CHAPITRE III
Le ccrdc osciilalciir élaiil une osculalricc du second ordre, il résullc de ce qu’on a vu à la fin du N" 54 qu’il coupe en général la courbe donnée au point de eonlact.
56. Rayon île courbure. Centre île courbure. Courbure d’une courbe en un point donné. — Les trois équations (1), (2) et (3) donnent les valeurs de «, p et y nécessaires pour que le cercle soit une osculalricc du second ordre; la troisième en fait connaitre le rayon. Comme cette longueur suffit pour faire apprécier la courbure du cercle et par conséquent de la courbe au point de contact, ou donne à y le nom de rayon de courbure. Les valeurs de * et de p fixent la position du centre du cercle osculatcur, point auquel un a donne le nom de centre de courbure. Le rayon d’un cercle osculatcur étant une quantité essentiellement positive, on conserve celui des deux signes qui rend la valeur de y positive; ainsi, si f'x est négatif, on emploie le signe moins.
Prenons pour exemple l’ellipse dont l’équation est A^y^ -r-
On en tire
d’où
cg + fl-x-o. +
dy B^x iRy
dx A*y' dx*
et en substituant, il vient
dV
d«Ii
(dy B'x'-y [d* -(d»— B*)!»]*
à cause de
dy -t- B*x‘ = d»/f*.
Aux sommets de l’ellipse, on a x = 0 ou x = d , et y y devient
y = ~ et y:
CALCUL DIFFLIIENTIEL.
Pour la parabole, ipii a pour (-(piation ,
= -2px ,
on trouve
La courbure d'un arc de cercle étant dans le rapport inverse de son rayon, on convient de prendre pour mesure de la courbure, le rap-
port -) r étant le rayon. Pour une courbe quelconque, la courbure
en un point donné se confond avec celle du cercle oscillateur relatif à ce point. 11 suit de là que si •/ est le rayon de courbure au point
donné, la courbure de la courbe sera représentée par--
57. Équation d'une développée.. — Les équations (1) et (2) du N" 55 donnent les valeurs des coordonnées a et p du centre de courbure pour un point quelconque (jc, y) d'une courbe donnée. Supposons que l’on construise ce centre et (|uc l’on en fasse autant pour tous les points de celte courbe, rcnscniblc de tous ces centres de courbure constituera une nouvelle courbe dont la forme et 1a position seront intimement liées à celles de la courbe primitive. Ce lieu géométrique des centres de courbure a été appelé développée de la courbe donnée. Cette dernière, comparée à la développée, se nomme développante. L'équation de la développée d’une courbe est facile à trouver, car après avoir déterminé les valeurs de a et de p en fonction de x et de y, on aura trois équations contenant x, y, a, p, savoir : la valeur de a, la valeur de p et l’équation de la courbe, entre lesquelles on peut éliminer x et y. — L'équation finale ne contiendra plus que a et p et sera par conséquent l'équation de la dévclopiiée.
Prenons pour c.vcmplc l'ellipse dont on s'est occupé (N" 5G); on trouve, en subsliluaiil les valeurs de /''x et f'x dans (1) et(2)du ÎN°55,
■^7^» D^x Al‘/i» — -l‘ÿ''
no
ClUHITIIb III.
1^11 tcilunt cum|ilc de l’éqiialioii de lu uiiurbe dy -t- B*x*=sA*B*,
on trouve
(d* — tf*)" (d* — .»»)•
et en substituant dans l’dquation de l'ellipse, il vient pour équation de In développée ,
d'a*-t-fi‘?’==(d‘ — B*Ÿ.
58. Propriétés des rayons de courbure. — Remarquons d’abord que le rayon de courbure en un point d’une courbe est dirigé suivant la normale à la courbe, puisque la tangente est commune à la courbe et au cercle osculatcur et qu’un rayon est perpendiculaire à la tangente au cercle. En désignant par (x',y') les coordonnées courantes, l’équation de cette normale est
et comme cette droite indéflnie renferme le rayon de courbure, cette équation doit être satisfailc par les coordonnées a, p-, on a donc
qui exprime une relation entre les coordonnées x, y d’un point de la courbe et les coordonnées a, p du centre de courbure correspondant. On peut, dans celte équation, considérer x comme une variable indépendante ; alors y est une fonction de x donnée par l’équation de la courbe, a est une fonction de x donnée par l’équation (2) du (N” 55) et p est une fonction de a donnée par l’équation de la dé>eloppéc cl par conséquent , une fonction de fonction de x. Si donc on dérive l’équation précédente par rapport à x, il vient
da.
da
dx
Px \dx
rx
rqunnl que /’x n’est autre chose que
ou bien, en remplaçant a — x par sa valeur tirée de (2) (i\“ 55) et rc-
'bi
dx'
1 dp dy
dx
CALCUL DIFFÉHE.NTILL.
