CII.U'ITBG II

d’où l’on lire pour l’expression symbolique d’un logarithme ,

log O = lim w ([/a — 1) = oc (|/â — 1).

On a vu plus haut que les diiïércnles valeurs du logarilliinc de l’uaitd négative sont données par la rurniiilc

Iog(— i) = n7: i/— l,

n étant un nombre entier impair quelconque. En faisant n égal à l’unité, on trouve pour expression symbolique de la demi circonference du cercle ,

d’où l’ou tire, en. passant des logarithmes aux nombres,

CIIAPITUK III

Appücnlioiis gpomrlriqucs du calcul diAférciiticl. Taiigciifcs et normales aii\ courbes planes. Sous-tangente'.. Soiis>riorinales. — ('.mirbes o.sculatriccs. — Propriétés des courbes osciilHlrices. — (Cercle osculalcur. — Rayon de courbure. — Ouilrc (le courbure. — Courbure d’une courbe en un point donné. — E(}ualiuü d’une développée. — I*ropriétés des rayons de courlmre. — l>t*rivéc de l’arc d’une courbe. — Propriétés des déveIop|K*es. — Equation et jiropriélés de la cycloîde. — Epicycloïde. — Analyse d’une courbe. Points singuliers. — Point multiple. — Point de n'broussemeiit. — ■ Point suiliniit. — Point d'arrét. Point conjugué. — Tliéorèii*e sur les points singuliers. — Point d’inflexion. — Coordonnées polaires. — Rayons de courbure et dévelopj>ées dans les courbes ]K)laircs. — Sons-tangentes et sous-normales polaires. — .\]>plication aux spirales. — Courbes enveloppes. — CausU(pies. — Inverse du problème des rourbes enveloppes.

52. Applications cièoméiriques du calcul différentieL Tangentes et normales aux courbes planes, Sous-tangm^s. Sous~norniales. — Pour première application géométrique du calcul dilTércnlicI , occupons-nous de la détermination tics tangentes aux courbes planes. Soit

l'cquation d’une courbe rapportée à deux axes rectangulaires des X et des Y. On a vu (N“ 4) que si en un point (x, y), on mène une touchante, celle-ci fait avec l'axe des X un angle dont la tangente trigo-

nométrique est égale à la dérivée de la variable dépendante y, ou ■

Celte proposition renferme toute In théorie des tangentes et suffit jiour déterminer de grandeur et de position, les droites qui en dépendent,

riitriTRE m.

telles que sons-tangentes, normales, sons-normales, etc. Représentons par (i', y') les eoordonnées courantes île la tangente. Puisque celle-ci passe par le point <le contact (x, y) de la courbe et qu’elle fait avec

(lu

Taxe des X un angle dont la tangente est-pj son équation est de la forme

Le point T ou la tangente Tt (fig. 2) rencontre l’axe des X, s’obtient en faisant y' = 0 dans l’équatioii precedente et en tirant la valeur de x' qui est

JL.

Telle est la valeur de AT. Pour avoir la sous-tangente PT, il faut de AP ou X retrancher AT, et il vient

sous-tangente PT = |^ • dx

I.a longueur de la tangente MT se lire du triangle rectangle MPT. Il vient

MT = /.MP* -t-'PT*

'In

La normale MQ passant par le point M dont les coordonnées sont (x, y), a une équation de la forme

y — f/ = tanga(x' — x).

(x’, y') étant les coordonnées courantes de MQ et a l’angle que fait MO avec Taxe des X; mais comme cette droite est perpendiculaire sur MT, on a pour condition

1 tang a-T- = 0 (1 ou tang a =

dx dy

CALCl'I. DIFFÉliK.NTItL.

l'dquatiuii de lu normale est dune

La distance AQ s’obtient en faisant y' = ü et en tirant la valeur de x'. On trouve

AQ = y|-F-x.

On déduit de là pour la sous-norinalc PQ,

PQ=AQ — AP = AQ — x = yi^- Ou trouvera de même pour la longueur MQ de la normale,

MO-/MP + l'g- - y/j,. + j,y/| + .

