CHAPITRE II
et par conséquent les points cherches sont donnés par les racines de l’équation (*)
Il y a quelquefois certaines précautions à prendre dans le choix de la variable indépendante pour pouvoir déterminer le maximum ou le 7niHÎmum d'une foncliuii au moyen de la théorie générale. Le problème suivant offre un exemple de ce cas. Proposons-nous de chercher la droite la plus longue et la plus courte qu’on puisse mener d’un point A (fig. 5) à un cercle, (x, y) étant les coordonnées d’un point de la circonférence et (x = o, y = 0) les coordonnées du point A, La distance f de d à un point de la circonférence est donnée par
f = |/(x — a)* y* et comme l'équation du cercle est
(') Comme l'équation de I.t normale i la courbe y = au point (ry) est (N“ bd)
rfy,
ox
en la faisant passer par le point il vient
(lu
x' — Jc=: (y' — y) ou x — — y') = 0.
* aæ
on voit donc ipic ce.s droites minimum ou maximum sont des normales nbaissée.s du jioiiit (x', y') sur la courbe.
Pour distinguer le niaximiiin du minimum, il faut remonter à la dérivée de f et on reconnaU iju'il y a niaxinium ou miniiimm suivant ijuc 1 -4- — y')
est négatif ou positif. *
Si on désigne par (a, les coordonnées du centre de courbure au point (x, 5/), comme on a (N« 55)
on reconnaît en substituant, qu'il y a maximum ou minimum suivant qui* — y') est négatif ou positif. Quand la courbe tourne sa concavité vers Taxe des .V, f"x est positif (N® (»5) et il y a maximum ou minimum suivant que y' est supérieur ou inférieur ù fi, c’est-à-dire, suivant que le point donné est plus éloigné ou plus rapproché de Taxe des .V que le ciuUre de cuurbure. Dan.s le cas de la convexité, c'est l'inverse. Il suit delà que silr fwint donné est pfncé dans la pni'tic convexe de la courbe j la nornmh est toujours un minimum ^ tandis que *1 Ir ;w#n/ est placé du coté concave, il y a maximum ou minimum selon tfue la normale est plus grande ou plus petite que le rayon de courlmre, tm smioom/ q%ie la distfincr à la courbe, du point donné est plus ymndc ou plus petite que le rayon de courbut'c.
CALCUL DIFFÉREIITIEL.
il vicnl en éliminant y,
I = |/(x — a)’ -F- r* — X* = [/r* + a’ — 2ax, d’où l’on lire
[/ r- -i- a* — 2ax
Il est visible que eette valeur de ne peut pas être égalée à
zéro quelque valeur que l’on donne à x. Celte difliciiltc cesse d’exister si, au lieu d’éliminer y, on élimine x; car on trouve alors
l = j/y’ -t- X* -t- U* — 2ax = j/r- -a- a’ — 2a j/r* — y^
et il vient, en élevant les deux membres au carré et en dérivant ensuite,
d’où l’on tire pour le maximum ou le minimum,
y==0, / = -H a* iip 2ar = a ± r.
47. Valeurs imaginaires des sinus cl cosinus. Logarithmes de l’unité. — Pour quatrième application analytique du calcul différentiel, nous chercherons les expressions imaginaires des sinus et cosinus. Reprenons le développement trouvé pour e'.
ef— I
etc..
série qui, comme on l’a vu, est convergente quelle que soit la valeur
réelle de x. Remplaçons successivement x par x|/ — 1 et — x|/ — I . Il viendra
etc.
CIIAPITHE II.
jrl/HT . I* -T* **
e ' = 1 H- h etc.
1 de.
