées successives des deux membres de celte équation. En représentant par (ÿ*x)', (?’x)" etc. les dérivées successives de w*x, »’x, etc., on aura

F' X = Bf'x + C’(o'x)' + D(ÿ’x)' -I- F(f*x)' etc.

F"x = Jî?"x C(?*x)" Z)(?’x)" -4- F(?*x)" -4- etc.

F'"x = B<f"'x C(?*x)"' -4- D{f^x}"' -4- F(»*x)"' h- etc.

F'">x = B'f'^x -t- C(iji*.r)‘"’ -4- i)(Ÿ’x)‘*> -+- F(ÿ*x)‘"' -4- etc.

Si on représente par a une valeur de x qui rend yx nul, c’est-à-dire, une des racines de l’équation

çx = 0,

CALCUL DIFFÉRE.NTIEL. 8j

U vient, en développant les dérivées successives de (yx)" et en remplaçant X par a, ce qui rend ox nul,

Fa = /( ,

F' a = Bya , r a = By 'a ■+ 1 .2 ,

F"a^Ba"’a -4 1.2.3CyV'a -i 1.2.30?'‘(X,

F"'a=:Bf""a -4- l.2C(3y"»a -+- 4yV"“) i .2.3.60?'’'*,"a -4- l.2.3.4AY*a,

d’où l’on lire

r« F'arf'a —

— 7)F'a,Wa -4- 3/-’V'/'*a - Fajaa"a

I)=r-^ 1 !■ ï i^, etc.

dA dB dC dD ^

.■l = f/T, B = — , C=;— -, D = ~-, F = —-~, F=— -, etc.

qui font connaître la loi de la formation des cocflicients. Cette formule serait en défaut si la valeur a, qui rend nulle la fonction »x, faisait aussi évanouir y'x.

On trouve ainsi pour le développement de e 'en fonction de log x,

Si dans la formule générale, on fait fX égal àx, a est alors zéro et on trouve

Ar^Fo, B^Fo, F = -^F'o, etc.

Æ tjS 1

ciitiMrHi: II.

et elle lievient

Fx = Fo -t- Fo .X -k- F'o • H F"'o 1- cIc.

qui est In funniile de .Macinurin.

44. Formule pour le retour des suites. — Si dans la inème Ibriniilc générale on fait Fx = x , on irouve

-» £=elc.

et par suite,

X = 1 -i- —fX fa

•if ’a — faa a

ete (1)

Celte formule est inverse de celle de Maclaiirin. Celle dernière donnait le développement d’une ronctiuii suivant les puissances entières et jiositives de la variable, tandis que la nouvelle donne le développcnienl d'nnc variable suivant les puissances de la fonclion.

Ainsi, le développement de Maclanrin a donné

loc (1 a- x) = X r etc.

et si l'on prend log(l -« x) pour fx, la valeur a de x qui rend 7X nul, est léro, le nouveau dévclo]ipcinent devient donc

x=^ log(l -I- x) -I- — log*(l +x) -V-

etc.

et en général, si l’on a

y = hx -4- ex’ -t- dx’ H- ex* -t- etc. — ?x.

on en déduit

ÿ == »x = 6x -4- ex’ -4- ex* -4- etc., y'x = 6 -4- 2cx -4- 3ex’ -4- etc.

et comme pour x = 0, fX est nul , on voit que a est zéro et il vient

2e’ — he

■ if — etc.

Telle est la formule générale pour le retour des suites.

4S. Formule pour la résolution des équations numériques. — Comme a doit rendre yx nul, si on remplace ox ])ar ^x — ya dans

CALCUL DIFFl’.RF.NTlKL.

lu roriniilc îçêiiéralc du niiini-rn prrcédciit, « sera quelconque, coelüeieuts d, H, C, U deviendront

dit

Fa da

Of a

les

el la formule prendra la forme

Fj: = Fa

(ÿl — fa) -F- C(fX — fa)* t- D(fX — ya)* etc.

dans hiquellc a, x, y cl F sont quelconques. Quand x est une racine de l'équation yx = 0, elle se réduit à

