CHAPITRE I

manière tonte dilTéreiitc. Dans /"(r, i/) =0, la variable dépendante y est combinée avec la variable inilépcnilanle x et est dite pour ce motif fonction implicite de jr; tandis qnc dans y ^ yx, y se trouve exprimée au moyen de la variable indépendante x, et est dite fonction explicite

de X.

Lorsque deux équations à deux variables

ont lieu simultanément, c’esl-îi dire, lorsque x et ^ ont la même signification de part et d'autre, les valeurs de ces deux quantités sont entièrement déterminées, si les deux éipiations sont distinctes, puisqu’elles sulliscnt pour déterminer deux inconnues. Leur ensemble représente par conséquent un ou plusieurs points, ce qui résulte aussi de ce que les coordonnées x, y ne peuvent appartenir qu’aux points d’intersection des deux courbes représentées par chacune des équations prises isolément.

Considérons maintenant une équation à trois variables,

Elle représente en général une surface; en effet, admettons que x, y cl î soient les trois coordonnées d’un point dans l’espace, rapporté à trois axes rectangulaires. En concevant l’équation résolue par rapport à il vient

si maintenant on prend un point quelconque dans le plan des XY et qu’on substitue dans l’équation |iréeédeutc les valeurs de x et ^ qui correspondent à ce point, on en déduira la valeur de z, que l’on portera sur une ordonnée menée par le point parallèlement A l’axe des z, ce qui déterminera un point dans l'espace. En considérant suceessivement tous les points du plan des XY, il est clair que l’on fixera dans l’espace une suite de points dont l’ensemble donnera lieu en général à une surface, lieu géométrique de l’équation.

Les deux variables x cl y, dont on dispose à volonté, se nomment pour ce motif variables indépendantes , et z dont la valeur est assujettie à satisfaire à l’équation et dépend des valeurs attribuées à x et t/, sc nomme variable dépendante cl est fonction de x et y.

Si deux équations à trois variables

existent simultanément, le système de ces équations appartient à

CAI.CUL DIFFÉHKNTIEI..

riiitcrsectiüii des driix surfaces rcpréscnt<5es par chaciiiie des é(|iiations et par cuns(!qtienl à iiiie courbe située dans l’espace; car x, y et 5 devant avoir la mâine valeur dans les deux équations, ne pourront appartenir qu'aux points coniiuuns à ces deux surfaces.

Eu éliminant successivement entre ces deux équations les variables I et y, elles pourront être mises sous la forme

et celles-ei tiendront lieu des deux précédentes. Quoiqu’elles ne contiennent, cbacunc, que deux variables, elles rc|ircscntcnt encore des surfaces; mais celles-ei sont les cylindres formés par les pcr])endiculaires abaissées de tous les points de la courbe de l’espace sur le plan des XZ, pour la première, et des YZ pour la .îccondc; car la première équation exprime la relation qui existe entre x et z pour un point quelconque de la courbe de l’espace, et comme ces deux coordonnées sont les mêmes pour tous les points de la |)crpcndiculairc abaissée sur le plan des XZ, cette relation subsistera pour tous les )iuints de l’une quelconque de ces perpendiculaires, c’est-à-dire, pour le cylindre projetant. Il en est de même de la seconde équation. Il est à remarquer que, comme les points de la projection de la courbe dans le plan desXZ, appartiennent au cylindre projetant, l’équation

■Xi,z) = 0

appartient aussi a cette projection, de même que l’équation

fÜf, 2) = 0

représente la projection de la courbe sur le ])lan des XZ. On voit donc que la courbe représentée par le système des deux équations

se trouve donnée jiar deux de scs projections. Si l’on conçoit celles-ci mises sous la forme.

X = Fz, y = F'z,

il est visible que l’on ne peut disposer que d’une seule variable z, à laquelle on est libre d’attribuer toutes les valeurs possibles et que les deux autres sont déterminées aussilèt que l’on a fixé la valeur de

rnAPiTKi’: i.

la prcmicTe. C’csl pourquoi ccllc-ci est seule variable indépciulantc cl les (leux autres soûl des xariabics (k'penilaiilcs.