Comme les seconds membres sc composciil de deux séries convergentes pour toute videur de x, ceux-ci sont eux-mèmes convergents cl en les rapprochant des séries trouvées pour eos x et sin x, ces égalités deviennent
* = cos X -+- j/ e ^ =s cosx —
d’où l’on tire en les additionnant et en les retranchant successivement,
*1/^ —xy/^ x\/—{ —,1/rT
cosx= , sinx= -
Ces relations dues à Euler, entre les lignes trigonométriques et les
fonctions exponentielles imaginaires * , e * ne sauraient
évidemment servir à calculer les valeurs numériques de cos x et de sin x; mais clics doivent être considérées comme des symboles qui résument toutes les propriétés des lignes trigonométriques et qui peuvent même servir à les démontrer au moyen des propriétés des quantités exponentielles. En prenant les logarithmes népériens des deux membres de la première équation (1), il vient
log (cos I (/^ — 1 sin x) = X j/ — 1.
Soit ff la demi circonférence d’un cercle ayant son rayon égal à l’iinilé, et n un nombre entier quelconque. Il vient en faisant x = nn,
log (cos wr p/ — 1 sin ns) = tir (/ — 1 .
Or, si n est un nombre pair, htt sera un nombre entier de circonférences et l’on aura
cos;i7T=l, sin«:r=0;
CALCL’t. DIFFÉHE.NTIEI.. 1)7
et par suite
lug d — n?r (/ — I ,
qui apprend que l’unité a un nombre infini de logarithmes, puisqu'on peut donner h n toutes les valeurs paires (1, 2, 4, fi, 8, ete. Les logarithmes eorrespondnnts sont 0,2r(/ — d , 4rp^ — d , 8»p/ — I, ete. Le premier est seul réel ; c’est celui que donnent les tables. Les autres logarithmes sont tous imaginaires.
Si n est un nombre impair, on trouve
sin «T = 0, cos nn = — d
et par suite
lOg ( d) = «TT |/ — d
c'est-à-dire, que l’unitc négative a un nombre infini de logarithmes
qui sont rp/ — 1, — d , — d , 7tt|/ — I, etc. Ils sont
tous imaginaires. On conclut de là qu'im nombre positif tiuelconque a un nombre infini de loijarilhmes dont un seul est réel et que ceux des nombres négatifs, aussi en nombre infini, sont tous imaginaires, luir on a
log a = log (a X 1 ) = log a h- «n- (/ — d
log (— a) = log (a X — i) — log U -F- W7r(/^d ,
n étant pair dans la première équation et impair dans la seconde.
48. Racines de l’unité. Racines des équations d deux termes. — Les formules précédentes font connaître les différentes racines de l’unité,
wi „
c’est-à-dire, les différentes valeurs de j/d ; en effet , la théorie des logarithmes donne
logj/T ==-i log 1,
ou bien, en substituant la valeur précédente de lug 1 dans laquelle n est un nombre pair quelconque,
et en passant des logarithmes aux nombres,
and/ — I
lô
98 CU.tPITRE II.
équation qui donne toutes les racines de l'uoité, en remplaçant successivement n par tous les nombres entiers pairs. Ces valeurs de |/T peuvent être mises sous une forme plus commode pour les calculs, en
remplaçant x par — dans (1) du N" 47, ce qui donne
cos — -tm
[/ — 1 sin
ht:
La première valeur de (7ï est 4 correspondant à n = 0. C’est la seule racine réelle, si m est un nombre impair; mais s’il est pair, en faisant passer n par toutes scs valeurs paires croissantes, l’une d’elles
sera égale a m: — se rcdiiit alors a tt et comme cosr = — 1 et
sin r = 0, l’iine des valeurs de |/1 sera — i. Les autres racines sont toutes imaginaires. 11 est à remarquer que quoique le nombre des valeurs qu’on peut attribuer à n suit intini , le nombre de valeurs distinctes qui en résultent pour f/î est liinilé et égal au nombre wi, conformément à la théorie des équations; car il est visible que dans
toute valeur paire de « inférieure ou égale à 2m, donne pour yi des valeurs distinctes, dont le nombre est égal à m, tandis que pour des valeurs croissantes den, qui dépassent 2m, on retombe nécessairement sur les valeurs déjà obtenues et dans l’ordre où celles-ci se sont présentées; en effet si on remplace n par 2m ■+■ n, il vient
ou bien en remarquant que * — -h 1 ,
On retrouve donc loulcs les raeincs précédentes.