Prenons ]>uur exemple la courbe qui a pour équation y’x — 2yi’ -+- x’ — 1=0.

On en tire

(/y — y* 4xy — 3x* ôx — y

2xy — 2xî

Les équations de la tangente et de la normale à cette courbe au point (x, y) sont donc

Les valeurs de la sous-tangente, de la sous-normale, etc., s'obtiendront tout aussi facilement.

Ce qu'on vient de voir, conduit à la solution de tous les problèmes relatifs aux tangentes ou aux normales des courbes. Proposons-nous, par cxcin|)lc, de mener par un point extérieur ou intérieur une normale à une courbe donnée. Si (x', y'), (a, b), (x, y) sont les coordonnées eourautes, celles du point donné cl celles du point de

rencontre, cl si ly = fx est l’cquntion de la courbe, réquation de la normale sera de la forme

et comme celte droite doit passer par le point (a, 6), il en rcsulleru ou bien

dans laquelle x appartient au pied de la normale. Les racines réelles de celle équation iixeronl donc la position des dilTcrentcs normales. Comme cette é([iiation est la même que celle que nous avons trouvée en clicrehant les droites les plus longues et les plus courtes qu’on peut mener d’un point [a, b) à une courbe y = fx (fin du N" 4C), on eti a conclu (jue les normales se confondent avec ces dernières droites.

S3. Courbes oscilla trices. — Une des princij)alcs applications géométriques du calcul dilTércnticl est celle qui a pour objet la théorie des courbes osculalrices. Convenons de représenter par

y = /x et y = yx

les équations de deux courbes rapportées aux mêmes axes cl dont la première désignée par f est entièrement déterminée et invariable, tandis que la seconde y est susceptible de prendre une infinité de formes et de positions diiïércnles par rapport à 1a première, par suite de rindétcrminalion d’un certain nombre de coeflicicnls ou paramètres

littéraux a, b, c, d contenus dans <fX. Si on dispose de quelques-

unes des indéterminées a, b, c.... de manière à l'cndrc la seconde courbe tangente en un point donné de la première et qu’on donne aux autres les valeurs qui rendent le contact le plus intime possible, c’est-àdire, celles qui rapprochent le plus possible la courbe variable de la courbe fixe, dans le voisinage du point de contact, cette courbe variable ainsi déterminée est alors appelée osculalrice de la courbe fixe.

En désignant par x, y les coordonnées du point de contact, on doit avoir pour ce point

y — fx, y = yx

et l’équation

fx = fx

exprime que les deux courbes ont un point commun.

CALCUL UIKFLRENTIËL.

De même, pour rendre les courbes tangentes ou pour leur donner une touchante commune en ce point, il fout évidemment que a, b, c.... satisfassent à l’équation de condition

f'x et f'x étant les dérivées premières de fx et de y*. Quant aux autres indéterminées a, b, c.... que nous supposerons en nombre n, leur valeur s’obtient en égalant les dérivées successives des fonctions fx et <fX, c’est-à-dire que ces valeurs sont les racines des équations suivantes : (1)

fx=>fx, f’x = f'x, f'x=<f'x, /’"x=ÿ"'x... =

leur nombre étant égal ù n ou au nombre des indéterminées a, b, c.,.. Pour démontrer que la courbe ainsi obtenue, est en clTct l’osculatricc cherchée, c’est-a-dirc celle de toutes les courbes variables qui se rapproche le plus de la courbe fixe dans le voisinage du point de contact, il faut faire voir qu’à une distance très petite de ce [loint, l’intervalle entre la courbe fixe f el la courbe y telle que nous venons de la déterminer, est moindre que l’intervalle, pris à la même distance, entre la courbe fixe f et l’une quelconque des courbes variables

obtenues en attribuant à a, b, c des valeurs autres que celles

qui satisfont aux équations précédentes. Soit M (fig. (i) le point de contact, M/'la courbe fixe, M? la courbe qu’on vient de déterminer et h un intervalle PP' très petit. 11 est visible que les ordonnées M'P' et N'P' sont données par les développements de f{x -♦- h) et y (x H- A), et que, par conséquent, l’intervalle M'N' des deux courbes est la différence de ces développements, c’est-à-dire, que l’on a, en supprimant les termes égaux,

