CHAPITRE III

Telle est l’équalion dérivée de la cvcloïdc. Celle-ci, comme l’équatioii primitive, représente noii-seulcineiit la branche AEA', mais encore im iioiiibre illimité de branches identiques, telles que A'G idacécs les unes à la suite des autres; pour s’en eonvaincrc, il sulTil de remarquer que les arcs qui dilTèrcnl d’une ou plusieurs cireoiifércnccs

entières, ayant tous le même sinus, il s’en suit que arc sin ^

désigne indiirércmmcnt a ou 2- -r- a, a etc. Si on donne à

Tare cette seconde signiGcalion en remplaçant arc sin y*

„ . l/Î2oy — '/*

par It: arc sin , et qu on transporte l’origine des coor-

données de A en A', ce qui se fait en remplaçant x par x -v- AA' ou a: -+-2:7(1, l'équation reprend identiquement la première forme. La seconde branelie A'G est donc semblable à la première et il on sera de même des suivantes. Cela résulte d’ailleurs du mode de construction; car ajirès que le cercle générateur a achevé sa première révolution, il en recommence une deuxième, jiuis nue troisième, ce qui donne naissance à une suite de branches de courbes toutes identiques à la jircinière AE,\'.

La longueur de la normale déduite de la formule connue (IV'* a2) est j/2(iy ; or, si l’on joint le point M de la courbe au point de contact C du cercle générateur, une propriété eonnuc du cercle donne la jiroporlion

CD : C.M = CM : CB, d’où CM = ;

on voit donc que la normale à la cycloïdc au point .M est égale à la corde MC, et comme du point M on ne peut mener deux obliques égales du même côté de la perpendiculaire MP, la corde .MC doit se confondre avec cette normale. On voit aussi que, puisque la corde supplémentaire BM est perpendiculaire sur MC, cette corde BM représente la tangente à la courbe. Si l'on trace un cercle K.M'F égal au cercle décrivant et tangent à l’axe en un point quelconque, il est x isiblc qu’en menant M.M' parallèle à AA', les cordes B.M et E.M' sont parallèles; d’où résulte cette construction fort simple pour mener une tangente en un point donné M de la cycloïdc : on mènera par M une parallèle M.M' à l’axe, qui coupera le cercle fixe E.M'F en M' ; on joindra le point .AF au jioint E et l’on mènera par M une parallèle à E.M'- «■ctte parallèle sera la tangente cherchée.

CALCBI. DIFFÉRnMlEL.

L’expression du niyoïi de eoiirl»iirc s’ohlienl eu rcinplarant dans la formule générale, fx et f'x par leur valeur tirée de l’équation dérivée de la courbe, savoir :

et f'x !

“Tx

On trouve

('^»yY s

2 [/ 2uy;

d’où il suit que le rayon de courbure MH est double de la normale MC.

Cliercbons encore la dévclopiiée de la cycloïde; il faut, pour cela, rcm|)laccr fx et f'x par leur valeur, dans les équations (1) et (2) du N* îib, ce qui conduit aux valeurs suivantes

2rt — y

= 2(/ , d’où 'i — — y.

et en éliminant x et y entre ces deux équations et celle de la cycloïdc, on trouve pour la développée.

a =5 n • arc sin

Cette courbe est ellc-mcmc une cycloïdc identique à la première, et qui n’en diffère que par sa position; car-si ou transporte l’origine des coordonnées au point 11' (fig. 0), placé sur la perpendiculaire EF élevée an milieu de .\A', à une distance Fil' égale à EF ou 2a, et qu’on prenne [)Our nouveaux axes des .V et Y' la droite H’E et la parallèle H'X' à l’axe

ClIAPITRK III.

(les X, en désignant par y, y' les nouvelles eoordonn(?cs , les formules pour la transformation seront

OL = ÜK x', P = 20 H- ÿ',

et il viendra en sulistituant ,

(ITT — x' = a • arc sin — i- 1/ '2ay' — y'* ,

d’üii

Si l’on observe que deux arcs suppliimcntaircs ont le même sinus . . l/ 2ni/' — y'*

et (|ue par conséquent n — arcsin — peut être rcm])iace