Si Irois équations à trois variables existaient sininllanéinent, leur ensemble ne pourrait rc|)résenlcr qu’un ou plusieurs points situés dans l’espace; en effet ces trois équations suffiraient pour déterminer les valeurs des trois coordonné'cs x, y et z, qui fixeraient la position d’nn point dans l’espace, si ces valeurs étaient unii|ues, ou |dusicurs points, si l’on trouvait pour x, y cl z plusieurs valeurs réelles. On est conduit au meme résultat en remarquant que le système des trois équations ne peut ajipartcnir qu’à rinterscction des trois surfaces, intersection qui, en général, ne peut être qu’un point ou plusieurs points isolés.

Une foncliou est dite continue, lorsqu’cn faisant croître la variable indépendante d’une manière continue entre certaines limites, la fonction varie cllc-mcine d’une manière continue, ou, en d'autres termes, lorsque ])our des accroissements de la variable indépendante, moindres que toute grandeur assignable, la fonction éprouve elle-même des variations moindres que toute grandeur assignable. I.a plupart des fonctions sont dans ce cas et les courbes qu’elles repré;senlcnt sont dites courbes continues; mais toutes les fonctions ne jouissent pas de cette propriété; elles sont dites alors discontinues , ainsi que la courbe ou plutêit le lieu g('‘ométriquc correspondant, qui se com[iose alors de points cl de ]iortions de lignes isolés. Les principes du calcul différentiel, fondés essentiellement sur la continuité des fonctions, ne sont pas applicables en général à ces sortes de fonctions.

Souvent des fonctions dites continues présentent des discontinuités accidentelles qui se inanifeslcnt de différente manière dans la courbe qui en forme le lieu géométrique et donnent naissance à des ( oints appelés singuliers. Cette circonstance se présente particulièrement lorstpic 1a fonction devient brusquement infinie ou imaginaire pour une valeur déterminée et finie de la variable indépendante et sera l’objet d’un examen particulier.

3. Limite du rapport de t accroissement d’une fonction d l'accroissement de la variable. Fonction dérivée, — Considérons maintenant une fonction explicite et continue quelconque

y-=-fx.

Concevons que x prenne nu accroissement h; y ou la fonction fx prendra une nouvelle valeur y' telle que y' = f[x -i- A); l’accroissement de y sera

V' — V = f{x+h)-fx

CALCUL DIFF15bEMIF.L.

et le rapport de raccroisscmenl de la fonction a celui de la variable sera exprimée par

f[x + h)—fx

En représentant par les signes et Ax les accroissements ou Icx (lifférences de y et de x, on a donc

Ay f(x -H h) — • fx Ax h

La valeur de ce rapport s’obtient facilcnicnt dans cliaquc cas particulier; ainsi si l’on fait

on trouve

Ay — r* a-*-!— — x*

Ax h h

4x ^ 4-6 Ax * -f- ( A * x-i- A ' .

On voit par cet exemple, qu’en général , la valeur de ^dépend de

X et de l’accroisscmcnt h ou Ax donné à cette variable. On voit aussi Au

que le rapport — approche d’autant plus d’élre égal a 4x’ , que

raccroissement h est plus petit, en sorte que 4x* est la limite vers laquelle tend sans cesse le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, lorsqu'on fait décroître h jusqu’à

zéro. 4x’ n'étant plus qu’une valeur particulière de on indique

cette circonstance en remplaçant la lettre A par la lettre d et on écrit

On trouve de même pour la fonction

y — a-+-bx — ex-’,

la limite suivante

— ^=SS h .ÏC-T^.

On voit par ce qui précède, que ^ doit être considéré comme une

ciiAriiuB I.

notntiun generale servant à représenter ce que devient — à la limite,

nu lorsqu'on lait Ax nul. La limite du rapport de raceroisseincnt d’une fonction à celui de sa variable se nomme fonction dérivée, par opposition à la fonction donnée qui prend le nom de jonction primitive.