M'N' = (/■*■" X — ® i"> x) h etc.

tandis que, si on compare la courbe M/ à une des autres courbes .M{/, pour laquelle les équations (1) ne sont pas toutes satisfaites, en désignant l’équation de celle-ci par

l’intervalle .M'N" sera encore donné par la différence dc/’(x-t-A) et de •}>(x-+- A), et comme quelques-unes des équations (1) n’ont pas lieu, la différence des deux développements ne commencera pas au

cuM-mit: III.

nn /i", mais à un terme en h"', n' étant inférieur à n, de sorte i|iie l’un aura

Eu prciianl le rapport et supprimant le facteur eoiuinun il vient

etc.

M’iN"

et il est visible qu’en faisant h très petit, M'.N' sera moindre que M'N"; car le niiniéraleiir peut être diminué autant que l’on veut, puisqu’il converge vers zéro, en diminuant le facteur commun A, tandis que le dénnminatciir se réduira nu ternie fini

M-^ est donc plus éloigné de .M/'que My, qui est par conséquent une osculatrice, et cette osculutrice est dite de l’ordre n — 1, parce que les II — I premières dérivées sont égales à celles tirées de réiinalioii de la courbe fixe. Le nombre de conrlaiile;) arbitraires contenues dans Vèquation de la courbe variable, diminué d'une unité, indit/ue donc l’ordre de l'osculatrice ou l’ordre du contact des deux courbes.

Ui. Propriétés des courbes osculatrices. — Les courbes osculalriccs jouissent de plusieurs propriétés générales indépendantes de la forme de l’équation choisie pour les représenter, ou ce qui est lu même chose, indépendante de In nature de la courbe variable. Kcmnrqnons d’abord que si dans la valeur de M'N' on fait h très petit, le premier ternie devant lequel les antres sont négligeables, contenant le facteur h”, est un infiniment petit de l’ordre n. Il résulte de là que lorsque deux courbes sont osculatrices de l’ordre n — 1, leur intervalle pris à une distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est un infiniment petit de l’ordre n. ('umme la direction des axes auxquels on rapporte les deux courbes est entièrement arbitraire, il e.st visible que cette jiropriété subsiste, (piellc que soit la direction suivant laquelle on incsiire la distanee des deux courbes. Une seconde propriété eunsi.ste en ee que de deux osculatrices quelcuntfites d'un

CALCUL UIFFERRNTIEL.

ordre différent , tracées en un même fioint d'une courbe fixe donnée , celle (jui a un rontart.de l'ordre le plus élevé se rapproche le plus de la courbe fixe. La déinnnstralion de ce llicorèmc résulte inimé- (liateiiiciit (le ee (|iii a été dit plus haut; eu cflet, si

ij = fx, y = yjF, y - -\x

sont les équations de la courbe Gxe et des deux osculatriecs contenant, la première, un nombre n de constantes arbitraires et la seconde, un nombre «' moindre que n, ou trouvera comme précédemment, que l’intervalle entre la courbe fixe et cbacune des deux osculatriecs est

X y(.i X) -t- etc.; (f-’' X — y-'> a:) j h- etc.

et on prouvera en cbcrchant le rapport de ces deux valeurs, comme on l’a déjà fait, que la première différence tend à devenir moindre que la seconde à mesure que h diminue.