Fx = Fa — wx Cf*a — Df^a -t- etc.

fa ■

qui donne la valeur d'une fonelion quelconque F d'une racine de l'équation yi = ü. Si on remplace /’x par x, cette équation devient

fa 1 f"af*a

1 5y"»g — f'af"'a

l.il.Ô y'*a

— etc.

que l'on peut mettre sous la forme suivante, en représentant —

par •}, par -y la dérivée par rapport à a, par (y/)' la dérivée du produit yy cl ainsi de suite ,

X = g -V- -{-yg yV — '|«(yy)’

- F- etc.

dans laquelle a est quelconque, pourvu que la série soit convergente. Cette expression est utile pour la résolnlion des équations numériques ; car si a est une valeur sullisammcnl approciiéc d'une racine réelle de l'é(|uation

yx = 0,

la quantité yg suivant laquelle la série est développée, aura une valeur très petite, la série sera convergente cl donnera la valeur de la racine X. Celle racine est celle qui est la plus rapproeliée de g, puisque x — a a visiblement une videur unique cl 1res petite si yg est très petit.

Soit par exemple à résoudre l’équation

x’ — tlx — 20 =. 0 ;

CUAPITRE II.

comme il csl visible que x dilTcre peu de 5, on fera a égal ù ce iiombrr et on aura

a = a* — 'id — 20 = 1 ,

ip'a = 3a* — 2 ■= 23 ,

7"a = 18, ç'"a = 6, y'"'a = 0, y""'a = 0, etc.

Eu substituant, on trouve

2o 1ob2a

valeur exacte à moins d’un dix-inillionièmc près.

La formule de Maclaiirin peut aussi servir à démontrer un Ihcorèmc imporl.vnt d’algèbre. Considérons une fonction quelconque imaginaire, c’cst-û-dirc , conterrant d’une manière quelconque le symbole imaginaire j/ — 1, que nous désignerons par t. La fonction proposée pourra être désignée par fî. Or, quelle que soit la signitiration de e, on peut concevoir cette fonction développée suivant les puissances croissantes de £ et mise sous la forme suivante, (o, /’o, f'o,.... désignant ce que

deviennent /£, , etc. quand on y fait £ = 0,

/£ = /’o + if'o '

.Si on remplace e par sa valeur j/ — 1 , on trouve

etc. -t-

etc.

dans laquelle le second membre est visiblement de la forme /* -1- (>(/ — I. Il suit de là que toute fonction imaginaire peut être

mise sous la forme P i Q[/ — 1 et l’équation précédente fait coiinaitre la valeur des deux fonctions réelles P et Q, du moins lors- «jii’clles remplissent les conditions de convergenee.

40. Maximum cl minimum des fondions d'une seule variable. — Pour troisième application, occupons-nous de la théorie des inaximuin et minimum des fonctions d’une seule variable. Si l’on fait croître r d une manière continue, /ir variera elle-même, en général, d’une manière continue et il arrivera le plus souvent que cette fonction, après

CALCUL DIFFÉIIE.NTIEL.

avoir étë en croissant dans nii certain intervalle, finira par diininticr si l’on continue à faire croître x. L’état de la fonction nu luoniciit où elle cesse de croître pour commencer à décroître se nomme maximum, et on donne le nom de minimum à l’état de la fonction, lorsqu'aprcs avoir été en diminuant dans un certain intervalle, elle commence ensuite à croître. La théorie des maximum et minimum a pour ohjct de déterminer la valeur qu’il faut donner ù x pour que la fonction devienne maximum ou minimum. En donnant à x un accroissement et une diminution h, on trouve

/•(r -+- A) = /x hf'x -F- ^f"x -F- *—/■'"> (x -F- Oh),

f{x /.) = /-X - Afx -H ^ f'x ± /■<-> (X - O'h).