Or, si on mène au centre de courbure une touchante à la développée, elle fera avec l’axe des X un angle dont la tangente trigonométrique
est — ; cette dernière équation exprime donc que la touchante ù la
(la
courbo donnée et la touchante à la développée au point correspondant, sont perpendiculaires entre elles. Comme les rayons de courbure sont aussi perpendiculaires aux touchantes de la courbe donnée, on conclut de là que les normales d’une courbe sont partout tangentes à ta développée et que la partie de la normale comprise entre ta courbe donnée et la développée représente le rayon de courbure. Cette propriété permet de considérer la développée d’une couibe comme formée par l’intersection deux à deux des normales menées aux différents points de cette courbe.
î)9. Dérivée de l’arc d’une courbe. — La propriété des développées qui reste k démontrer, supposant connue la dérivée d’un arc de courbe par rapport ù l’abscisse, c’est-à-dire, la limite du rapport de l’accroissement d’un arc de courbe à l’accroissement de l’abscisse, nous nous occuperons d’abord de cette recherche. Soit s la longueur d’un arc de courbe CM (fig. 7), compté depuis un point fixe C jusqu’en un point M , ayant x, y pour coordonnées. 11 est visible que s varie avec X et est par conséquent une fonction de cette variable; si donc on augmente x de Ax = PP', s augmentera de As ou MM', et c’est la A s
limite du rapport — qu’on se propose de trouver; pour cela remar- Ax
quons qu'en prenant h assez petit, on peut toujours faire en sorte que l’arc MM' soit concave ou convexe dans toute son étendue, par rapport à l’axe des X et on suit qu’alors la longueur de cet arc est comprise entre la corde MM' et un polygone quelconque enveloppant tel que MXM' construit ici en menant la tangente MN ù l’extrémité M de l’arc. En remarquant que M'Q est Sy , que le cosinus de l’angle NMQ est
sas y
|/l -+- tang* NMQ |/l -+- /'*x
et que
MN
MQ
cos .NMQ
Ax i/i H- /'‘x, XM' = NQ — M'Q
= MQ tang NMQ — M'Q = Sxfx — ^y ,
ciiAPiTiii; m.
on trouve
As > j/ Ax’ ^IJ* , As <[ Ar -+- f'*X Axfx — Al/ ,
cl par conséquent
Sx
Ss
On voit donc, que le rapport — est compris entre les valeurs des
seconds membres de ees deux inégalités; or, si pour passera la limite,
, Au du ,
on fait converger Ai vers zéro, — convergera vers -j- ou / x, de sorte
Ai (IX
As
que les deux valeurs entre lesquelles se trouve compris — tendent a
se réduire a [/ i +- / '*x qui est par conséquent la limite de ce rapport, c’est-à-dire que l’on a
liour la dérivée cherchée. Le radical du second membre est précédé du double signe, et il est visible qu’il faut prendre le signe plus ou le signe moins, suivant qu’un accroissement donné à i fera croître ou diminuer l’arc s.
La considération des inrinimcnl petits conduit fort simjilcmcnl à ce résultat; car si MQ est intinimcnl petit, l’arc MM' le sera aussi et sc confondra avec sa corde; le triangle rectangle .MM'Q donnera donc
MM' ou (h = i/MÏÏ^’T^Tgï = j/(/x* -+- dif
et en divisant par dx, on retrouve l’équation obtenue plus haut.
GO. Propriété des développées. — llevenons maintenant aux développées cl reprenons l’équation trouvée plus haut,
(l-aJ«-v-(y,6)« = .A
On a vu au N“ îi8 que y et * sont des fonctions de x cl que ,6 est fonction de «; en outre, il est évident que y change de valeur avec la position du centre de courbure, et est [lar conséquent fonction de a; si donc on dérive l’équation précc-dcnlc par rapporta x, il vient
dfi f/a\ f/y f/a di dx ) ^ (loi dx
CALCUL UIFFÉtIt.NTIEL. 11!)