CALCUL DIFFKRE.NTIEL. 99
Par un luuycn semblable, on trouvera les differentes valeurs de
— 1 ; il suffira de donner à n un nombre ii de valeurs impaires à partir de « = 1.
« . wi
On voit aussi que toutes les valeurs de yi et |/ — 1 sont expri-
2ort/^ (2i-t- l);t)/^
niées par e "* cl e , en donnant à i toutes les va-
leurs entières depuis 0 jusqu’à m — 1 .
Ce qui précède conduit à la résolution générale des équations à deux termes
y" — 1=0 et y" -«-1=0;
car on en tire
et les valeurs de |/T et de |/ — 1 trouvées plus haut font connaître les différentes racines des deux équations. Si l’on avait
en représentant par r la racine arilhmélique de a, on poserait
y = rz
et l’équation deviendrait
r“z" — 0 = 0 ou z“ — 1=0, en remarquant que r" est égal h o. On lire de celte dernière,
z = [/i et y = ryl
dans laquelle on rcniplaeera y 1 par toutes ses valeurs.
On obtient aussi toutes les racines d’une équation de la forme
y’" + py" = 7;
on trouve d’aboial
ou, en représentant par p' et p" les deux valeurs du second membre supposées réelles,
CJIACiniE II.
r* et r" étant les racines arithmétiques de p' et p", il vient
coiiimc plus haut,
Si le second membre était imaginaire et de la forme a b — i , on poserait
„ H 6/-1 =. p (cos a j/ — 1 sin a).
Les valeurs de p et de a sont déterminées par les conditions a = pcosa, 6 = psina,
d’où l’on tire
f = |/o’-s-o*, tanga = -i a = arctang->
Or (t
et ces valeurs font prendre à ÿ“ la forme suivante ;
, / — - . . al/ — 1 ,
y” = p (cos a -f- |/ — 1 siil a) = e XpXi,
d’où l’on tire
fH ffl W r --
Xl/pKf ~|/pe
a -t- «TT , (
H 1/ — 1 sin-
«Il ^
(a «TT)
dans laquelle yp est la racine m'^"' arithmétique de p, n un nombre pair quelconque et a le plus petit arc qui a — pour tangente.
Cette équation fait connaître toutes les racines de a + b — I
en donnant à n toutes les valeurs entières et paires depuis 0 jusqu’à 2»n, et par suite, les racines de l’équation
y*“ -I- py’' = (]
en remplaçant « et h par — ^ cl ± — q — ^ •
41). Développement de sin’"x et cos'^x. — Les expressions imaginaires trouvées pour sin x et cos x conduisent très simplement an développement des puissances entières des sinus et cosinus en fonction
des sinus et eosinus des arcs multiples, c'est-ii-dirc aux valeurs de siii "JC et cos "X eu fonction de sin «ix, siii (m — 2)x, sin (m — 4)x, etc., m étant entier cl positif; en elfcl, de l’cquatioii
2 cos X = e e ^ ^
on tire en élevant les deux membres à la puissance ni,
2«. eosmx=e'-»/=' -H ' -a- e(’’‘-'‘)"V^-s-ele.
et, si on remarque que x étant quclcon(|iic dans les équations symboliques, peut y être remplacé par mx, (m — 2)x, etc., et que par conséquent on a
gtaxl/ I — J
g(”'— 1 puj, — 2)x -t- j/ — 1 sin (m — 2)x
la valeur de cos"x deviendra
2" cos"x = cos wix -s- m cos (m — 2) x h — ■ cos (m — 4) x
cos (m — G) X
/ 7 r - . / III (ni — 1 ) . . - . .