Pour que X corresponde à un maximum ou un minimum de la fonction fx, il faut évidemment que f{x-k- h) et f{x — h) soient tous deux plus petits ou tous deux plus grands que fx, quel que petit que soit h , c’est-à-dire , que f(x + h) — fx et f{x — h) — fx et par conséquent les valeurs suivantes

- Afx -F- ^ f"x

aient le même signe, ce qui ne peut avoir lieu que si fx est nul, puisque ces deux valeurs commencent par un terme de signe dilTércnt et qu’on a vu (N“ 39) qu’on peut toujours, en prenant h assez petit, faire en sorte que ce terme l’emporte sur la somme de tous les suivants et par conséquent, donne son signe à la série, fx étant nul, les deux différences f{x -F- h) — fx et /(x — h) — fx seront de même signe, car leurs valeurs se réduisent aux suivantes

fin) (jf ^

dans lesquelles les premiers termes sont tous deux de Fiiêmc signe et

ciiAriTnE II.

pcuvcnl èlrc rendus supériciics à la somme des termes qui suivent. II résiille de ce qu’on vient de voir, qu'en résolvant l’équation

les racines sont les valeurs de x qui rendent fx maximuvt ou minimum. Remarquons que dans le cas du maximum, ces deux dilTcrences doivent être toutes deux négatives, ce qui ne peut arriver que

/»* * si f"x est négatif quel que soit h, c'est-à-dire, si f'x est négnlif.

On trouvera de même que dans le cas du minimum, il faut que f'x soit positif. Ainsi, après avoir déterminé les valeurs de x correspondant à un maximum ou à un minimum, un .substituera ces valeurs dans fx et on aura un maximum ou un minimum suivant que lu résultat de la substitution sera négatif ou positif.

Cette règle est en défaut lors(]uc/’'x est nul en même tcnijis que fx. Alors les valeurs trouvées pour x ne correspondent jias nécessairement à des maximum ou des minimum; car il vient dans ce cas

f{x + h)-fx= -t-.j^/’-'x +

f(x — h) — fx = — ± ~ '

et on fera voir, comme on l’a fait ])Ius haut, que les deux seconds membres, qui commencent avec des signes dilîércnls, ne peuvent être tous deux ]iositifs ou tous deux négatifs que si f"'x est nul; de sorte que cette condition devra être jointe aux deux précédentes pour qu'il y ait maximum ou minimum, qu’oii distinguera ensuite par le signe que prendra la dérivée suivante f"x. Si celle-ci était aussi nulle, ou prouverait «pic /""'x doit être nul, et ainsi de suite. On énonce donc la règle générale de cette manière ; Pour avoir la valeur de x correspondant à un naxihi'm ou «i un nimmcm d'une fonction, on égalera à zéro la dérivée du premier ordre; on en tirera les valeurs de x , tjue l'on substituera dans f"x ; il y aura maximum ou miximum suivant que le résultat de la substitution sera négatif ou positif. Si le résultat est nul, on substituera les valeurs de x dans f'x et il n’y aura maximi'm ou MINIMUM f/ue si cette dérivée est égale «i zéro; dans ce cas, on distinguera le MAXIMUM du MINIMUM par le signe que prendra f""x après ta substitution, et ainsi de suite.

CALCUL DIFFERENTIEL.

Celle lliéoric esl insiiflisaiitc lorsi]iie, pour la valeur parliciilière de la varialilc ipii répond au maximum, le dcveloppemcnl de Taylor est en défaut dès le premier terme, c’est-à-dire, lorsque la dérivée première f'x prend une valeur iurinie. On évite ce cas d'exception en présentant cette théorie comuic il suit : ce qui caractérise le maximum, c’est celle circonstanec que, en faisant varier ï, fx cesse de croître pour aller en décroissant. Or, on a vu (N“ C) qu’une fonelion esl croissante ou décroissante selon que sa dérivée est positive ou négative; d’où il suit que pour qu’il y ait maximum ou ininiinuui, il faut que la dérivée change de signe, ce qui, quand la fonelion reste réelle, a lieu en passant par zéro ou par l’inlini. D’où il suit que les valeurs cherchées de la variable ne peuvent être que les racines de l’une ou l’autre des deux équations

La théorie précédente n’nvait conduit qu’à la première équation de condition. Comme une fonction qui passe par zéro ou pur l’inlini ne change pas nécessairement de signe, les racines de ces équations ne répondent pas toujours à un maximiiiii ou un miiiimuin et il est nécessaire de s’assurer que la fonction primitive fx est à la fois croissante ou à la fuis décroissante quand un rcnipluce x par x k et X — II, h restant très petit.