En siibslitiianl les valeurs de x — a, y — P et ■/ obtenues au N“ îib
et celle de Px ou trouvée au N° 58, il vient ' dx
di
Pour interpréter ce résultat, représentons par s une certaine portion de la développée, (comptée depuis un point quelconque fixe jusqu'au point (<z, P); on sait l'o» pour la dérivée d’un arc de courbe rapportée à des axes rectangulaires.
il suit de là que
dy ds d<x d'x
dy — ds
ou ou
c’est-ù-dire , que la dérivée de y — s est constamment nulle, et par conséquent que y — s est invariable. On a donc, C étant une certaine constante,
Appelons ■/ et s' ce que deviennent y et s eu un autre point de la courbe, on aura de niciuc
•/ — s' = C d’où y — 7 = 5 —
ce qui apprend que l' accroissement du rayon de courbure, depuis un certain point de la développée jusqu’à un autre, est égal à l’arc de la développée compris entre ces points.
On conclut de cette propriété des développées, combinée avec celle des rayons de courbure d’être tangents à la développée, une conséquence importante. Si l’on enroule un fil AMM'M"M"' (fig. 8) sur la développée MM'M", en fixant une extrémité en un point quelconque M'" et en maintenant ce fil tendu, la partie libre AM sera rectiligne et tangente en M à la développée et si l'on fait glisser l’extrémité A de manière à dérouler le fil de la courbe MM'", cette extrémité décrira une courbe ABC qui n’est autre que la développante de M.M'", c’est-ùdirc la courbe qui a celle-ci pour développée; en clTct, supposons que ABC puisse être distinct de la développante AC' et que ces deux
cniFimK III.
courbes coïncident en iin cerluiii point A. Pour un point B', le rayon de courbure ne peut être que la tangente B'M' à la développée MM'"; mais on vient de voir que B'M' = AM -i- MM'. D’un autre côté, le fil AM ayant pris en se déroulant la jiosition BM' sans changer de longueur, il est visible que l’on doit avoir aussi BM' = AM -t- MM'; d’où il suit que les longueurs BM' et B'M' sont égales et que par conséquent tous les points B et B' des deux courbes coïncident.
On conclut aussi de ce qui précède qu’une courbe donnée ne peut avoir qu’une seule développée, puisque celle-ci se trouve entièrement déterminée, tandis qu’une développée peut avoir un nombre infini de développantes; car on conçoit que tandis que le fil AMM'.M" se déroule de la courbe MM'.M" , un point quelconque a décrira une nouvelle développante abc qui aura la même développée MM'M" que ABC.
61, Equation et propriétés de la cyclo'ide. — - Appliquons les tliéoriei précédentes à la cyclo'ide. C’est ainsi qu’on nomme la courbe décrite par un point de la circonférence d’un cercle qui roule sans glisser sur une droite donnée. Si donc on suppose le point décrivant M du cercle BMC (fig. Ü) , placé d’abord en A au point de contact du cercle et de la droite donnée AX et qu’on fasse ensuite rouler ce cercle, le point M décrira la cycloïde AMEA'. Pour trouver son équation, prenons A pour origine et AX pour axe des X ; considérons le cercle générateur dans une position quelconque BMC. Soient (x, y) les deux coordonnées AP et P.M du point M et a le rayon du cercle décrivant. Il résulte du mode de génération que AC est égal à l’arc MC. Représentons l’arc MC par z, et du point O comme centre avec un rayon Om égal à celui r des tables trigonoiiiétriqucs , déerivons l’arc cm; la perpendiculaire md sera le sinus de me et on aura
MC : me = a : r, MD : md — air., 01) : ()</ = a i r.
d’où
mc = -z, MD =-md==-sin-z, OD =- Üd = - cos-^ r ; a r r a r r a
mais on a
AP = AC — PC, c’est-à-dire,
MP = OC — OD d’où y = a — -eos — z.
CALCUL DIFFI^RENTIEL. 121
11 suflit donc d'climincr z entre ces deux équations pour avoir l’équation de la courbe. On tire de la dernière,
cos-z=-(o — V) d ou sin-z = a a' a
- Z = are sin - \/ 'iay — y*.
En substituant ces valeurs de sin — z et de z dans la valeur de x, il
vient enfin pour équation de la cycloidc,
X = - arc sin - • i/2au — y’ — l/ 2ay — y* , r a
ou bien, en faisant le rayon des tables r égal à l’imité.
X = a • are sin -
Le signe du radical doit être changé quand le point M est placé entre E et A', parce que dans ce cas on a