Il résulte aussi de la valeur qu’on vient de trouver pour la différence M'.N' des ordonnées dans la courbe et dans l'osculatrice, savoir :

M'N' = M'P' — N'P' = if"x — y'*’x) a- etc.

que, lorsqu'une osculalrice est d’ordre impair, elle ne fait que toucher la courbe, tandis qu'une osr.ulatrice d'ordre pair la traverse au point de contact; car dans le premier cas.

conserve le même signe quand on rend h négatif, tandis qu’il change de signe dans le second cas, et comme en prenant h très petit, ce t. rmc donne son signe à la série qui représente 1a valeur de MW', on en conclut (|ue pour un ordre impair, la différence M'N' eonserve le même signe des deux ciUés du point M et qu’il en change quand l’ordre est pair, c’est à-dirc, (jne les deux branches de l’osculatrice sont placées du même côté de la courbe dans le premier cas et de côtés différents dans le second.

La considération des iiiliniinent petits conduit fort simplement à une tbéorie des courbes osculatriecs un peu différente de la précédente. A ce nouveau point de vue, on donne le nom d’osculatricc de l’ordre n — là une courbe qui an — 1 éléments consécutifs communs avec une courbe donnée, ou, ce qui revient au même, qui a n points communs.

ClUPITRË III.

CCS poinls (itant inrinimcnt rapproches. Eu désignant par x l’abscisse de rexlrcmitc du premier élément, parx -t- (/x, x -i- dx'....x -4celles des points siiivanls, et représentant par y = fx, y = les équations des deux courbes, celte coïncidence est déterminée par les égalités suivantes :

fx = yx, f{x dx) = y (x -4- dx), f[x -i- dx') = y (x -4- dx’)

f[x -4- dx'""“) = y (x -4- r/x'" "),

si on développe chacune de ces fonctions au moyen de la formule de Taylor, en ne conservant que les deux premiers termes dans la seconde équation, les trois premiers dans la troisième, etc., et en supprimant dans les deux membres de chacune d'elles, les termes égaux, on retrouve les équations de condition auxquelles on était parvenu plus haut.

5d. Cercle osculateur. — Les courbes osculatriccs offrent un moyen facile et commode pour reconnaître la forme qu’affecte en chacun de ses points , une courbe qui n’est donnée que par son équation; car si l’on choisit pour osculatricc une certaine courbe dont la forme est bien connue, et que l’on détermine, comme on vient de le voir, les constantes qui entrent dans son équation, un petit arc pris sur l’osculatricc dans le voisinage du point de contact se confondra sensiblement avec l’arc correspondant pris sur la courbe proposée, et celle identité sera d’autant plus parfaite que l’osculatricc sera d’un ordre plus élevé.

La courbe qui présente le plus d’avantages comme osculatricc, est incontestablement le cercle. L’uniformité de sa courbure et la simplicité de sa construction le rendent éminemment propre à cet usage. Concevons que l’on mène une suite de cercles tangents à une courbe donnée, en un certain point et qu’on détermine celui de tons ces cercles qui SC rapproche le plus de la courbe; un arc de ce cercle se confondra sensiblement dans une petite étendue, avec un arc de la courbe donnée et en fera connaître la courbure au point de contact. Appliquons donc au cercle en particulier ce que nous avons dit des osculatriccs en général. En désignant par * et ,9 les coordonnées du centre et par V le rayon, l’équation du cercle est

qui ticniira lieu de l’équation générale des osculatriccs

y = yx.

CALCUL DIFFÉIIEMTIEL.

Elle renferme trois constantes «, p et 7 dont on peut disposer ; le cercle ne peut donc être qu’une osculatrice du deuxième ordre. Pour déterminer ces trois constantes, représentons par x, y les coordonnées du point de contact et posons les trois équations de condition,

/ï = fX, fx = f'x, f”x = ?"x.

Celles-ci deviennent

fx = p±i/f — (x — a)*, fx = qp

f'x = zp ^

qu’il faut résoudre par rapport à a, p et 7. A cet effet, on éliminera 7 entre la première et les deux autres, et l’on aura d’abord

d’où l’on tire

fx—p-

Eu substituant ces valeurs dans la première, on en tire

dy d*y

Si l'on convient de représenter ^ dérivées tirees de

l’équation de la courbe fixe, les trois équations peuvent aussi s’écrire

dx d*y