Appliquons celte théorie à quelques exemples. Suit la fonelion o — • bx -H X* == fx. Ou en lire

fx = — b-i-'2x — 0, -c = I > f'j: ~

a' = - correspond donc à un minimum. Pour- -, ou IroiiAC

= uni— x-=0clx = ±l, l"x = — '2xy-

' (l-4-X’)‘ (ll-X’*)’

La première racine donne — pour f'x cl correspond à 1111 maxi-

mum. La sccuiulc donne - et correspond à un minimum. Pour l’équation X* — il ail/ — -F- 1 = 0,

un fera

ilii X — ail X

ili y -F- «X •'a

Si i'on substitue celte valeur de ^ dans l’équation primitive, il vient

X* — 2x* r l == 0 d’où x = ± ■

et y=±

On a ensuite

(ox -t- y)*

qui, pour les deux valeurs de x devient, en remarquant que ~ est

nul ,

d*y -t- i d*y — 1 dx*

dx*

La première racine correspond donc à un minimum de la fonction y

et la seconde à un maximum. Pour — > on trouve sans peine que

x = — ^ donne un minimum ou un maximum suivant que a est plus logo

grand ou plus petit que l’unitc.

Nous terminerons ces applications, en résolvant quelques problèmes d’analyse et de géométrie dont la solution dépend do la théorie des maximum cl minimum.

Trouver un nombre x tel que sa racine x'™'' soit la plus grande possible. Le problème posé en équation donne

cl ou trouve

(lu — 1

= (l__logx):=x'-

logx

et par conséquent

1 — logx = 0, d’où x = c = 2, 71828

On ])eul s’assurcp que la solution correspond à un maximum.

Partager un nombre donné a en deux parties telles que le produit de la n'^”'' puissance de l'une par la m'™‘ puissance de l’autre, suit un MAXIMUM. F.ii représentant le produit par y cl l’une des divisions par X, il vient * (It

y=x’'[a — x)” et -p=(tt — x)"nx"~' — x’'m[a — x)"*~‘

= x""' jjid — (m -A- ;t)x! (n — x)”~* = 0.

On trouve que

CAI.CUL DIFFI^.IIENTIëL.

répond & un maximum, x — 0 donne un minimum si n est un nombre entier pair et x = a donne aussi un minimum quand m est pair.

Si m = n=l, il vient *=5» ce qui apprend que le produit des

deux parties d’une droite donnée est un maximum quand les deux parties sont égales.

Trouver parmi les cylindres droits d’un volume donné , celui dont la surface totale, y compris les bases, est la plus petite possible.

V étant le volume donné , si on représente par y la surface totale, par X le rayon de la base et par x' la bautcur, on trouve pour la surface des deux bases iirrx’, pour la surface convexe, 2n-xx' et pour la surface totale Sttx* 2t7xi'. Mais le volume est ;rxV ; on a donc

V = TTX-x' d'ou X = —J J y = 2îrx* »

d’où l’on tire

dit , 2o

— = \nx i==0, 'fttx’ — 2i! = 0,

Mener d’un point donné, à unecourbe donnée, la droite la plus long ue et la plus courte possibles. Suicnl{jf, y’) les eoonloniiécsdu point donné, y = rfx l’équation de la courbe, (x, y] les coordonnées du point de la courbe où 1a droite doit aboutir et l lu longueur de cette droite. Il vient

f* = (x — x')’ -t- (y — y'f = X* — 2xx^ -h x'* -F- y* — 2yy' -t- y'*.

et en reinjdaeant y par sa valeur,

= X* — 2xx' x'* -+- (yx)* — 2y'yx -t- y",

il’où

= X — x' -F- y'x(yx — y') ,