4. Signification géoinélrigue d’une jonction dérivée. — Le calcul différentiel a pour objet de trouver la fonction dérivée, pour toutes les formes de fonctions pi imilivcs et de rcebcrclicr les propriétés des ilérivécs. Avant de nous occuper de ces recbcrelies, il est essentiel de démontrer que la valeur limite qui constitue la dérivée d’une fonction déterminée de x est en général cllc-mêinc une certaine fonction de X dont 1a forme dé|)end de celle de la fonction primitive et que par conséquent cette. dérivée ne saurait avoir, pour toute valeur de x une valeur invariable telle que zéro ou l’infini ou une valeur indéterminée. Cette proposition peut se vérifier par des considérations géométriques très simples; en cllcl on a vu (N" 2) qu’une équation du la forme

représente, si fx est continue, une certaine courbe d'une forme déterminée rapportée à deux axes et ayant (x, g) pour coordonnées de l’un quelconque de scs points. Soit donc BMC (fig. 2) cette courbe, A.\, AY les deux axes que nous supposerons rectangulaires et .M un point t|uclconque pris sur la courbe et ayant pour coordonnées x cl g ou AP et PM. Si l’on donne à X un accroissement PP' = /i ou Ax, l'ordonnée deviendra M'P' ou P'N -i- NM', c’est-à-dire, g N.M', en sorte que N.M’ sera raccroissement Ay de g correspondant à raccroissement h de x; on aura donc

tangS,

à cause de la propriété du triangle rectangle M’MN et de l’égalité des

angles M'.MN et MS.X ou S. On voit que le rapport — représente, en

général, la tangente trigonoraélrique de l’angle que fait la sécante MN' ou Ssavcc l’axe desX. Si maintenant on suppose que k on PP' diminue d’une manière continue, la sécante S.s pivotera autour du point M et se rapprochera de plus en plus de la touchante Tl à la courbe au point M, et elle se confondra avec cette touebantc, ou, ce qui revient an même, l’angle S se confondra avec l’angle T, lorsque h sera

CALCLI. niFFEUEXTlEL.

devenu 7,éro; d’on il suil <iuc la limite de renresente la lan-

‘ dx Aj: '

gente trigonométriqiie de l’angle que fait avec l’axe des X la toneliante à la courbe an point M ; or, il est clair que la valeur de cet angle change pour chaque point M, suivant une loi déterminée qui est une

conséquence nécessaire de la lorme de la courbe. Lu valeur de

est

donc une fonction de la variable x, cl la forme de celte fonction dépend de celle de la fonction primitive /x.

5. Signification analytique d'une fonction dérivée. — La même proposition peut être démontrée par des considérations purement analytiques, comme il suil : divisons raccroissement h de la variable x en un nombre n de parties égales représentées par i el faisons croître cette variable par inlcrvullcs égaux à i. La fonction deviendra sueces-

.sivcmenl /x, f{x+i), /"(x -t- 2i) f{x ni) ou f{x + h) el

les rapports des accroissements successifs de la fonction à raccrois-

sement de Sf[x -a- i)

la variable, rapports que nous a/‘(x -V- 2i) A/|x -t-(« — l)i']

f(x + i) — fx ^

fiesigncrons par »

I Hcvieiidrunt

• Ax

i Ax

^[(x ■*- {n — 1 ) f) -V- i] — (\x -V- (» — I ) «] A/'Ix -t- (m — I ) i]

I Ax

Si- on additionne ces équations membre à membre , en remarquant que le premier terme de chaque équation est détruit par le second lennc de l’équation suivante, un trouve

/‘(x-t-ni) — fx a/x \f(x+i) A/'(x-t-2i) ^A/^x-t-iw — 1)i]

i Ax Ax Ax Ax

ou bien, en divisant les deux membres par n et remplaçant ni par h , f(x-*-h) — fx 1 ( A/x ^f(x-^-i) A/(x-*-2i) A/|x s-(n — l)i]l

h n ( Ax Ax Ax Ax ^

CIIAPITIIE I.

Il csl visible qu’en prenant n sullisoniinent grand, on pourra faire en sorte que ni conserve une grandeur finie donnée /i, quoique i aille eu décroissant indélininient , et le second inenibre représentera toujours la moyenne urilliniéliqnc des n valeurs i)ar Icscpielles passe

— ■ tandis que la variable passe d’une valeur x a une autre valeur i ■

par des accroissements successifs égaux i ou -• Si on suppose que i

ait atteint la limite de scs décroissements, les différents termes du second membre seront les valeurs sucpessi^es par Icscpiclles ])asse la fonction dérivée dc/x, tandis que la variable croit d’une manière continue depuis une valeur x Jusqn’î’ia: h. Or, si la dérivée n’était

pas fonction cle x ou était itifinic pour toute valeur de x, cette dérivée ne changerait pas quand on cliangc eellc de x, c’est-à-dire, que les

dérivées de fx, f{x -r- i), f[x -f- 20, f[x -v- 3ij seraient toutes

égales entre elles et indépendantes de x ou toutes infinies, ainsi que la moyenne arithmétique de ces quantités , résultat incompatible avec l’équation précédente; car le second membre serait indépendant de x ou infini, tandis que le premier contient évidemment cette variable, puisque f[x -V- h) — fx est une fonction de x qui n’est pas infinie quand fx ne l’est )ia$.