■y — 1 [sin mx -i- m siii (m — 2) x -i ^ — • sin (m — 4) x -♦- etc.]
Comme le premier membre de l’équation est réel, le second doit l’être
aussi et par conséquent le cocHicicnt de ^ — 1 doit néccssaircnicnl être nul, ce qu’il est du reste facile de vérifier directement, quand ni est entier, en observant que la parcntlicsc contient la suite des sinus
sin DIX, sin (m — 2)x, sin (m — 4)x.... sin (4 — m)x,
sin (2 — m) x, sin ( — m) x
qui sont égaux deux à deux et de signes contraires, ainsi que les coelli-
wi (m — 1) ....... . . ...
cicnts ni, ’ etc. places a égale distance des deux extrémités;
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CIIAPITRE II.
Ions les termes se détruisent done deux à deux et la valeur de cos"j se réduit à
2'" cos"'x = cos «IX H- m cos («i — 2) x
cos (m — 4) X -+- clc.
qu’on simplifie encore par la remarque que les termes placés à égale distance des deux extrémités sont aussi égaux, et qu’il suint jiar cunséqiicnt de doubler ceux de la première moitié. Une marche analogue donnera la valeur de sin“x. On trouve ainsi, si «i est pair, en écrivant 2m au lieu de m,
2*" ( — 1)" siu *■" X == cos 2mx — 2m cos (2»i — 2) x
eus (2«i — 4) X — etc.
et si m est impair.
Hl— I
2" ( — 1) ^ sin“x = sinmx — m sin (m — 2) x
H i sin (m — 4) X — etc.
Ces développements doivent être prolongés jusqu’à cos ( — 2m)i et sin ( — m) X ; mais ils se simiiliftcnt eoiiiiiic plus haut, en remarquant que les termes de la seconde moitié ne l'ont que reproduire ceux de la première.
50. Formules de Moivre. Dêveluppemenl de cos mx et sin mx. — Si l’on élève à la puissance m les deux membres des équations
il/— I / — 7 .
e =cosx-H|/ — isinx,
s ~ * = cos X — (/ — 1 sin X ,
il vient
vu: 1/ — 1
= (cos X + [/ — 4 sin x)"*,
C '«^1/ I Jçyj, J. ^ J
D’un autre côté, en rcmplaeaiil x par mx dans les premières équations, on trouve
^iiii^/ I ^ j/ — 1 sin «IX
CALCUL DIFFCnENTIEL. 105
on a donc, quelle que soit la valeur de T, les relations
(cos X -i- — 1 sin x)" = cos mx p/— 1 sin mx,
(cos X — [/ — I sin x)”* = cos mx — j/ — 1 sin mx,
qui ont été données pour la première fois par Moivre. On en tire
(cos X -A- i/ — 1 sin x)" -E- (eus x — sinx y' — I)” cos mx = — J
sin mx ■■
(cos X -h [/ — 1 sin x)” — (cos x — sin x — 1)"
2j/IIT
Si on développe les puissances m'™" par la formule du binôme, les imaginaires disparaissent et l’on a les expressions suivantes de cos mx et sin mx en fonction des puissances de cos x et sin x,
cos"“* X sin* X -H etc.
sin mx = m eus""' x sin x cos'"“* x sin’ x -i- etc.
Ces deux développements qui s’arrêtent lorsque m est un nombre entier, sont inverses de ceux qui ont été démontrés au numéro précédent.
.51. Quelques valeurs symboliques remarquables. — Nous terminerons ces applications analytiques, en faisant connaître plusieurs formules symboliques remarquables. Si par la règle du N” 54 on clierclie
la limite vers laquelle converge l’expre.ssion
quand n
converge vers l’infini, on trouve
limite de
d’où lim
e désignant, à l’ordinaire, la base des logarithmes Népériens. En faisant h égal à log a, il vient
O = lim