Une seule fonction fait exception à cette règle; c’est celle qui est de la forme ax b dont la dérivée est constante cl égale à a.

Coniinc la dérivée de fx est elle-même une fonction finie de x, nous la représenterons souvent ]>ar fx.

Puisque les

limites des quantités

Af{x)

a/(x -r- 0 Ax

lf(x -4- 2l) Ax

sont les fonctions dérivées de fx , correspondant aux différentes

valeurs x, x-t- i, x -+- 2i par lesquelles passe la variable x

en croissant jusqu’à x-+-/i, il résulte de la valeur trouvée pour

— que le rapport de l'accroissement d’nne fonction à

l’accroissement h de la variable est égal d la mogenne urilbméligue des valeurs par lesquelles passe la fonction dérivée, lundis que la variable passe d'une valeur x d une valeur x -v- b d'une manière contin ne.

Il est à remarquer que la démonstration précédente et la ci>nséqucncc qu’on vient d’en tirer, supposent essentiellement que fx et sa dérivée fx conservent des valeurs finies et réelles, c’est-à-dire, rcs-

CALCUL DIFFÛnO'TIEL.

lent continues entre les deux limites ictx-i-/»; car des aecroissenicnts de runcliuus qui dcviciiucnt infinies ou imaginaires et des nioycnncs entre les valeurs de ces fonelions n'auraient aucun gens saisissable. Cette coiidiliou de rouliiiuilé |>eut être eousidérée comme remplie lorsqu’on n'assigne à x aueunc valeur particulière, parce (pie l’on admet lacitement que l'un reste dans les limites où les ronctions /x cl fx restent continues. Dans ce cas, si on désigne par /l'el h" les valeurs de raccroissement h, qui font prendre à la dérivée f'(x -t- h) la plus grande et la plus petite valeur par lesquelles elle passe, tandis que A croit depuis 0 jusipi’à A, il est évident ipie la valeur moyenne de la dérivée sera comprise entre /'[x -t- A') cl f'(x ■+■ A''); or, s’il y U continuité dans la runetion dérivée, ce qu'on peut admettre (piand on n’attribue pus à x une valeur particulière, il est visible que, taudis que A croit depuis A' jusipi’à A", la functioii f’[x -+■ A) doit passer par toutes les valeurs comprises entre /'(x ■+■ A') et f'{x ■+■ A"); il y a donc une valeur de A comprise entre A’ et A'' cl eonséqiieiumcul entre 0 et A, qui rend f{x ■+• A) égal à cette moyenne, c’est-à-dire, qu’on aura, 0 étant un certain cocflicient compris entre 0 et 1,

f{x -t- A) — fx

-L-=f'{x -F- OA).

Cette équation <[ui doit jouer un grand riÀlc dans tout ce ([ui va

. f[x -F- A) — fx . .

suivre, ne donne pus la valeur exacte de ; — mais lait

eounailrc des limites entre lesquelles se trouve compris ce rapport. I.’inlcrprétution géométrique de cette valeur est très simple; elle exprime évidemment que si lu courbe est continue entre les points M et M' (lig. 3) correspondants aux abscisses x et x -i- A cl si les iiieliuuisons des langciiles sur l’axe des X varient aussi d’une manière continue, la tangente NX' parallèle à la corde MM' aura sou point de contact R placé entre .M et M'; <uir si l’on fait 01’ =x et l*l’' = A,

JÛ (f. sera la tangente de l’angle M'MS et on a vu (4) que

f[x -F- OA) est la tangente trigouoinétri([ue de l’angle que forme avec l’axe des .\, une touchante NX' à la courbe, en un point R correspondant à l’abscisse x -F- (/A, c’est-à-dire, compris entre .M et M'.

On tire de réqnalion précédente la valeur de f(x -F- A),

f{x -F- II) = fx -¥■ hf'{x -F- OA).